董成偉

(中北大學(xué)理學(xué)院物理學(xué)科部,太原 030051)(2018年8月23日收到;2018年10月22日收到修改稿)

混沌系統(tǒng)的奇怪吸引子是由無數(shù)條周期軌道稠密覆蓋構(gòu)成的,周期軌道是非線性動力系統(tǒng)中除不動點之外最簡單的不變集,它不僅能夠體現(xiàn)出混沌運動的所有特征,而且和系統(tǒng)振蕩的產(chǎn)生與變化密切相關(guān),因此分析復(fù)雜系統(tǒng)的動力學(xué)行為時獲取周期軌道具有重要意義.本文系統(tǒng)地研究了非擴(kuò)散洛倫茲系統(tǒng)一定拓?fù)溟L度以內(nèi)的周期軌道,提出一種基于軌道的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)來建立一維符號動力學(xué)的新方法,通過變分法數(shù)值計算軌道顯得很穩(wěn)定.尋找軌道初始化時,兩條軌道片段能夠被用作基本的組成單元,基于整條軌道的結(jié)構(gòu)進(jìn)行拓?fù)浞诸惖姆绞斤@得很有效.此外,討論了周期軌道隨著參數(shù)變化時的形變情況,為研究軌道的周期演化規(guī)律提供了新途徑.本研究可為在其他類似的混沌體系中找到并且系統(tǒng)分類周期軌道提供一種可借鑒的方法.

1 引 言

1963年,洛倫茲[1]在研究大氣熱對流問題時提出了著名的洛倫茲系統(tǒng).自此以后,越來越多的研究者投身到非線性科學(xué)的研究中,這些年來取得了長足的進(jìn)步.研究者們不僅關(guān)注于洛倫茲系統(tǒng)的動力學(xué)性質(zhì),也對其在混沌控制、混沌同步和保密通信等諸多領(lǐng)域的應(yīng)用做了大量的研究[2].與此同時,人們也提出了一些關(guān)于洛倫茲系統(tǒng)的拓展,例如只含有一個非線性項的勒斯勒系統(tǒng)[3]、四維超混沌洛倫茲系統(tǒng)[4]以及大氣物理中的一類擾動洛倫茲系統(tǒng)[5].目前,已經(jīng)發(fā)現(xiàn)洛倫茲系統(tǒng)、陳系統(tǒng)[6]和呂系統(tǒng)[7]能夠形成統(tǒng)一的洛倫茲混沌族[8].2000年,Schrier和Maas[9]提出了非擴(kuò)散洛倫茲系統(tǒng):該系統(tǒng)是洛倫茲模型的簡化,僅由一個參數(shù)來決定.自那以來,人們對該系統(tǒng)做了許多研究工作.文獻(xiàn)[10]以李雅普諾夫穩(wěn)定性理論為基礎(chǔ),針對非擴(kuò)散洛倫茲系統(tǒng),提出了一種三個耦合的恒等系統(tǒng)的全局混沌同步方案.文獻(xiàn)[11,12]介紹了非擴(kuò)散洛倫茲系統(tǒng)在保密通信領(lǐng)域的應(yīng)用,該系統(tǒng)可被用作發(fā)送器和接收器,并已在計算機(jī)仿真和電子實驗電路中得到了驗證.文獻(xiàn)[13,14]研究了分?jǐn)?shù)階非擴(kuò)散洛倫茲系統(tǒng)的混沌動力學(xué)性質(zhì)及其控制.文獻(xiàn)[15]采用解析的方式研究了非擴(kuò)散洛倫茲系統(tǒng)的重要軌道,如周期軌道和同宿軌道.文獻(xiàn)[16]提出了利用周期參數(shù)擾動的方法來控制非擴(kuò)散洛倫茲系統(tǒng)的混沌行為,文獻(xiàn)[17]則采用計算機(jī)數(shù)值模擬和實驗手段,研究了周期參數(shù)擾動的非擴(kuò)散洛倫茲系統(tǒng)動力學(xué)行為.

