■安徽省太和中學(xué)

圓錐曲線的定點(diǎn)、定值問題,是指某些幾何量不受運(yùn)動(dòng)變化的元素的影響而有固定取值的一類問題,是在運(yùn)動(dòng)變化中尋找不變量的一類題型。定點(diǎn)、定值問題是數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)知識(shí)緊密結(jié)合產(chǎn)生的一類綜合性試題,其解題方法體現(xiàn)了一般與特殊的數(shù)學(xué)思想,也是高考考查邏輯推理素養(yǎng)、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的熱點(diǎn)題型之一。

一、問題的提出

(一)高考原題

(1)求C的方程。

(2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A,B兩點(diǎn)。若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1,證明:l過定點(diǎn)。

(二)官方解析

(1)由于P3,P4兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱,故由題設(shè)知C經(jīng)過P3,P4兩點(diǎn)。

(2)設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1,k2。

所以直線l必過定點(diǎn)（2,-1）。

二、對(duì)定點(diǎn)問題的思考

(一)思考

例1是圓錐曲線的定點(diǎn)問題的證明。既然是定點(diǎn)的證明問題,是否可以根據(jù)特殊情形求出定點(diǎn)的坐標(biāo),再針對(duì)一般情形加以證明或者驗(yàn)證呢?

設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1,k2,根據(jù)第(1)小題可知a=2,b=1,經(jīng)過點(diǎn)與右頂點(diǎn)的直線的斜率恰為,注意到k1+k2=-1,應(yīng)用極限的數(shù)學(xué)思想,直線P2A與直線P2B的斜率趨于相等,即點(diǎn)A,B趨于重合時(shí)恰好滿足題設(shè),此時(shí)直線l趨于橢圓的切線x=2,所以定點(diǎn)在直線l:x=2上。

再者,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),不妨設(shè)l:y=kx,將y=kx代入得(1+4k2)x2-4=0,則:

驗(yàn)證如下:

①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),過點(diǎn)（2 , -1）的直線與橢圓C相切,與題設(shè)不符。

所以直線l必過定點(diǎn)(2,-1)。

(二)評(píng)析

在定點(diǎn)問題的解決過程中,可以首先借助于特殊情形確定出這個(gè)定點(diǎn),這也是特殊與一般的思想之“特殊”,而特殊情形的選擇不一定就是平行于坐標(biāo)軸的情形,具有一定的靈活性、技巧性。定點(diǎn)問題的解決的第二個(gè)環(huán)節(jié)是結(jié)合一般情形論證這個(gè)定點(diǎn),這是特殊與一般的思想之“一般”。一般情形的論證往往借助于待定系數(shù)法,運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想化歸為含有參數(shù)的等式恒成立問題來處理。當(dāng)然,更為簡捷的方法不必是一般情形的“論證”,而是對(duì)定點(diǎn)的“驗(yàn)證”。

(三)定點(diǎn)問題創(chuàng)新解法的應(yīng)用

(1)求橢圓C的方程。

(2)若直線l與橢圓C相切于點(diǎn)P,與直線x=2相交于Q,問是否存在定點(diǎn)M使得MP⊥MQ。若存在,寫出定點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由。

(2)①直線l的斜率為0時(shí),若l:y=1,則P（0,1）,Q（2,1）,此時(shí)M必在圓(x-1)2+(y-1)2=1上;若l:y=-1,則P(0,-1),Q(2,-1),此時(shí)M必在圓(x-1)2+(y+1)2=1上。

所以若存在定點(diǎn)M,則M必是圓(x-1)2+(y-1)2=1與圓(x-1)2+(y+1)2=1的公共點(diǎn)M(1,0)。

②法1:論證過程如下:

直線l與直線x=2相交于Q,則直線l的斜率必存在,設(shè)直線l:y=kx+m,則:

故存在定點(diǎn)M(1,0),使得MP⊥MQ。

法2:驗(yàn)證過程如下:

同法1,若滿足條件的點(diǎn)M存在,只能是M(1,0)。

故存在定點(diǎn)M(1,0),使得MP⊥MQ。

(四)對(duì)創(chuàng)新解法的評(píng)析

定點(diǎn)問題的解決的第二個(gè)環(huán)節(jié)可以結(jié)合一般情形“論證”這個(gè)定點(diǎn),更為簡捷的方法不是論證,而是“驗(yàn)證”,如例2的論證過程須運(yùn)用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為含有兩個(gè)參數(shù)的等式恒成立問題,十分繁雜,極容易出錯(cuò),而驗(yàn)證過程大大減少了運(yùn)算量,簡捷自然。

三、創(chuàng)新解法的延伸

定點(diǎn)問題的解決的創(chuàng)新思路是:“特殊情形求定點(diǎn),一般情形證定點(diǎn)。”這種創(chuàng)新思路是否可以延伸到定值問題、參數(shù)問題呢?

(1)求橢圓C的方程。

(2)設(shè)P為橢圓C上一點(diǎn),直線PA與y軸交于點(diǎn)M,直線PB與x軸交于點(diǎn)N。求證:AN ·BM為定值。

故AN ·BM為定值。

例4(2016年四川理科20)已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn),直線l:y=-x+3與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T。

(1)求橢圓E的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo)。

(2)設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn),直線l′平行于OT,與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A,B,且與直線l交于點(diǎn)P。試證明存在常數(shù)λ,使得PT2=λPA ·PB,并求λ的值。

解析:(1)設(shè)短軸一端點(diǎn)為C(0,b),左右焦點(diǎn)分別為F1(-c,0),F2(c,0),其中c＞0,且a2=b2+c2。

又直線l與橢圓E只有一個(gè)交點(diǎn),則Δ=122-4×3(18-2b2)=0,解得b2=3。

證明如下: