陳岳陽， 李翔宇

(西南交通大學(xué) 力學(xué)與工程學(xué)院， 四川 成都 610031)

0 引 言

目前，承受軸向力作用的梁廣泛應(yīng)用于土木工程，生物醫(yī)學(xué)和機(jī)械制造等領(lǐng)域[1-3].由于軸向受力的梁具有優(yōu)良的拉伸和彎曲性能，其力學(xué)行為，例如振動(dòng)，屈服，彎曲等，一直受到科研人員的廣泛關(guān)注[4-7].值得指出的是，在軸向受力鐵木辛科梁的變形過程中，軸向力的作用方向在相關(guān)文獻(xiàn)中有兩種假設(shè)：第一種是假定軸向力與梁的中性軸相切[8-9]；另一種則認(rèn)為軸向力垂直于變形后的梁的橫截面[10-11].這兩種假設(shè)導(dǎo)致軸向受力的鐵木辛科梁的力學(xué)行為呈現(xiàn)不同的結(jié)果，即軸向受力鐵木辛科梁的許多力學(xué)問題仍需要做進(jìn)一步探討.基于此，本研究著重分析了軸向受力鐵木辛科梁的自由振動(dòng)問題，同時(shí)系統(tǒng)地探究了軸向力的作用方向?qū)υ摿旱挠绊?

1 統(tǒng)一模型和特征方程

1.1 統(tǒng)一模型

在笛卡爾坐標(biāo)系Oxy下，考慮長(zhǎng)度為L(zhǎng)，高度為h的鐵木辛科梁，其中包含著軸向力F(假設(shè)其在變形過程中保持不變)和一個(gè)外加的橫向均布簡(jiǎn)諧載荷p(x,t)，具體如圖1所示.

軸向載荷的作用方向?qū)α旱牧W(xué)行為非常重要，在文獻(xiàn)中對(duì)此存在兩種假設(shè).這兩種假設(shè)在歐拉梁模型中是一樣的，但是對(duì)于鐵木辛科梁來說，這兩種假設(shè)會(huì)導(dǎo)致不一樣的結(jié)果.對(duì)此，2016年，陳濤等[12]

圖1鐵木辛科梁模型示意圖

建立了一個(gè)統(tǒng)一的模型并引入一個(gè)躍遷系數(shù)(α)來表示軸向力的作用方向，α的取值范圍為0到1，而上述兩種假設(shè)能夠由躍遷系數(shù)取特定值，即0或1，來實(shí)現(xiàn).

在統(tǒng)一模型中，彎矩M和豎直方向的剪力V可表示為，

M=EIΨ′

(1)

V=κGA(Ψ-w′)+F[w′+α(Ψ-w′)]

(2)

根據(jù)牛頓第二定律，可得到如下的控制方程，

(3)

(4)

式中，κ，I，ψ，w，E，G，F(xiàn)，A和α分別代表著剪切修正因子、慣性矩、扭轉(zhuǎn)角、撓度、剪切模量、楊氏模量、軸向力、截面面積和躍遷系數(shù)，式中的“·”和“′”分別

表示對(duì)時(shí)間t和空間坐標(biāo)x的導(dǎo)數(shù).

在研究中，假定一個(gè)壓縮(或拉伸)軸向力為正(或負(fù))，通過改變相應(yīng)的系數(shù)，式(3)和式(4)可以退化成歐拉梁或瑞利梁的相應(yīng)運(yùn)動(dòng)方程.

消去式(3)及(4)中的轉(zhuǎn)角ψ，鐵木辛科梁控制方程可以轉(zhuǎn)化為位移表示的偏微分方程，

(5)

式中，

c1=κGA+αF-F,c2=κGA+αF.

在本研究中，只分析鐵木辛科梁的自由振動(dòng)，故假設(shè)，

w(x,t)=W(x)eiΩt

(6)

式中，W表示橫向振動(dòng)的振幅，Ω表示為系統(tǒng)的圓頻率.

將式(6)帶入式(5)中可得，

W″″+λ1W″+λ2W=0

(7)

式中，λ1=a1+a2Ω2,λ2=a4Ω4-a3Ω2.

事實(shí)上，歐拉梁和瑞利梁的自由振動(dòng)微分方程和鐵木辛科梁的方程(7)相同，僅除了歐拉梁和瑞利梁的微分方程中參數(shù)的表示不同.表1中給出了其對(duì)應(yīng)參數(shù)的表達(dá)式.

表1 歐拉梁和瑞利梁的參數(shù)形式

對(duì)應(yīng)于歐拉梁和瑞利梁，躍遷系數(shù)α不包含λi(i=1，2)的表達(dá)式，這是因?yàn)闅W拉梁和瑞利梁的橫截面在變形過程中的正方向假定為與撓曲線切線平行.

1.2 頻率方程

從文獻(xiàn)[4]可知，式(7)依賴于截止頻率，

式(7)的通解可以表達(dá)成以下形式，

W(x)=A1coshs1x+A2sinhs1x+A3coss2x+

A4sins2x,Ω<Ωc

(8)

式中，

為方程的特征根.此外，Ai(i=1，2，3，4)為待定常數(shù).

在文獻(xiàn)[4]中詳細(xì)闡述了截止頻率的物理意義，本研究的分析將限制在Ω<Ωc的情況下.

為了確定固有頻率，需要確定鐵木辛科梁的邊界條件.由于躍遷系數(shù)的引入，邊界條件與相關(guān)文獻(xiàn)相比將呈現(xiàn)不同的形式，其中系數(shù)α設(shè)置為1或0.表2為邊界條件.