在混沌系統(tǒng)中,當(dāng)研究長時間的非線性動力學(xué)行為時,由于混沌運動和初始條件緊密相關(guān),想要精確預(yù)言出物理量的值是行不通的[18].然而,由于動力學(xué)運動具有各態(tài)歷經(jīng)行為,原則上能夠算出物理量的平均值.周期軌道理論是分析混沌體系動力學(xué)行為的一種強(qiáng)有力工具,軌道展開能夠有效計算動力系統(tǒng)物理量的平均值[19?21].該理論通過將找到的一定拓?fù)溟L度以內(nèi)的所有周期軌道有序排列,進(jìn)而計算出混沌系統(tǒng)的長期平均值.如果系統(tǒng)是均勻雙曲的,只計算短的周期軌道忽略長的周期軌道也可以得到很好的精度,軌道展開隨著周期軌道長度的增加快速收斂.應(yīng)用周期軌道理論的關(guān)鍵是建立合適的符號動力學(xué)[22],否則的話,即便發(fā)現(xiàn)了一些軌道,也不知道它們到底存在多少條以及彼此間是如何相關(guān)聯(lián)的.忽略掉一條短的周期軌道也將對計算精度產(chǎn)生影響.對于非擴(kuò)散洛倫茲系統(tǒng),周期軌道理論將會繼續(xù)起著重要的作用.目前為止,還沒有相關(guān)的研究工作對該系統(tǒng)的周期軌道開展系統(tǒng)的研究.本文提出了一種普適的方法用來系統(tǒng)地計算非擴(kuò)散洛倫茲系統(tǒng)的周期軌道,基于軌道在相空間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)建立合適的符號動力學(xué),借此實現(xiàn)對所有短周期軌道進(jìn)行分類.

本文首先討論了非擴(kuò)散洛倫茲系統(tǒng)的動力學(xué)性質(zhì),計算非線性耗散系統(tǒng)的周期軌道需要采用數(shù)值方法;其次,簡要介紹變分法,并采用此方法來計算系統(tǒng)的周期軌道;然后,討論了如何建立一維符號動力學(xué),這在分類一定拓?fù)溟L度內(nèi)的周期軌道時起著關(guān)鍵作用;最后,討論了周期軌道隨著參數(shù)變化時的演化情況.

2 非擴(kuò)散洛倫茲系統(tǒng)的動力學(xué)

非擴(kuò)散洛倫茲系統(tǒng)是由3個微分系統(tǒng)構(gòu)成的,其形式如下:

圖1 時間t=500時非擴(kuò)散洛倫茲系統(tǒng)的混沌行為(R=1) (a)x-z平面、(b)x-y平面和(c)y-z平面相圖;(d)變量x、(e)變量y和(f)變量z的時間序列圖Fig.1.Chaotic behaviors of the diffusionless Lorenz system at time t=500(R=1):Phase diagrams of(a)x-z plane,(b)x-y plane,and(c)y-z plane;time series diagrams for(d)x variable,(e)y variable,and(f)z variable.

式中R為系統(tǒng)的參數(shù);xz和xy為兩個非線性項.如同洛倫茲系統(tǒng)一樣,非擴(kuò)散洛倫茲系統(tǒng)進(jìn)行如(2)式的變換后保持不變:

即系統(tǒng)是關(guān)于z軸對稱的.非擴(kuò)散洛倫茲系統(tǒng)的兩個不動點分別為

系統(tǒng)軌道的演化情況對初始條件的選取非常敏感.圖1展示了當(dāng)參數(shù)R=1時,非擴(kuò)散洛倫茲系統(tǒng)復(fù)雜的演化軌道在不同二維空間上的投影以及不同變量的時間序列圖,選取的初值為[0.9,1.0,?1.0].此時系統(tǒng)的雅可比矩陣為

