杜曉彬，黃開勝，譚耿銳，黃 信

(廣東工業(yè)大學(xué)，廣州510006)

0 引言

外轉(zhuǎn)子永磁同步電機(jī)與傳統(tǒng)的內(nèi)轉(zhuǎn)子電機(jī)在結(jié)構(gòu)上相反，該結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)子在外圍，而定子與轉(zhuǎn)軸在內(nèi)，有利于風(fēng)機(jī)的輪轂、風(fēng)葉等部件方便地安裝在轉(zhuǎn)子上，每極能產(chǎn)生較大的磁通，轉(zhuǎn)矩密度較高，且定子的槽口向外，電樞繞組的繞制也較內(nèi)轉(zhuǎn)子電機(jī)要簡(jiǎn)單，適用于機(jī)械繞制。由于外轉(zhuǎn)子永磁電機(jī)擁有質(zhì)量和體積較小、效率高、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、安裝維護(hù)方便的特點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于管道通風(fēng)，壓縮制冷、凈化空調(diào)等方面［1－3］。

然而，在外轉(zhuǎn)子永磁同步電機(jī)中，由于定子槽與磁鋼的相互作用，導(dǎo)致電機(jī)內(nèi)磁場(chǎng)儲(chǔ)能的變化，不可避免會(huì)產(chǎn)生齒槽轉(zhuǎn)矩，影響了空載氣隙磁場(chǎng)波形的正弦性，導(dǎo)致電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)矩產(chǎn)生波動(dòng)，引起電機(jī)振動(dòng)和噪聲［4－5］。故在電機(jī)設(shè)計(jì)過程中，削弱齒槽轉(zhuǎn)矩是很有必要的，一直以來(lái)也是國(guó)內(nèi)外專家學(xué)者研究的熱點(diǎn)之一。

通過在電機(jī)定子上開輔助槽的方式來(lái)抑制齒槽轉(zhuǎn)矩是一種簡(jiǎn)單可行的方法，其效果相當(dāng)于增加了定子槽數(shù)，從而改變了極槽配合，選擇合適的輔助槽個(gè)數(shù)、槽口寬度、深度以及輔助槽位置可以有效地抑制齒槽轉(zhuǎn)矩［6－10］。傳統(tǒng)的研究方法是通過單變量實(shí)驗(yàn)的方法來(lái)研究，即在輔助槽個(gè)數(shù)、槽口寬度、深度以及輔助槽位置四個(gè)影響輔助槽的變量中，固定三個(gè)變量，選取其中一個(gè)變量，采用不同的步長(zhǎng)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，研究單一變量與齒槽轉(zhuǎn)矩的關(guān)系，從而確定最優(yōu)的單一變量取值，并用同樣的方法逐步確定其他變量。由于該種方法實(shí)驗(yàn)次數(shù)比較多，且實(shí)驗(yàn)時(shí)不能考慮各個(gè)變量之間的交互作用，本文采用響應(yīng)面法(以下簡(jiǎn)稱RSM)與粒子群(以下簡(jiǎn)稱PSO)算法相結(jié)合的方式進(jìn)行研究。通過Box－Behnken設(shè)計(jì)安排不同因素變量水平的實(shí)驗(yàn)組合，利用有限元軟件仿真得到不同組合下的齒槽轉(zhuǎn)矩幅值，采用多維二次模型進(jìn)行擬合，得到響應(yīng)函數(shù)，并分析了變量之間的交互作用。將響應(yīng)函數(shù)作為適應(yīng)度函數(shù)，通過PSO模型求取最優(yōu)組合，結(jié)果表明，通過RSM－PSO模型的方法，能有效抑制確定最優(yōu)輔助槽參數(shù)，從而達(dá)到抑制齒槽轉(zhuǎn)矩的目的。

1 基于輔助槽的永磁電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩分析

1．1 外轉(zhuǎn)子永磁同步電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩表達(dá)式

根據(jù)表貼式外轉(zhuǎn)子永磁同步電機(jī)運(yùn)行原理，在電機(jī)中，假設(shè)定子鐵心磁導(dǎo)率無(wú)窮大，永磁材料的磁導(dǎo)率等于空氣磁導(dǎo)率，不考慮飽和情況，則當(dāng)不斜槽時(shí)，齒槽轉(zhuǎn)矩的傅里葉表達(dá)式:

式中:z為電樞槽數(shù);La為鐵心長(zhǎng)度;R1，R2分別為定子外徑、轉(zhuǎn)子內(nèi)徑的半徑，n為使nz/2p為整數(shù)的整數(shù)。其中，的傅里葉展開式系數(shù)表達(dá)式:

式中:θs0為用弧度表示的槽口寬;hm為磁鋼充磁方向長(zhǎng)度;δ為有效氣隙長(zhǎng)度。

1．2 定子齒冠開輔助槽削弱齒槽轉(zhuǎn)矩分析

當(dāng)在定子齒冠上開輔助槽時(shí)，對(duì)于齒槽轉(zhuǎn)矩的影響，相當(dāng)于改變了電機(jī)的極槽配合，如果選擇合適的極槽配合，則可以有效地抑制齒槽轉(zhuǎn)矩。當(dāng)定子齒冠開輔助槽時(shí)，假設(shè)電機(jī)的輔助槽槽口寬度與定子槽槽口寬度一樣，且均勻開槽，每個(gè)定子齒上開輔助槽個(gè)數(shù)為k，若k為偶數(shù)，則:

若每個(gè)定子齒上開輔助槽數(shù)k為奇數(shù)，則:

由式(3)、式(4)可以看出，當(dāng)定子齒冠上開k個(gè)槽時(shí)，由于當(dāng)n為k+1的倍數(shù)時(shí)，式(3)、式(4)中Gn都不為零，且Gn的值為不開槽時(shí)候的k+1倍;而當(dāng)n不為k+1的倍數(shù)時(shí)，Gn為零。故極數(shù)和槽數(shù)的最大公約數(shù)Np=1時(shí)，放大的Gn總是對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩有影響。當(dāng)Np≠1時(shí)，k的取值為k+1≠mNp時(shí)，m為整數(shù)，則被放大的Gk+1對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩沒有影響。對(duì)于本文的12槽10極外轉(zhuǎn)子電機(jī)，Np=2，則k的取值為0，2，4，6等值，當(dāng)k為0時(shí)，為不開輔助槽的情況。

對(duì)于外轉(zhuǎn)子永磁同步電機(jī)，在定子齒冠表面開槽，涉及輔助槽的參數(shù)包括:輔助槽槽型、槽深、槽口寬度和輔助槽偏移齒冠中心線的角度。文獻(xiàn)［8－9］給出了單一輔助槽參數(shù)與永磁同步電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩之間的關(guān)系:對(duì)于輔助槽的槽型，矩形槽相較于半圓形槽和角形槽抑制齒槽轉(zhuǎn)矩的效果更好，故本文選取的槽型為矩形輔助槽。對(duì)于輔助槽的槽深，隨著槽深的增大，齒槽轉(zhuǎn)矩幅值先下降，然后上升;對(duì)于輔助槽寬度，隨著輔助槽的槽寬增加，齒槽轉(zhuǎn)矩幅值亦為先下降后上升;對(duì)于輔助槽偏移齒冠中心線的角度，在輔助槽位置關(guān)于齒冠中心線對(duì)稱的情況下，齒槽轉(zhuǎn)矩幅值隨著偏移角度的增大而先下降后上升。由以上分析可以看出，與齒冠上開輔助槽時(shí)，單一參數(shù)的變化總是對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩抑制效果有影響，故應(yīng)選取合適的參數(shù)值，以達(dá)到抑制齒槽轉(zhuǎn)矩的效果最為明顯。

2 電機(jī)模型建立及響應(yīng)面分析

2．1 電機(jī)模型建立與齒槽轉(zhuǎn)矩仿真分析

本文采用12槽10極外轉(zhuǎn)子電機(jī)模型，其基本參數(shù)如表1所示。利用ANSYS Maxwell 2D建立有限元模型，模型如圖1所示。

表1 電機(jī)模型基本參數(shù)

圖1 優(yōu)化前電機(jī)有限元模型

利用有限元軟件對(duì)該模型齒槽轉(zhuǎn)矩進(jìn)行仿真分析，為了提高仿真精確度，采用氣隙分層的方法，仿真得到的齒槽轉(zhuǎn)矩波形如圖2所示，可以看出齒槽轉(zhuǎn)矩幅值達(dá)到41．054 2 mN·m。本文將采用開輔助槽的方法來(lái)削弱齒槽轉(zhuǎn)矩，根據(jù)前面分析，12槽10極外轉(zhuǎn)子電機(jī)可以開槽的最低個(gè)數(shù)為k=2，即在每個(gè)定子齒冠上開兩個(gè)輔助槽，開槽方式如圖3所示，其中，b代表輔助槽槽口寬，h代表輔助槽槽深，θ代表輔助槽偏移齒冠中心線角度。為了不引進(jìn)新的諧波，同一個(gè)齒冠上相鄰的兩個(gè)輔助槽保持關(guān)于齒冠中心線對(duì)稱。

