宋儼軒，殷鳴，謝羅峰，殷國富

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齒距制造誤差對縱樹形葉根靜力性能的影響

宋儼軒，殷鳴*，謝羅峰，殷國富

（四川大學 制造科學與工程學院，四川 成都 610065）

基于二維有限元方法對縱樹形葉根的靜態(tài)性能進行分析。該方法考慮彈性作用和摩擦接觸作用，提出利用增廣拉格朗日接觸算法中的接觸面偏移量來模擬齒距制造誤差的方法。同時，該方法提取薄弱圓角處拉應力、周向截面平均應力和擠壓面平均應力以分別表征圓角集中應力、齒間載荷分配和擠壓接觸應力齒間分配。分析結果表明，齒距制造誤差對縱樹形葉根的圓角集中應力，齒間載荷分配和擠壓接觸面應力齒間分配均有較大影響。

制造誤差；縱樹形葉根；摩擦接觸；二維有限元

葉輪機械在航空工業(yè)、動力工程等眾多國家戰(zhàn)略性工業(yè)領域及國民經濟體系中占據重要地位。葉片作為葉輪機的關鍵部件之一，其可靠性直接影響機組的正常運行[1-2]。近年來，壓氣機向跨音速和超音速發(fā)展導致葉輪轉速增加，汽輪機向超臨界超超臨界發(fā)展導致末級葉片增長。這些因素直接導致了葉片離心力的提升，也給葉根的設計制造提出了更嚴峻的要求。

在零件強度的通用計算方法中，有限元計算方法已經得到了廣泛應用[3-4]。目前葉根強度的計算主要通過手冊公式[5]、二維有限元和三維有限元三種方式。張軍輝等[6]采用二維有限元方法設計葉根形狀參數，并采用三維有限元法對該設計進行了驗證。謝永慧等[7]采用三維有限元方法對葉根輪緣的等效應力場進行了分析，并采用優(yōu)化算法對葉根外形進行了優(yōu)化。由于高承載能力的葉根結構如菌形和縱樹形均為多齒接觸型結構，這種結構齒間間隙對結構整體承載能力和力學性能有著至關重要的影響。然而，上述兩篇文章均未考慮間隙對葉根力學性能的影響，故在工程應用上有局限性。

本文以縱樹形葉根為研究對象，采用二維有限元法計算二維截面應力場。在計算過程中，考慮彈性作用和摩擦作用的影響。采用增廣拉格朗日法的接觸偏移值模擬齒距制造誤差，得出齒距制造誤差對縱樹形葉根靜力性能的影響，為縱樹形葉根在考慮齒距制造誤差時的靜態(tài)性能分析提供了方法。

1 葉根幾何及材料定義

縱樹形葉根具有優(yōu)良的承載能力，在大功率汽輪機低壓機長葉片上得到廣泛應用。本文算例對象為一中壓缸葉片的縱樹形葉根，其葉片材料為2Cr13，輪緣材料為30Cr2Ni4MoV，材料物理性能參數如表1[8]所示。圖1中的原設計齒頂錐角22、齒根錐角21、齒距、齒寬、角、角分別如表2所示。圖中表示二維模型在對應齒面處的接觸間隙，間隙為負數時表示過盈。為了保證研究參數的獨立性，設定齒面1處的接觸間隙為0。

表1 材料物理性能參數

表2 縱樹形葉根關鍵幾何參數

2 有限元分析及評價

由于葉根和輪緣之間的載荷通過葉根的三對齒和輪緣的三對齒相互接觸進行傳遞。故求解葉根靜強度的問題實際上是求解接觸應力以及由接觸傳載導致的葉根及輪緣圓角處集中應力的問題。接觸問題屬于不定邊界的非線性問題，該非線性既來源于接觸面積的非線性，又來源于摩擦作用產生的非線性。因為采用三維有限元模型求解一方面會導致網格數量激增，另一方面導致模型中部分網格質量不佳，從而影響整體的求解速度及精度，故本文采用二維有限元模型[9]。另外，由于葉片常規(guī)設計中，偏心離心載荷總是被設法最小化，故本文選擇不考慮離心載荷偏心的影響，采用從葉根對稱軸切開的1/2的二維模型進行分析。

圖1 縱樹形葉根幾何及間隙示意圖

如圖2（a）所示，葉根對稱平面處施加對稱約束；輪緣周向邊界施加固定約束，徑向邊界施加位移約束以限制周向位移。載荷考慮葉片的離心載荷和葉根的離心載荷，其中葉片的離心載荷近似為施加在葉根平臺上的均布徑向載荷，葉根離心應力通過施加角速度得到。三對齒的接觸均定義為摩擦接觸，摩擦因子設定為0.3。接觸算法主要分為罰函數方法和拉格朗日方法，其中罰函數方法可能會導致病態(tài)矩陣的出現，拉格朗日方法會增加求解規(guī)模并引入零主元。本文采用了增廣拉格朗日法來求解接觸問題，該方法綜合了罰函數法求解簡單和拉格朗日方法求解穩(wěn)定的優(yōu)點。對接觸區(qū)域的網格進行加密，得到網格數為11453、網格質量0.972，如圖2（b）所示。