雅可比矩陣的本征值和不動點給出了此混沌系統(tǒng)更進(jìn)一步的信息.本征值滿足的特征方程為

由此可得到本征值為

通過本征值可以計算出軌道在不動點附近旋轉(zhuǎn)的周期大約是T≈|2π/ω(1)|=5.2211.始于不動點附近的一條軌道每旋轉(zhuǎn)一周遠(yuǎn)離及靠近的特征乘子分別為Λ1≈exp(μ(1)T)=2.5143,Λ3≈exp(λ(3)T)=8.5×10?4.系統(tǒng)的奇怪吸引子由無數(shù)條稠密覆蓋的周期軌道構(gòu)成,為了系統(tǒng)地計算出這些不穩(wěn)定的周期軌道,第3節(jié)將會介紹一種用來計算混沌系統(tǒng)周期軌道的強(qiáng)有力方法.

3 變分法計算周期軌道

變分法是一種計算周期軌道的新穎方法[23].這種方法既保留了多點打靶法魯棒性的特點,當(dāng)搜尋過程已經(jīng)足夠接近于真實的周期軌道時,同時又具有收斂速度快的特點.變分法的物理思想是:首先要對想要尋找的不穩(wěn)定周期軌道作出整體拓?fù)渖系囊粋€粗糙的圈猜想,然后應(yīng)用變分法來驅(qū)使初始猜想的圈朝著真實的周期軌道逐漸演化.該方法為了保持魯棒性,不是只猜某一條周期軌道上的若干個點,而是先猜出整條軌道;為了實現(xiàn)數(shù)值方法的穩(wěn)定性,采用牛頓下降法代替牛頓-拉弗森迭代法.

變分法能夠高效地計算低維耗散動力學(xué)系統(tǒng)的周期軌道,對于這類系統(tǒng),相空間的體積在演化過程中不斷收縮,因此存在吸引子.哈密頓系統(tǒng)和高維復(fù)雜體系的周期軌道同樣可以利用變分法進(jìn)行計算.當(dāng)前,我們面臨著許多大自由度的非線性復(fù)雜體系,由于需要使用多個變量來描述大量的自由度,在數(shù)值計算時就需要占用大量的計算機(jī)內(nèi)存,而與之相關(guān)的龐大計算會使得計算速度變得很慢.即使投入了大量的資源得到一些零散的結(jié)果,常常也難以發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含的規(guī)律,得出富有洞察力的理解.因此對于高維系統(tǒng)甚至流體系統(tǒng)而言,如何有效地簡化變分法,降低計算所需的時間成本,還需要做進(jìn)一步的研究.

偏微分方程(7)描述了利用變分法計算時,初始圈猜想朝著真實周期軌道的演變過程:

式中v為流矢量,定義了動力系統(tǒng)=v(x);圈的微分=d/ds為矢量,與由s∈[0,2π]參數(shù)化的初始猜想圈相切;λ=λ(τ)為用來控制軌道周期的參數(shù),τ為虛擬的演化時間,控制迭代次數(shù);A=?v/?x為速度場的梯度矩陣.

方程(7)所具有的重要特性是,當(dāng)猜想圈逐漸朝著周期軌道演化時計算得到的成本函數(shù)F2[]單調(diào)遞減:

每進(jìn)行一步迭代,圈的切速度方向和動力系統(tǒng)流的速度方向的差別就在減小.當(dāng)τ→∞時,圈的切速度=λv就和動力系統(tǒng)的流矢量一致,此時圈猜想收斂到動力系統(tǒng)流=v(x)定義的真實周期軌道上.一旦計算出周期軌道,其周期可通過(9)式得出:

此外,既然此時已經(jīng)找出這條周期軌道,也可以取周期軌道上的一個點作為初始點,直接對動力系統(tǒng)進(jìn)行積分來計算軌道的周期.

