王 航

(西安鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，陜西 西安 710026)

相比于一般的工業(yè)機(jī)器人，柔性機(jī)械臂的材質(zhì)密度小，可以較低的能耗、較短的時(shí)間使機(jī)械臂工具端達(dá)到目標(biāo)地點(diǎn)并盡快趨于穩(wěn)定。柔性機(jī)械臂在運(yùn)動(dòng)過程中易產(chǎn)生彈性振動(dòng)，這將導(dǎo)致機(jī)械臂工具端的定位精度下降，甚至導(dǎo)致系統(tǒng)失穩(wěn)，且在機(jī)械臂關(guān)節(jié)處存在著傳動(dòng)、減速裝置，這些設(shè)備不可避免地存在柔性，關(guān)節(jié)柔性的存在會(huì)使機(jī)械臂在運(yùn)動(dòng)停止后產(chǎn)生殘余振動(dòng)，需要對(duì)全柔性機(jī)械臂進(jìn)行振動(dòng)抑制研究。

關(guān)節(jié)柔性和連桿柔性的機(jī)械臂是全柔性機(jī)械臂。柔性機(jī)械臂振動(dòng)抑制的研究主要集中在控制算法和軌跡規(guī)劃兩個(gè)方面。文獻(xiàn)[1]首先采用五次多項(xiàng)式函數(shù)對(duì)末端軌跡進(jìn)行插值，將滿足機(jī)械臂末端振動(dòng)最小化的軌跡規(guī)劃問題轉(zhuǎn)換為待定冗余參數(shù)的優(yōu)化問題，然后采用粒子群優(yōu)化算法求解該組參數(shù)。文獻(xiàn)[2]采用正弦-梯形函數(shù)作為各關(guān)節(jié)的角速度函數(shù)，優(yōu)化了其中的系數(shù)和幅值參數(shù)。文獻(xiàn)[3]采用五次多項(xiàng)式函數(shù)作為關(guān)節(jié)空間插值函數(shù)，以軌跡控制點(diǎn)的位移浮動(dòng)值作為待優(yōu)化變量，使用遺傳算法優(yōu)化得到柔性臂振動(dòng)能量最小的最優(yōu)抑振軌跡。文獻(xiàn)[4]使用改進(jìn)PSO算法，以激振力為性能指標(biāo)對(duì)B樣條軌跡進(jìn)行優(yōu)化。文獻(xiàn)[5]建立剛?cè)狁詈蠙C(jī)械臂時(shí)考慮了柔性臂桿的大變形，使用粒子群優(yōu)化算法確定了最優(yōu)軌跡的插值點(diǎn)的波動(dòng)量。文獻(xiàn)[6]提出的目標(biāo)函數(shù)分別是機(jī)械臂的能耗和殘余振動(dòng)，使用多目標(biāo)遺傳算法獲得最優(yōu)多項(xiàng)式軌跡的系數(shù)。文獻(xiàn)[7]針對(duì)一種專用高速動(dòng)作的微型機(jī)械臂，建立了以力矩和振動(dòng)為優(yōu)化指標(biāo)的目標(biāo)函數(shù)。文獻(xiàn)[8]研究了關(guān)節(jié)軌跡插值函數(shù)是擺線方程的優(yōu)化問題。

機(jī)械臂軌跡規(guī)劃方面的研究成果豐碩，但與柔性機(jī)械臂振動(dòng)抑制軌跡規(guī)劃有關(guān)的文獻(xiàn)就相對(duì)有限，可以考慮將剛性機(jī)械臂臂軌跡規(guī)劃方面的研究成果應(yīng)用到柔性機(jī)械臂。一般而言，柔性機(jī)械臂的軌跡規(guī)劃曲線多為多項(xiàng)式曲線，而多種曲線組合的形式不多見，因此有必要開展這方面的研究工作。

1 柔性關(guān)節(jié)柔性機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)建模

機(jī)械臂由多個(gè)臂桿鉸接在一起構(gòu)成[9]。在機(jī)械臂的連桿中,有些是短而粗的，可忽略柔性視其為剛體；而另一些細(xì)而長的，其彈性變形不可忽略[10]。文獻(xiàn)[11]指出，機(jī)械臂關(guān)節(jié)的柔性源自諧波減速器和力矩傳感器。

就理論研究而言，軌跡規(guī)劃的前提是建立柔性機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)方程。柔性臂桿的建模一般采用假設(shè)模態(tài)法，而柔性關(guān)節(jié)的建模通常采用的是Spong模型[12]。全柔性機(jī)械臂的簡圖如圖1所示。

1.1 動(dòng)力學(xué)方程

本文采用Lagrange法建立動(dòng)力學(xué)模型。不考慮連桿的端部質(zhì)量，則系統(tǒng)的動(dòng)能包含關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)裝置動(dòng)能和柔性桿動(dòng)能，系統(tǒng)的勢(shì)能包含柔性臂桿的彈性勢(shì)能和柔性關(guān)節(jié)的彈性勢(shì)能。

圖1 單臂全柔性機(jī)械臂

在圖1中，桿臂為柔性桿，關(guān)節(jié)為柔性關(guān)節(jié)。在某個(gè)瞬時(shí)，柔性桿上任意一點(diǎn)P的橫變形用w表示，則w是坐標(biāo)x和時(shí)間t的函數(shù)，記為w(x,t)，設(shè)笛卡爾坐標(biāo)系o-XY為該系統(tǒng)的基礎(chǔ)坐標(biāo)系，o-xy為附體坐標(biāo)系。圖中，τ為關(guān)節(jié)處的驅(qū)動(dòng)力矩，θ為柔性連桿關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角，φ為驅(qū)動(dòng)裝置轉(zhuǎn)角，k為柔性關(guān)節(jié)等效剛度。此外，設(shè)L為柔性連桿未變形的長度，m為柔性連桿的質(zhì)量。

某時(shí)刻P點(diǎn)坐標(biāo)可以表示為

(1)

將r對(duì)t求導(dǎo)，可得P點(diǎn)的瞬時(shí)速度。

(2)

則柔性關(guān)節(jié)柔性連桿機(jī)械臂的動(dòng)能T表示為：

(3)

式中：J1為驅(qū)動(dòng)裝置的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；J2為關(guān)節(jié)處傳動(dòng)設(shè)備的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；ρ為密度；A為桿的截面積。

不計(jì)重力，則機(jī)械臂的勢(shì)能U只是柔性臂的彈性勢(shì)能，表達(dá)式如下：

(4)

式中：E為彈性模量；I為截面慣性矩。

將T,U代入Lagrange方程，得

(5)

式中：q為系統(tǒng)廣義坐標(biāo)；Q為系統(tǒng)廣義力矩陣，Q=[τ,0,0,0]。

由均勻等截面Euler-Bernoulli梁理論振動(dòng)微分方程，可得梁的彈性變形的表達(dá)式為[13]：

(6)

式中：φi(x)為柔性桿的第i階振型函數(shù)；ai(t)為與振型函數(shù)相對(duì)應(yīng)的模態(tài)坐標(biāo)。

采用懸臂梁振動(dòng)模態(tài)，并取二階模態(tài)，代入式(5)，得動(dòng)力學(xué)方程為,

(7)

式中：M,K分別為質(zhì)量、剛度矩陣。此時(shí)廣義坐標(biāo)q=[φ,θ,a1,a2]。

1.2 運(yùn)動(dòng)與振動(dòng)的關(guān)系

系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程式表明柔性關(guān)節(jié)柔性連桿機(jī)械臂關(guān)節(jié)和桿臂具有耦合的特性。將動(dòng)力學(xué)方程中與廣義力矩相關(guān)的項(xiàng)略去，即可得到用于柔性臂抑振軌跡規(guī)劃的動(dòng)力學(xué)方程：

(8)

式(8)表達(dá)了傳動(dòng)裝置轉(zhuǎn)角、關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)與模態(tài)坐標(biāo)之間的關(guān)系，對(duì)其進(jìn)行求解可得出機(jī)械臂傳動(dòng)裝置軌跡對(duì)機(jī)械臂結(jié)構(gòu)振動(dòng)影響的情況。

2 最優(yōu)軌跡規(guī)劃

2.1 三次樣條曲線

軌跡規(guī)劃的中心任務(wù)是選取關(guān)節(jié)空間的插值曲線。三次樣條曲線不能保證端點(diǎn)處的速度、加速度同時(shí)為零，故首末兩段曲線使用多項(xiàng)式曲線連接。

將柔性臂運(yùn)動(dòng)時(shí)間歷程等分為n個(gè)相等的時(shí)間間隔，時(shí)間節(jié)點(diǎn)依次為t1,t2,t3,…,tn。時(shí)間節(jié)點(diǎn)ti對(duì)應(yīng)的柔性臂角位移為θi。使θi值增減給定的區(qū)間范圍內(nèi)的一個(gè)變化值，進(jìn)而得到不同的軌跡控制點(diǎn)下的位移曲線。

插值點(diǎn)縱坐標(biāo)的表達(dá)式為：

θ1i=θi+Δθi

(9)