圖2 優(yōu)化前電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩波形圖

圖3 輔助槽深度、寬度和偏移角度

2．2 響應(yīng)面模型建立及回歸分析

響應(yīng)面法是根據(jù)合理的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，采用不同水平下各個(gè)因素的組合方式來(lái)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，并利用多維二次模型對(duì)響應(yīng)以及因素之間的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行擬合，以求得最優(yōu)解［11］。其中，三因素 Box－Behnken設(shè)計(jì)(以下簡(jiǎn)稱BBD)將實(shí)驗(yàn)點(diǎn)安排在立方體的中點(diǎn)上，如圖4所示，每個(gè)點(diǎn)代表著不同的因素組合。

圖4 BBD布點(diǎn)示意圖

本文采用的因素取值范圍:槽深 h=0．1～1．1mm;槽口寬度 b=1°～4°;偏移中心線角度 θ=3°～9°。由于偏移角度過小而槽口寬過大時(shí)會(huì)造成兩個(gè)相鄰的輔助槽重疊，故槽口寬宜采用角度來(lái)表示，以明顯區(qū)分兩個(gè)輔助槽不會(huì)重疊。其中，槽口寬b=1°為 2πD1/360°=0．767 5 mm ，D1為定子外徑。則不同因素的水平取值表如表2所示。采用有限元軟件進(jìn)行分析各種水平組合下的齒槽轉(zhuǎn)矩幅值Tcogm結(jié)果如表3所示。由于在有限元軟件ANSYS Maxwell 2D計(jì)算過程中采用自適應(yīng)剖分，即在計(jì)算過程中不斷根據(jù)計(jì)算結(jié)果進(jìn)一步自動(dòng)剖分，導(dǎo)致同樣參數(shù)下的電機(jī)模型的剖分與計(jì)算結(jié)果細(xì)微的差別，所以，實(shí)驗(yàn)組13～17雖然因素水平一樣，但是結(jié)果會(huì)有細(xì)微不同。

表2 實(shí)驗(yàn)因素水平表

表3 BBD實(shí)驗(yàn)安排及有限元仿真結(jié)果

利用Design－Expert軟件對(duì)仿真結(jié)果數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析計(jì)算，采用多維二次模型對(duì)因素變量與響應(yīng)之間函數(shù)關(guān)系進(jìn)行擬合，擬合響應(yīng)函數(shù):

式(5)中:b，h，θ為編碼變換后的數(shù)值，即其取值區(qū)間為［－1，1］。編碼變換后數(shù)值與實(shí)際數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系:

式中:xi為因素實(shí)際數(shù)值，為編碼變換后的數(shù)值。

為了對(duì)擬合的響應(yīng)函數(shù)進(jìn)行評(píng)價(jià)，采用方差分析對(duì)模型進(jìn)行評(píng)價(jià)，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇?。方差分析表如?所示。由表4可知，模型的P檢驗(yàn)值小于0.05，模型擬合程度較好，具有明顯的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。模型失擬值的P值大于0．1，表明實(shí)驗(yàn)誤差較小，失擬項(xiàng)不顯著。由Design－Expert軟件分析計(jì)算得到的決定系數(shù) R2為 0．999 8，大于 0．9，說明因素變量與響應(yīng)之間的關(guān)系顯著，數(shù)據(jù)規(guī)律被模型較好地反映。

表4 Tcog擬合模型方差分析

2．3 響應(yīng)面模型交互作用分析

為了考察各個(gè)因素之間的交互作用，利用Design－Expert繪制3D圖如圖5～圖7所示。對(duì)于輔助槽槽寬b與槽深h兩個(gè)因素，其方差分析P值小于0.001，交互作用顯著。由圖5可知，當(dāng)偏移角度為7．5°時(shí)，相較于槽寬，隨著槽深增加，響應(yīng)面變化的幅度更大，說明槽深對(duì)響應(yīng)值的影響更為顯著。隨著槽深增大，齒槽轉(zhuǎn)矩幅值先下降后上升，在0．2～0．5 mm 之間取得最小值;隨著槽寬增大，齒槽轉(zhuǎn)矩幅值同樣先下降后上升，在 1．2°～2．2°之間取得最小值。

圖5 輔助槽槽寬和槽深對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩影響

圖6 輔助槽偏移角度和槽深對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩影響

圖7 輔助槽偏移角度和槽寬對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩影響

對(duì)于偏移角度θ跟槽深h兩個(gè)因素，其方差分析P 值為0．019 3，小于0．05，交互作用顯著。由圖6可知，當(dāng)槽寬b為2．82°時(shí)，相較于槽深，隨著偏移角度增加，響應(yīng)面變化的幅度更大，說明偏移角度對(duì)于響應(yīng)值的影響更為顯著。隨著偏移角度的增大，齒槽轉(zhuǎn)矩幅值先是下降后上升，在5°～7°之間取得最小值。