數(shù)值計算時,采用有限差分方法來離散化圈猜想.為了保證數(shù)值穩(wěn)定性,可將圈猜想離散成(10)式的形式:

進(jìn)行數(shù)值計算時采用五點法近似:

其中h=2π/N.這里的每個矩陣元代表著一個d×d的矩陣,空白處代表零,其中的兩個2d×2d矩陣

分別位于右上角和左下角,用來滿足周期性的邊界條件.

這樣,(7)式可以寫成以虛擬時間步長δτ作為迭代的離散化形式:

在之前的工作中,我們應(yīng)用變分法研究了耗散系統(tǒng)以及存在排斥子系統(tǒng)的周期軌道,例如Kuramoto-Sivashinsky系統(tǒng)及其穩(wěn)態(tài)解[25?27],勒斯勒系統(tǒng)[28]以及洛倫茲混沌族[29,30].變分法也可以用來計算保守系統(tǒng)的周期軌道,例如交叉電磁場中的里德伯原子系統(tǒng)[31].顯然這里也可以用變分法來研究非擴(kuò)散洛倫茲系統(tǒng)的周期軌道.

4 拓?fù)浞绞椒诸惙菙U(kuò)散洛倫茲系統(tǒng)的周期軌道

4.1 初始化和符號動力學(xué)

本節(jié)首先討論如何對非擴(kuò)散洛倫茲系統(tǒng)所有的短周期軌道進(jìn)行計算及分類.我們采用變分法計算,參數(shù)取R=1.隨后也將討論改變參數(shù)R時,周期軌道的演變情況.兩條短的周期軌道可以被用作基本的組成單元,據(jù)此成功建立了一維符號動力學(xué),找到了一定拓?fù)溟L度內(nèi)的所有周期軌道.

圖2 變分法找到的非擴(kuò)散洛倫茲系統(tǒng)最短的周期軌道(R=1) (a)藍(lán)線是初始猜想的軌道,紅線是系統(tǒng)中真實的周期軌道;(b)周期軌道01的二維投影,圖中標(biāo)出了軌道片段相對應(yīng)的符號序列Fig.2.Shortest periodic orbit of diffusionless Lorenz system found by variational method(R=1):(a)Blue line denotes the loop guess,and red line represents the periodic orbit;(b)two-dimensional projection of periodic orbit 01;the sequences of symbols corresponding to the orbit fragments are also labeled.

應(yīng)用變分法時,有許多種初始化圈猜想的方法.例如,為了得到非擴(kuò)散洛倫茲系統(tǒng)的周期軌道,首先對動力系統(tǒng)(1)式進(jìn)行長時間的數(shù)值積分,這可以讓我們對態(tài)空間里軌道密集的區(qū)域有一定的了解,進(jìn)而從中摘取出接近周期的軌道.我們選擇那些接近閉合的軌道片段,通過快速傅里葉變換使之平滑,變成波數(shù)表示,然后去掉高頻部分,做快速傅里葉逆變換到態(tài)空間就得到了一個閉合的初始化圈.通過這種初始化的方式,經(jīng)過一些嘗試后,可以計算出系統(tǒng)具有簡單拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的周期軌道.圖2展示了利用變分法找到的一條拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)最簡單的周期軌道.

為了找到非擴(kuò)散洛倫茲系統(tǒng)一定拓?fù)溟L度以內(nèi)的所有周期軌道,可以借助于符號動力學(xué)的序列.對于一維單峰映射,在區(qū)間內(nèi)只有一個極值點,因此可以用兩個符號來建立系統(tǒng)的符號動力學(xué).根據(jù)迭代,任何軌道都對應(yīng)著惟一一段無窮的符號序列,那么周期軌道就可以通過一個周期序列給出.以符號序列標(biāo)記的周期軌道0,1,001等都是素周期軌道,而0101就不是素周期軌道.長度為2的周期軌道可以由序列010101···來描述,將該軌道標(biāo)記為01.由于這條軌道的拓?fù)溟L度為2,其符號序列用兩個符號來表示.這樣就可以用不同的符號序列來表示不同拓?fù)溟L度的周期軌道.