表2 邊界條件

其中，

由通解和表2的邊界條件，易得鐵木辛科梁的頻率方程如表3所示.

表3 頻率方程

其中，

2 數(shù)值分析

2.1 有效性驗(yàn)證

考慮一個(gè)正方形截面(b=h=0.1 m)的鐵木辛科梁，其長(zhǎng)度L=0.5 m，密度ρ=2 778 kg/m3，楊氏模量E=7×1010N/m2，剪切模量G=2.61×1010N/m2.本研究利用此梁建立有限元模型來驗(yàn)證本研究方法的準(zhǔn)確性，同時(shí)考慮采用多種邊界條件來驗(yàn)證本研究的解析結(jié)果.為此，采用了正方形截面的簡(jiǎn)支梁、簡(jiǎn)支—滑動(dòng)梁和固支梁，使用有限元軟件ANSYS進(jìn)行數(shù)值模擬，其中單元為beam 189，并將梁劃分為201個(gè)節(jié)點(diǎn).

引入Ncr和Ω0作為無量綱化的參考量.其中，Ncr表示不同邊界條件的臨界屈曲載荷.Ω0是無軸力時(shí)正方形截面(b=h=0.1 m)的簡(jiǎn)支鐵木辛科梁的基頻[9].

1)無軸力時(shí)，無量綱頻率的對(duì)比情況如圖2所示.

圖2無軸力時(shí)無量綱頻率的對(duì)比

由圖2可知，簡(jiǎn)支梁、簡(jiǎn)支—滑動(dòng)梁和固支梁不考慮軸向力時(shí)，前兩階模態(tài)的無量綱頻率Ω/Ω0隨高跨比h/L的變化結(jié)果(標(biāo)識(shí))與參考文獻(xiàn)[9](實(shí)線)和數(shù)值模擬得到的結(jié)果(虛線)一致.值得注意的是，由于此時(shí)軸向力不存在，躍遷系數(shù)α對(duì)固有頻率沒有影響.

2)考慮軸力時(shí)，無量綱頻率的對(duì)比情況如圖3所示.

在圖3中考慮了軸力的影響，無量綱頻率隨著軸向力的大小變化而變化，明顯得出α=0對(duì)應(yīng)的本研究結(jié)果與文獻(xiàn)[9]給出的解以及有限元模擬值是一致的.這是因?yàn)槲墨I(xiàn)和ANSYS軟件都是假設(shè)梁處于變形過程中，軸向力的作用方向與變形層中性軸相切(即，α=0的情況)，當(dāng)軸向力接近于臨界屈曲力時(shí)，基頻趨近于0.

2.2 軸向力對(duì)自由振動(dòng)的影響

無量綱頻率隨無量綱軸向力的變化(h/L=0.3)如圖4所示.

圖3考慮軸力時(shí)無量綱頻率的對(duì)比

圖4無量綱頻率隨無量綱軸向力的變化(h/L=0.3)

由圖4可知，給定高跨比h/L為0.3的梁，其固有頻率在軸向載荷作用初期，頻率降低得較慢，隨著軸向載荷的增加，基頻的衰減量逐漸變大，最后當(dāng)軸向力達(dá)到臨界屈曲力時(shí)，基頻衰減到0.

圖4中陰影區(qū)域表示α=0和α=1之間的頻率差距.為了直觀地分析躍遷系數(shù)的影響，定義相對(duì)誤差RD=(Ωα=0-Ωα=1)/Ωα=0×100%.可以看出，躍遷系數(shù)α對(duì)固支梁的影響比簡(jiǎn)支梁大得多，這是因?yàn)檩S向力在變形時(shí)對(duì)固支梁的剪力貢獻(xiàn)比對(duì)簡(jiǎn)支梁的剪力貢獻(xiàn)大.

2.3 高跨比對(duì)自由振動(dòng)影響

無量綱高跨比的變化對(duì)無量綱頻率的影響如圖5所示.

由圖5可知，考慮軸力F=0.8Ncr的固支鐵木辛科梁的躍遷系數(shù)對(duì)自由振動(dòng)的影響和高跨比h/L成正比，且躍遷系數(shù)對(duì)固支梁的影響較大.在較為極端的情況下(h/L=0.4)，固支梁的相對(duì)誤差RD=49.49%，即躍遷系數(shù)對(duì)固支鐵木辛科梁的影響非常顯著.

圖5無量綱頻率隨無量綱高跨比的變化

3 結(jié) 論

本研究利用包含躍遷系數(shù)的統(tǒng)一模型推導(dǎo)了多種邊界條件下軸向受力鐵木辛科梁的頻率方程，利用數(shù)值模擬驗(yàn)證了結(jié)果的正確性.通過對(duì)比躍遷系數(shù)取0和1的情況發(fā)現(xiàn)，在考慮軸向力作用方向時(shí)，在較大的軸向力和高跨比的取值的情況下，躍遷系數(shù)對(duì)梁的自由振動(dòng)的影響更顯著.在數(shù)值模擬中，本研究發(fā)現(xiàn)躍遷系數(shù)對(duì)固支梁的自由振動(dòng)有顯著的影響，而對(duì)簡(jiǎn)支梁的影響較弱.在F=0.8 Ncr，h/L=0.4時(shí)，兩種經(jīng)典軸力方向?qū)?yīng)的固支鐵木辛科梁的相對(duì)誤差可達(dá)到49.49%.