對(duì)于偏移角度θ與槽寬b兩個(gè)因素，其方差分析P 值為0．017 8，小于0．05，交互作用顯著。由圖7可知，當(dāng)槽深h為0．6 mm時(shí)，相較于槽寬，隨著偏移角度增加，響應(yīng)面變化的幅度更大，說明偏移角度對(duì)于響應(yīng)值的影響更為顯著。綜上所述，最優(yōu)的輔助槽參數(shù)取值范圍:槽深 h=0．2～0．5 mm;槽寬 b=1．2°～2．2°，偏移角度 θ=5°～7°。

3 PSO算法尋優(yōu)及有限元軟件仿真分析

為了得到最優(yōu)的輔助槽參數(shù)具體數(shù)值，本文采用PSO算法對(duì)模型進(jìn)行尋優(yōu)，并采用式(5)響應(yīng)面函數(shù)作為算法的適應(yīng)度函數(shù)，最后利用有限元軟件對(duì)對(duì)求取的參數(shù)數(shù)值進(jìn)行仿真驗(yàn)算。

3．1 PSO算法尋優(yōu)過程

PSO算法是一種全局算法，其目標(biāo)是以最大概率依據(jù)收斂條件收斂到全局最優(yōu)解［12］。

在算法運(yùn)行過程中，每個(gè)粒子代表著數(shù)值解，有決定自身運(yùn)動(dòng)方向的位置和速度，并被適應(yīng)度函數(shù)所評(píng)價(jià)。其過程根據(jù)社會(huì)認(rèn)知和個(gè)體認(rèn)知，即個(gè)體極值點(diǎn)Pbest和全局極值點(diǎn)Gbest進(jìn)行迭代，并最終收斂于多次迭代后的全局最優(yōu)極值點(diǎn)。粒子i在第k次的速度和位置的迭代公式如下:

式中:ω為慣性權(quán)重;c1，c2為加速度因子;r1，r2為［0，1］之間隨機(jī)數(shù)。

PSO算法流程如圖8所示。設(shè)置進(jìn)化代數(shù)為50 代，種群規(guī)模為 80，加速度因子 c1，c2為 1．5，利用MATLAB計(jì)算分析，結(jié)果如圖9所示。可以看出，最優(yōu)的齒槽轉(zhuǎn)矩幅值穩(wěn)定在6．510 7 mN·m，對(duì)應(yīng)的輔助槽參數(shù)組合:槽深 h=0．538 8;槽寬 b=0．495 3;偏移角度θ=0．022 4。將上面參數(shù)組合按照式(6)轉(zhuǎn)換為實(shí)際數(shù)值，槽深、槽寬以及偏移角度依次為0．330 6 mm，1．757 1°，6．067 1°。

圖8 PSO算法流程

圖9 PSO算法尋優(yōu)結(jié)果

3．2 有限元軟件仿真分析

利用有限元軟件ANSYS－Maxwell 2D建立模型，模型參數(shù)按照尋優(yōu)結(jié)果設(shè)置，輔助槽槽深度取值為 0．330 6 mm，槽寬取值為 1．757 1°，偏移角度取值為6．067 1°。仿真結(jié)果如圖10所示，可以看出，齒槽轉(zhuǎn)矩幅值為6．962 4 mN·m，齒槽轉(zhuǎn)矩有明顯的下降，與PSO算法得出的結(jié)果基本一致。

圖10 優(yōu)化前與優(yōu)化后電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩對(duì)比

4 結(jié)語(yǔ)

為削弱一款外轉(zhuǎn)子永磁同步電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩，提出通過定子齒冠開輔助槽并利用RSM－PSO模型對(duì)輔助槽進(jìn)行設(shè)計(jì)的方法?；贐BD對(duì)輔助槽槽深、槽寬以及偏移角度3個(gè)因素進(jìn)行實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，通過有限元軟件對(duì)電機(jī)模型進(jìn)行仿真分析，采用多維二次模型對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，并通過方差分析對(duì)模型進(jìn)行評(píng)價(jià)。采用PSO算法對(duì)擬合結(jié)果進(jìn)行尋優(yōu)，并通過有限元軟件對(duì)結(jié)果分析驗(yàn)證，結(jié)果表明，采用本文的方法能有效抑制齒槽轉(zhuǎn)矩。