式中：θ1i為插值點(diǎn)縱坐標(biāo)值；θi為基礎(chǔ)插值點(diǎn)值；Δθi為坐標(biāo)變化值。角位移曲線如圖2所示。

本文中所使用的插值曲線建立方式參考文獻(xiàn)[14]。其中首尾兩段五次多項(xiàng)式表示如下：

q1(t)=a0(t-t1)3(t-t0)2

(10)

qn(t)=an-1(t-tn-1)3(t-tn)2

(11)

圖2 插值點(diǎn)處的變化量

2.2 目標(biāo)函數(shù)

一般而言，在[0,tf]的時(shí)間段內(nèi)機(jī)械臂被驅(qū)動(dòng)，在[tf,2tf]時(shí)間段內(nèi)停止驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂，在該段時(shí)間內(nèi)可考察機(jī)械臂的殘余振動(dòng)，其中tf為機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)時(shí)間。將關(guān)節(jié)空間插值求得的驅(qū)動(dòng)裝置轉(zhuǎn)角代入式(8)即可得到柔性臂桿的轉(zhuǎn)角、一階模態(tài)坐標(biāo)和二階模態(tài)坐標(biāo)的值。

柔性臂桿的殘余振動(dòng)是指臂桿在運(yùn)動(dòng)結(jié)束后末端撓度的最大值f1。

f1=max|φ1(L)a1(t)+φ2(L)a2(t)|

(12)

式中：φ1(L)，φ2(L)分別為懸臂梁取L第1，2階振型函數(shù)的值，a1(t)，a2(t)為對(duì)應(yīng)的模態(tài)坐標(biāo)。

柔性關(guān)節(jié)的殘余振動(dòng)是指運(yùn)動(dòng)結(jié)束后臂桿的角位移與驅(qū)動(dòng)裝置角位移差值的最大值f2：

f2=max|φ(t)-θ(t)|tf≤t≤2tf

(13)

本文采用加權(quán)系數(shù)法將兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)整合在一起。加權(quán)系數(shù)的引入是因?yàn)槿嵝员蹢U的殘余振動(dòng)與關(guān)節(jié)柔性引起的殘余振動(dòng)之間存在差異，需要反復(fù)試算才能確定加權(quán)系數(shù)?？偟哪繕?biāo)函數(shù)如下所示。

f=αf1+f2tf≤t≤2tf

(14)

式中：α為加權(quán)系數(shù)。則該優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)可寫為

minf

s.t.Δθi∈(-0.1|θn-θi|,0.1|θn-θi|)

i=1,2,…,n

(15)

2.3 免疫遺傳算法

免疫遺傳算法是將免疫思想和遺傳算法相結(jié)合而發(fā)展起來的一種群智能優(yōu)化算法[15]。免疫遺傳算法的興起較遺傳算法晚，因此可以視為遺傳算法的一種衍生算法。與遺傳算法相比，免疫遺傳算法不需雜交操作，而是采用注入疫苗的方法。疫苗是優(yōu)秀染色體中的一段基因，注入疫苗是指把疫苗接種到其他染色體中。對(duì)于絕大多數(shù)的優(yōu)化問題而言，遺傳算法和免疫遺傳算法的尋優(yōu)結(jié)果并沒有優(yōu)劣之分，計(jì)算效率相差不大。但免疫遺傳算法的出現(xiàn)為群智能算法開辟了新的領(lǐng)域。

免疫遺傳算法流程如下：

1)產(chǎn)生初始抗體群。隨機(jī)產(chǎn)生N個(gè)個(gè)體，并從中提取m個(gè)個(gè)體構(gòu)成初始群體，稱其為記憶庫，其中m為記憶庫中個(gè)體的數(shù)量。

2)計(jì)算適應(yīng)度，并完成種群中各個(gè)抗體的評(píng)價(jià)。

3)形成父代群體。將初始群體按期望繁殖率進(jìn)行降序排列，并取前N個(gè)個(gè)體構(gòu)成父代群體，同時(shí)取前m個(gè)個(gè)體存入記憶庫中。

4)判斷是否達(dá)到結(jié)束的次數(shù),是則結(jié)束；反之則繼續(xù)下一步操作。

5)產(chǎn)生新種群。在步驟3)的計(jì)算結(jié)果基礎(chǔ)上對(duì)抗體群體進(jìn)行選擇、交叉、變異操作得到新群體，并與記憶庫中的個(gè)體共同構(gòu)成新一代群體。