遺憾的是,非擴(kuò)散洛倫茲系統(tǒng)的回歸映射是比較復(fù)雜的,并非一維單峰映射,因此通常的方式很難建立一維符號動力學(xué)來系統(tǒng)地計算周期軌道.需要使用更多的符號序列來表示,這帶來了一定的難度.如何在非單峰映射中有效建立符號動力學(xué)是開放式的問題.本文提出一種針對非擴(kuò)散洛倫茲系統(tǒng)建立一維符號動力學(xué)的新方式:利用周期軌道的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).后文還將介紹到計算此混沌體系周期軌道的另一種初始化方法.

4.2 非擴(kuò)散洛倫茲系統(tǒng)周期軌道的計算

在系統(tǒng)計算非擴(kuò)散洛倫茲系統(tǒng)的周期軌道時,初始化過程為:首先對動力系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值積分,然后找到那些接近閉合的軌道片段,并且手動的把它連接成為閉合的圈.即便圈猜想不足夠光滑,變分法也可以把猜想圈逐漸修正成為系統(tǒng)真實的周期軌道.通過觀察計算出短周期軌道的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),可以建立一維符號動力學(xué).圖2(b)展示了圖2(a)的軌道在二維平面的投影.我們把在不動點S?附近旋轉(zhuǎn)的軌道片段記為符號0,把在不動點S+附近旋轉(zhuǎn)的軌道片段記為符號1.因此,標(biāo)記圖2(b)所示的軌道為01軌道,其拓?fù)溟L度為2,有最短的周期T=10.769012,分別繞著兩邊的不動點旋轉(zhuǎn)了一周,計算該軌道時取100個點.這兩條軌道片段能夠被用作計算其他復(fù)雜軌道的組成單元.應(yīng)用變分法計算繞著兩個不動點旋轉(zhuǎn)多圈的復(fù)雜周期軌道時,需要更精確的初始猜想,否則很可能尋找失敗.通過對計算出的短周期軌道進(jìn)行剪切以及黏貼來作為長軌道的猜想圈,對于非擴(kuò)散洛倫茲系統(tǒng),這種方法為長軌道的初始圈猜想提供一種系統(tǒng)化的方式.即使手動連接軌道片段使之閉合,變分法也通常會收斂.

表1 非擴(kuò)散洛倫茲系統(tǒng)拓?fù)溟L度5以內(nèi)的所有周期軌道Table 1.Cycles up to topological length of 5 for diffusionless Lorenz system.

通過這種方式,可以借助于一維符號動力學(xué)的符號序列對更長的周期軌道進(jìn)行初始化.圖3(a)展示了拓?fù)溟L度為3的011軌道,它由3個基本的軌道片段構(gòu)成,即兩條1軌道片段以及一條0軌道片段.圖3(b)展示了一條拓?fù)溟L度為4的0001軌道,它繞著左邊的不動點旋轉(zhuǎn)了三次,而繞著右邊的不動點旋轉(zhuǎn)了一周.圖3(c)和圖3(d)展示了拓?fù)溟L度為5的兩條周期軌道.在一維符號動力學(xué)的幫助下,能夠系統(tǒng)地找到一定拓?fù)溟L度以內(nèi)的所有周期軌道:首先基于符號動力學(xué)構(gòu)建初始猜想圈,利用變分法使之朝著真實的周期軌道演化,以此來驗證該符號序列的周期軌道是否存在.