圖2 二維有限元模型的邊界條件及網格

基于上述設定，求解有限元模型，得到圖3，圖中葉根的應力集中區(qū)域位于葉根輪緣齒間接觸區(qū)域的兩端端點附近和葉根圓角圓弧中心附近（圖3（b）～（d））。根據實際經驗，縱樹形葉根等受拉結構的應力薄弱點通常在葉根圓角附近。本算例中接觸區(qū)域兩端端點附近的應力集中現象應為有限元離散后，接觸區(qū)域兩端接觸狀態(tài)突變的結果。經過對接觸面的應力線性化處理，得出結果顯示接觸面的平均應力相對葉根圓角應力集中處的應力值處于較低水平。與此同時，在工程上，葉根圓角處拉彎應力的應力許用值比葉根輪緣的擠壓接觸應力大許多。因此本文在考慮薄弱處受力狀況時，主要考慮葉根圓角薄弱處，不考慮接觸區(qū)域端點附近的應力激增現象。

圖3中截面1、2、3分別是通過葉根齒1、2、3受拉圓角薄弱處的沿周向的截面，齒面1、2、3分別是葉根齒1、2、3與輪緣的接觸部分。提取圓角薄弱處的應力分別命名為1、2、3；提取截面1、2、3處延徑向方向的薄膜應力值分別命名為σ1、σ2、σ3；提取齒面1、2、3處的薄膜應力分別命名為σ1、σ2、σ3。則結構的靜強度安全系數為：0.2/max(σ)＝3.8；文獻[3]對縱樹形葉根拉彎合成總應力安全系數的推薦值為大于等于1.7，故該設計有較大安全裕度。

圖3 葉根應力分布云圖

除此以外，葉根齒的載荷分配和接觸應力分配對葉根的靜態(tài)性能也有突出影響。定義葉根齒所承受的載荷分別為1、2、3，則：

為了量化研究載荷分配和接觸應力分配，定義載荷分配矩陣D＝/||||1和應力分配矩陣D＝/||||1。根據上述有限元分析，得出齒距制造偏差為0時，有：

D≈[0.3951 0.2873 0.3176]

D≈[0.3187 0.3363 0.3451]

可以看出，在該轉速下，第1齒承受約40%的載荷，第2、3齒承受約30%的載荷，從側面佐證了葉根靜強度校核公式法的合理性[3]。另外，從應力分配矩陣可以看出，該葉根設計在齒距無偏差的情況下在該轉速下具有良好的應力分布特性，但仍有改進空間。

3 齒距制造誤差對靜強度、載荷分配和應力分配的影響

假定縱樹形齒根的齒面2、3加工定位基準均為齒面1，Δ12、Δ13表示齒距制造誤差，另Δ12＝－Δ12、Δ13＝－(Δ12＋(Δ23)。在有限元分析中，采用對摩擦接觸增加法向偏移量來模擬制造誤差。設計試驗點范圍：|Δ12|≤0.05、|Δ13|≤0.05，在該范圍共取49個試驗點進行有限元計算。提取出σ、σ、D，并用三次多項式進行曲面擬合，如圖4所示。

可以看出齒1圓角的集中應力、平均接觸應力、載荷分配比隨著Δ12、Δ13的降低而增加；齒2圓角的集中應力、平均接觸應力、載荷分配比主要隨著Δ12的增加而增加；齒3圓角的集中應力、平均接觸應力、載荷分配比主要隨著Δ13的增加而增加。該結果與經驗相同，證明該趨勢的正確性。

圖4 齒距制造誤差對靜強度和載荷分配的影響

4 結論

對縱樹形葉根的靜力性能開展研究，建立了考慮齒距制造誤差的靜力分析模型，為考慮制造誤差的葉根結構靜力分析及優(yōu)化設計提供了依據。研究表明，齒距制造誤差對葉根結構的圓角集中應力、平均接觸應力、載荷分配比等影響顯著。經過該方法分析得出的結果和經驗趨勢吻合，證明了該方法的正確性。

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Influence of Teeth Pitch Manufacturing Error on Static Performance of Fir Tree Dovetails

SONG Yanxuan，YIN Ming，XIE Luofeng，YIN Guofu

(School of Manufacturing Science and Engineering, Sichuan University, Chengdu 610065, China)

A method based on two-dimensional finite element method are put forward to analyze the static performance of fir tree dovetails. Considering elastic effect and frictional contact effects, the researchers propose to use the offset of the contact surface in the augmented Lagrange contact algorithm to simulate teeth pitch manufacturing error. Meanwhile, the fillet stress, the average stress of the sections and the average contact stress were extracted by this method to characterize the fillet-located concentrated stress, the load distribution between teeth and the contact stress distribution between contact surfaces. The results show that the teeth pitch manufacturing error has a great influence on the fillet-located concentrated stress, the load distribution between teeth and the contact stress distribution between contact surfaces.

manufacturing error；fir tree dovetails；frictional contact；two-dimensional finite method

TP391；TK262

A

10.3969/j.issn.1006-0316.2018.12.003

1006－0316 (2018) 12－0007－05

2018－04－19

四川省科技支撐計劃項目（2015GZ0012、2016GZ0001）

宋儼軒（1994－），男，四川德陽人，碩士研究生，主要研究方向為CAD/CAM。殷國富（1956－），男，四川西充人，教授，博士生導師，主要研究方向為制造自動化、智能設計技術、CAD/CAM/CIMS。

殷鳴（1987－），男，四川成都人，博士，講師，主要研究方向為智能制造和增材制造技術。