6)執(zhí)行步驟2)。

3 數(shù)值計(jì)算

3.1 參數(shù)設(shè)置

機(jī)械臂的相關(guān)參數(shù)設(shè)置均參考文獻(xiàn)[11]，因此本節(jié)得到的計(jì)算結(jié)果對(duì)空間機(jī)械臂的抑振軌跡規(guī)劃有一定的意義，同時(shí)對(duì)于SCARA等平面二關(guān)節(jié)機(jī)器人亦有相似的參考價(jià)值。具體而言，桿長L為0.75m，臂桿線密度ρ為3.74kg/m，柔性臂抗彎剛度EI為23.625N·m2，傳動(dòng)裝置剛度k為200。反復(fù)試算可知，目標(biāo)函數(shù)的值在計(jì)算過程中的變動(dòng)量較大，但是數(shù)量級(jí)相差不大，取加權(quán)系數(shù)α=1×10-1，則目標(biāo)函數(shù)的值將不存在數(shù)量級(jí)的差異，各部分的值均在目標(biāo)函數(shù)中有所體現(xiàn)。為了凸顯軌跡規(guī)劃的有效性，設(shè)置機(jī)械臂在較短的時(shí)間完成較長的軌跡，參考文獻(xiàn)[3]，機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)時(shí)間tf=2s。免疫遺傳算法的參數(shù)設(shè)置為：種群規(guī)模100，交叉率0.7，變異率0.02，迭代次數(shù)100。微分方程的求解采用定步長四階龍哥庫塔法，步長為0.001s，三次樣條的求解采用追趕法。

3.2 仿真結(jié)果

采用配備第7代酷睿i5處理器的聯(lián)想微機(jī)。計(jì)算的總時(shí)長為6 391s。仿真過程中注意到，自變量取值范圍的系數(shù)參考文獻(xiàn)[5]時(shí)，計(jì)算的過程中會(huì)出現(xiàn)奇異解，在變量范圍選取時(shí)應(yīng)當(dāng)注意這一點(diǎn)。

由圖3可知，最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值在50次迭代之后即趨于穩(wěn)定。在計(jì)算的前期目標(biāo)函數(shù)有波動(dòng)，隨著計(jì)算的進(jìn)行，目標(biāo)函數(shù)迅速減小并趨于穩(wěn)定。得到一組最優(yōu)解x=[-0.067 00 0.009 68 -0.077 10 -0.077 50 -0.095 40 -0.094 30 -0.034 50 -0.037 90 0.073 20]。

圖3 優(yōu)化計(jì)算過程

圖4所示為優(yōu)化后驅(qū)動(dòng)裝置角位移曲線，曲線平滑。圖5，6所示分別為優(yōu)化后角速度、角加速度曲線。由圖可知，采用分段的方式使得初始和終止位置的速度、加速度為零，而且插值點(diǎn)處的角速度、角加速度曲線過渡平緩，最值較小。

圖4 優(yōu)化后的插值曲線

圖5 優(yōu)化后角速度曲線

圖7所示是柔性關(guān)節(jié)的殘余振動(dòng)曲線，圖8所示是柔性臂桿末端的殘余振動(dòng)曲線。2個(gè)圖中，前2s是機(jī)械臂受到驅(qū)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)曲線，后2s不驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂，用于研究殘余振動(dòng)。比較兩條曲線可知，優(yōu)化后機(jī)械臂的關(guān)節(jié)殘余振動(dòng)和柔性臂桿末端的殘余振動(dòng)均顯著減小。關(guān)節(jié)變形由0.057 7減小為0.000 1，臂桿殘余振動(dòng)由0.012 0減小為0.000 1。優(yōu)化后，柔性關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)曲線變得平滑。這里只考慮了機(jī)械臂的殘余振動(dòng)，機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)過程中的振動(dòng)不在考慮范圍內(nèi)。圖像中也顯示出了類似的結(jié)果，即運(yùn)動(dòng)過程中的彈性變形并沒有因?yàn)榱己玫能壽E規(guī)劃而顯示出較好的動(dòng)態(tài)特性。

圖6 優(yōu)化后角加速度曲線

圖7 關(guān)節(jié)殘余振動(dòng)曲線

圖8 柔性桿末端殘余振動(dòng)曲線

4 結(jié)束語

本文對(duì)單連桿全柔性機(jī)器人振動(dòng)抑制的研究側(cè)重于理論方面。采用三次樣條曲線和五次多項(xiàng)式組合的方式進(jìn)行軌跡插值的方法對(duì)多連桿柔性機(jī)械臂同樣適用，但需要相關(guān)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證本文方法的有效性，因而后續(xù)的研究應(yīng)與實(shí)驗(yàn)結(jié)合起來。