總共找到了12條拓?fù)溟L度5以內(nèi)的周期軌道,表1列出了這些周期軌道的相關(guān)信息,即軌道的拓?fù)溟L度、符號序列、周期以及周期軌道上一點的坐標(biāo)x,y,z,不存在的周期軌道用符號“—”表示.利用變分法計算拓?fù)溟L度為3和4的周期軌道時我們?nèi)×?50個點,而計算拓?fù)溟L度為5的周期軌道時使用了200個點.計算發(fā)現(xiàn)0軌道和1軌道并不存在.從表1可以看到,軌道001和011是互相對稱的,它們有著相同的周期,軌道00011和00111是互相對稱的,而軌道0011則是同自身共軛.上述規(guī)律是由系統(tǒng)的z軸對稱性所決定的.

圖3 非擴(kuò)散洛倫茲系統(tǒng)的四條周期軌道 (R=1,“+”表示兩個不動點S?和S+的位置) (a)011軌道;(b)0001軌道;(c)00011軌道;(d)00101軌道Fig.3.Four periodic orbits of diffusionless Lorenz system for R=1(two fixed points S?and S+are marked with“+”):(a)011 orbit;(b)0001 orbit;(c)00011 orbit;(d)00101 orbit.

4.3 參數(shù)變化時周期軌道的演化情況

利用已知軌道的同倫演化也可以方便地進(jìn)行初始化.如果動力系統(tǒng)和參數(shù)值相關(guān),當(dāng)參數(shù)值有小的改變時大多數(shù)短的不穩(wěn)定周期軌道變化很小,所以在某一參數(shù)下存在的一個周期軌道,可以被選作附近的新參數(shù)值的初始猜想圈.實際應(yīng)用變分法時,通常只需要少量的迭代計算就可以找到新的周期軌道.

現(xiàn)在研究改變參數(shù)R時,周期軌道的演化情況.以01軌道為例,通過不斷增大R值獲取形變后的新軌道.在計算時,前一個R值的周期軌道被用作下一個R值周期軌道的猜想圈,這樣就能夠連續(xù)形變01軌道.圖4展示了4個不同R值對應(yīng)的01軌道及軌道周期的演化情況,可見01軌道的周期隨著R值的增大逐漸減小.從圖4可以看到,R值越小,01軌道越接近于兩邊的兩個不動點S?和S+.當(dāng)參數(shù)R取很小的值時,軌道不再繞著兩個不動點旋轉(zhuǎn),因此01軌道將不再存在.我們也利用變分法進(jìn)行了計算,發(fā)現(xiàn)當(dāng)R<0.5時,01軌道不再收斂.

圖4 01軌道4個不同R值情況下的形變Fig.4.Deformation of cycle 01 with four different R values.

5 結(jié) 論

本文利用變分法提出了一種新方式來系統(tǒng)地計算非擴(kuò)散洛倫茲系統(tǒng)的周期軌道.基于相空間軌道的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),兩條基本的軌道能夠被用作初始化圈猜想的組成單元,我們成功地建立了一維符號動力學(xué)實現(xiàn)了對所有短周期軌道的分類;并研究了當(dāng)參數(shù)值發(fā)生變化時,01軌道的形變情況,獲取了軌道周期隨著參數(shù)變化的演化規(guī)律.對于非擴(kuò)散洛倫茲系統(tǒng),計算得到的這些周期軌道能夠通過周期軌道理論被用來估算動力學(xué)量的平均值,對于更長的周期軌道來講,它們僅會對結(jié)果起到小的修正.本文為系統(tǒng)地研究洛倫茲混沌族等低維耗散系統(tǒng)的周期軌道提供了一種普適的方法.仍然需要對一些問題進(jìn)行進(jìn)一步的研究,例如,為了有效地獲取動力學(xué)性質(zhì),應(yīng)該分析系統(tǒng)的連接軌道等其他的不變集合.拓?fù)涞姆治龇椒ɑ蛟S可以為我們系統(tǒng)地分類連接軌道以及分析它們彼此間的關(guān)聯(lián)提供一種新途徑.另外,系統(tǒng)隨著參數(shù)變化時的各種分岔行為也值得將來做進(jìn)一步的研究.