李文杰

(西安航空職業(yè)技術(shù)學院 航空材料工程學院，西安 710089)

0 引言

線性平臺的定位性能在精密工業(yè)領(lǐng)域(如生物技術(shù)、半導(dǎo)體技術(shù)和醫(yī)用光學)方面具有重要作用[1-2]。近年來，隨著光學和電子等技術(shù)的快速發(fā)展，對其精密線性系統(tǒng)的定位精度要求也逐漸提高[3]。定位精度受多種因素影響，大體可以分為幾何誤差、熱誘導(dǎo)誤差源、切削力誘導(dǎo)誤差源及其它誤差源等。

為實現(xiàn)超精密定位，需要消除這些誤差源產(chǎn)生的不精確性。從自由度角度分析誤差源可以得到6個自由度相關(guān)的誤差，分別是3個平移誤差和3個旋轉(zhuǎn)誤差。通?？梢酝ㄟ^離線法對定位誤差進行測量，以提高定位平臺的定位精度。近年來已有相關(guān)研究學者對不同自由度線性平臺誤差源進行研究，并應(yīng)用各種測量設(shè)備測量線性平臺的不同自由度相關(guān)誤差[4-5]。但是，設(shè)備性能很大程度上影響了測量結(jié)果的準確性。因此，誤差測量過程中需要利用最佳傳感器以提高測量精度。雙球桿可以用來研究幾何誤差的影響，但是該方法無法分辨出誤差的具體類型，同時球桿的分辨率也比其他測量系統(tǒng)的分辨率低[6]；激光干涉儀測量幾何誤差最精確，但是可適用性較差、耗時長[7]。

另一方面，目前已有的研究所提出的精密定位平臺都是針對微位移范圍內(nèi)提高運動定位精度。因此，對于較大行程的線性平臺位移運動難以實現(xiàn)誤差補償。同時，已有的相關(guān)研究需要對外部測量系統(tǒng)的定位和旋轉(zhuǎn)運動進行控制，不同納米定位系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或測量系統(tǒng)會對不同自由度誤差補償產(chǎn)生限制[8-9]。并且，之前的研究主要集中在特定誤差源產(chǎn)生誤差的測量與補償方面，例如幾何誤差和熱誘導(dǎo)誤差等主要誤差源。但是，這些離線補償方法在最小化幾何誤差時是有用的，由于其時變誤差源的特點故不適合用于熱誘導(dǎo)誤差或動態(tài)誤差。

基于以上研究，本文提出一種6自由度超精密線性定位系統(tǒng)，并對該精密定位系統(tǒng)幾何誤差、熱誘導(dǎo)誤差以及動態(tài)誤差進行測量并實時補償。該系統(tǒng)采用剛度高、響應(yīng)速度快的并聯(lián)柔性鉸鏈機構(gòu)，通過對該定位平臺動力學進行分析，針對提高定位系統(tǒng)性能提出遞歸補償算法；最后對比誤差補償前后的實驗結(jié)果，分析均方根誤差和峰谷值誤差，用來驗證該裝置的有效性。

1 6自由度超精密定位平臺的設(shè)計

1.1 系統(tǒng)設(shè)計

線性平臺能夠提供大的工作空間和快速的加速度。本文所提出的6自由度超精密定位系統(tǒng)安裝在線性平臺上，其原理如圖1所示。通過壓電驅(qū)動器對多自由度柔性機構(gòu)進行驅(qū)動可以實現(xiàn)較高分辨率。線性系統(tǒng)坐標系與末端執(zhí)行器坐標系之間關(guān)系恒定，與機床指令無關(guān)，見下式：

(1)

6自由度超精密定位平臺裝置如圖2所示。驅(qū)動組件包括基準平臺、移動平臺、6個壓電驅(qū)動器以及6個柔性關(guān)節(jié)。壓電驅(qū)動器位于基準平臺和移動平臺之間。由于并聯(lián)機構(gòu)的特點，驅(qū)動元件結(jié)構(gòu)剛性強，響應(yīng)速度快。兩自由度關(guān)節(jié)與移動平臺項相連，3自由度關(guān)節(jié)與基準平臺相連。因此，驅(qū)動組件可以實現(xiàn)6自由度運動(三平移三旋轉(zhuǎn))。5個電容式傳感器和參考鏡作為測量工具測量幾何誤差、熱誤差以及動力學誤差。傳感器采集的數(shù)據(jù)用于對精密平臺5自由度誤差進行補償(兩平移誤差和三旋轉(zhuǎn)誤差)。補償算法和旋轉(zhuǎn)運動驅(qū)動工作臺保持最終的目標位置。

圖1 微納定位平臺原理

圖2 6自由度超精密定位系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

1.2 動力學分析

測量和驅(qū)動坐標系統(tǒng)用于識別運動平臺的中心和定義參考坐標系，通過Abbe誤差的最小化實現(xiàn)對誤差的精確測量和補償。用逆運動學方法計算補償特定誤差所需要的壓電驅(qū)動器位移Δli(i=1,2,3)，運動平臺{M}、基準平臺{B}以及關(guān)節(jié){i},{j}的坐標系統(tǒng)定義如圖3所示。

圖3 動力學反解坐標系統(tǒng)

參數(shù)hb和rb分別表示基準平臺{B}和關(guān)節(jié){i}關(guān)于基準平臺上的高度和半徑。同樣地，參數(shù)hu和ru分別表示相對坐標系統(tǒng){M}和關(guān)節(jié)坐標系統(tǒng){j}關(guān)于移動平臺上的高度和半徑。其中關(guān)節(jié)坐標系統(tǒng){i}和{j}通過運動鏈進行確定，見式(2)。利用齊次變換矩陣對系統(tǒng)剛性部分的運動進行建模，其中R和P分別表示關(guān)節(jié)坐標系{i}相對于{j}的旋轉(zhuǎn)矩陣和位移矢量。

(2)

式(2)中具體參數(shù)計算如下：

P=(xyz)T

(3)

并聯(lián)機構(gòu)受工作空間大小的限制，柔性關(guān)節(jié)的使用大大降低了工作空間的大小。因此，工作空間分析要求運動可行性驗證，利用正向運動學方法計算了動平臺的位姿和壓電陶瓷的位移。定義兩個平臺坐標系統(tǒng)中每個關(guān)節(jié)的速度為ai,bi(i=1,2,...,6)，計算壓電驅(qū)動器的位移，表示為di(i=1,2,...,6)。采用高斯-牛頓方法，結(jié)合式(4)和式(5)計算位移與6自由度誤差之間的關(guān)系。其中，壓電驅(qū)動器范圍為±7.5mm。

(4)

(5)

表1 納米定位平臺設(shè)計參數(shù)

2 誤差測量及補償

如圖4所示，利用參考平面鏡和5個電容式傳感器對線性平臺5自由度誤差進行測量。在運動參考鏡和5個電容式傳感器條件下，位置誤差的標準不確定性顯著增加。因此，使固定在傳感器位置上的末端執(zhí)行器沿軸向移動，并根據(jù)傳感器測得的數(shù)據(jù)估計幾何誤差。參考坐標系統(tǒng)用來定義測量和驅(qū)動坐標系識別移動平臺的中心和傳感器的位置si(i=1,2,...,5)。參數(shù)l,h和w分別表示傳感器距離、高度以及寬度。利用式(6)計算測量數(shù)據(jù)mi(i=1,2,...,5)，其中下標表示不同傳感器編號：

(6)

圖4 誤差測量裝置

測量數(shù)據(jù)的標準不確定度直接受到基準面平面度和傳感器性能(線性度和分辨率)等不確定因素的影響。因此，為了評價測量結(jié)果的可靠性，對測量設(shè)備的不確定度因素進行了分析，并計算測量數(shù)據(jù)的標準不確定度。用測量數(shù)據(jù)的標準不確定度評定了5自由度誤差的標準不確定度。本文通過設(shè)置傳感器與參考坐標系之間的最佳關(guān)系，測量出5自由度誤差的標準不確定度。

利用傳感器si(i=1,2,...,5)得到的數(shù)據(jù)計算5自由度誤差和各傳感器數(shù)據(jù)與幾何誤差的關(guān)系，見式(7)。因此，可以對驅(qū)動軸{X}上兩位置誤差(水平直線度誤差δyx和垂直直線度誤差δzx)和三轉(zhuǎn)動誤差(旋轉(zhuǎn)誤差εxx、俯仰εyx和偏轉(zhuǎn)誤差εzx)進行計算。估計誤差可用于逆運動學建模和壓電驅(qū)動器位移Δli計算。因此，6自由度定位機構(gòu)中運動平臺沿固定參考鏡的恒定姿態(tài)直線進行運動。

(7)

除了前面所討論的誤差外，雙伺服系統(tǒng)的制造誤差和裝配誤差也影響到直線軸的精度。為此提出誤差補償算法進行補償以提高定位精度。理想坐標系統(tǒng){X}i應(yīng)遵循參考坐標系{R}的x軸，但是實際坐標系統(tǒng){X}a會發(fā)生偏離。位置μ包括6自由度運動(三平移和三旋轉(zhuǎn)運動)，本文中由于系統(tǒng)可以對線性平臺5自由度誤差進行測量，所以μ表示兩平移和三旋轉(zhuǎn)運動，如式(8)所示：

μ=(δxxδyxδzxεxxεyxεzx)T

(8)

補償?shù)倪^程就是使實際位置的坐標系統(tǒng){X}a應(yīng)與理想坐標系統(tǒng){X}i重合，但由于雙伺服系統(tǒng)的制造和裝配誤差，以及幾何、熱感應(yīng)和動態(tài)誤差等時變誤差，使得兩個坐標系的匹配變得復(fù)雜。因此，采用臨界運動Δμi(i=1,2,...,n)進行i次補償?shù)玫窖a償后的補償坐標系{X}ith，見式(9)：

Δμi=(δiεi)T

(9)

式中，δi=(δxx,iδyx,iδzx,i)T，εi=(εxx,iεyx,iεzx,i)T。

進行i次補償后，μ+∑Δμi對剩余運動Δμi(i=1,2,...,n)進行補償。當殘余運動Δμi(i=1,2,...,n)在公差范圍內(nèi)時，迭代過程就完成了。因此，雙伺服系統(tǒng)根據(jù)給定的公差控制坐標系對實際坐標系統(tǒng){X}a進行匹配，具體補償流程圖如圖5所示。通過動力學反解計算壓電驅(qū)動器特定運動位移Δli(i=1,2,...,6)，通過測量的運動來計算的補償值，以滿足公差內(nèi)的剩余運動Δμi(i=1,2,...,n)，本文中設(shè)定公差值為60nm。

圖5 補償算法流程圖

3 實驗

為便于獲得所需要的關(guān)節(jié)尺寸，采用高精度電火花線切割加工的方法制備納米定位平臺的柔性關(guān)節(jié)。其中電容式傳感器、壓電驅(qū)動器和參考平面鏡參數(shù)如表2所示。由于受參考平面鏡大小的限制，整個系統(tǒng)設(shè)置為寬100mm、長80mm、高78.5mm。參考鏡由微晶玻璃制造，不受熱誘導(dǎo)引起的誤差影響。驅(qū)動器組件安裝在線性軸上，固定參考鏡以最小化Abbe誤差。

用LabVIEW軟件對5自由度誤差進行實時測量和補償，補償算法對壓電驅(qū)動器位移Δli(i=1,2,...,6)進行計算。用激光干涉儀對電容傳感器和參考鏡測量結(jié)果的有效性進行了驗證。當使用激光干涉儀測量定位誤差時，必須考慮Abbe誤差以進行精確測量。因此，激光干涉儀的測量坐標系與補償機構(gòu)末端執(zhí)行器的基準坐標系相匹配，以盡量減少測量系統(tǒng)之間的Abbe偏移。具體測量結(jié)果如圖6所示。由圖6a和圖6b可知，基于6自由度定位系統(tǒng)提出的誤差測量系統(tǒng)計算得到的平移誤差和旋轉(zhuǎn)誤差測量結(jié)果與激光干涉儀實際測量結(jié)果相吻合，兩個測量方法之間的最大差值在數(shù)據(jù)的可重復(fù)性之內(nèi)。另外，隨著定位系統(tǒng)線性軸向位置的增大，旋轉(zhuǎn)誤差逐漸減小，表明該系統(tǒng)適用于具有較大行程的定位。因此，驗證了實驗中所使用的測量系統(tǒng)有效性。平移運動的峰谷誤差值為2.17μm，轉(zhuǎn)動誤差為8.22rad/s。

表2 實驗裝置參數(shù)

(a)平移誤差

(b)旋轉(zhuǎn)誤差圖6 誤差測量系統(tǒng)驗證對比實驗

精密平臺的5自由度誤差補償前后對比結(jié)果如表3所示。在實驗結(jié)果中，補償后位置誤差和旋轉(zhuǎn)誤差的PV值分別降低到7%和5%。位置均方根誤差和旋轉(zhuǎn)均方根誤差分別減少了91%和96%。動態(tài)條件下的實驗結(jié)果與穩(wěn)態(tài)結(jié)果相比有增加的趨勢。然而，RMSE和PV在理論的公差范圍(±0.2弧秒的旋轉(zhuǎn)運動和±50 nm的位置運動)。因此，驗證了本文提出的誤差補償算法的有效性。

表3 誤差補償結(jié)果

4 結(jié)論

本文提出一種6自由度線性超精密定位系統(tǒng)。該系統(tǒng)可以實現(xiàn)期望的線性定位同時能夠?qū)缀握`差、熱誘導(dǎo)誤差和動態(tài)誤差引起的6自由度誤差進行實時補償。補償機制采用柔性鉸鏈來獲得超精密定位，同時采用聯(lián)機構(gòu)，具有結(jié)構(gòu)剛度高、響應(yīng)速度快等特點。通過對工作臺的運動學進行動力學分析，提出基于遞歸技術(shù)的補償算法，提高了系統(tǒng)的定位精度，并通過實驗驗證了測量系統(tǒng)和補償算法的有效性。