司業(yè)佳

[摘 要] 對(duì)基本概念理解不準(zhǔn)確、對(duì)圖像變化規(guī)律不明晰、對(duì)函數(shù)模型應(yīng)用不敏感是學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的慣性困境.高中教師在教學(xué)實(shí)踐中應(yīng)當(dāng)立足于函數(shù)的整體性，使用GeoGebra輔助教學(xué)，化解學(xué)生函數(shù)學(xué)習(xí)中的慣性困境，彌補(bǔ)傳統(tǒng)函數(shù)教學(xué)的效果缺位，涵育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 核心素養(yǎng)；信息技術(shù)；函數(shù)；GeoGebra

函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界變化規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型，是解決實(shí)際問題的重要工具.學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)在函數(shù)的學(xué)習(xí)中有效創(chuàng)生. 但在教學(xué)實(shí)踐中，學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)存在諸多慣性困境. 例如，由于初高中函數(shù)的概念跨度很大，學(xué)生對(duì)函數(shù)的概念理解不準(zhǔn)確；函數(shù)圖像變換過于抽象，學(xué)生對(duì)圖像變化規(guī)律不明晰；對(duì)函數(shù)模型應(yīng)用不敏感……

造成這種慣性困境的誘因在于教師沒有把握好函數(shù)教學(xué)的整體性，學(xué)生在局部的、零散的學(xué)習(xí)中，自然難以全面地掌握.信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合是培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效路徑，如果有效地運(yùn)用現(xiàn)代教學(xué)技術(shù)，以培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為教學(xué)主線，引導(dǎo)學(xué)生在變量間的依賴關(guān)系中數(shù)學(xué)地抽象出對(duì)應(yīng)關(guān)系（數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)）、借助圖像的直觀刻畫函數(shù)的性質(zhì)（直觀想象素養(yǎng)）、用模型搭建現(xiàn)實(shí)問題與函數(shù)的橋梁（數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)）……函數(shù)的內(nèi)容就成為整體的、聯(lián)系的主題，現(xiàn)有的教學(xué)困境將逐個(gè)擊破.

GeoGebra作為結(jié)合幾何、代數(shù)、微積分的動(dòng)態(tài)軟件，不僅具有幾何畫板、超級(jí)畫板的所有功能，還兼具“集合”“函數(shù)”“圖表”等功能，容易操作. 教師可以利用GeoGebra這些特性，將其作為函數(shù)教學(xué)的利器，能夠突破教學(xué)困境，使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在函數(shù)教學(xué)中“落地生根”. 筆者結(jié)合函數(shù)教學(xué)中的教學(xué)困境，分析GeoGebra輔助函數(shù)教學(xué)的施力域.

GeoGebra使函數(shù)的概念教學(xué)更形象

初中將函數(shù)定義為變量間的依賴關(guān)系，高中將其定義為變量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.對(duì)應(yīng)關(guān)系對(duì)學(xué)生來說是很抽象的. 教師可以先列舉學(xué)生熟悉的案例，再利用GeoGebra，通過用對(duì)應(yīng)關(guān)系來刻畫函數(shù)，并揭示兩種定義的差異，感悟函數(shù)進(jìn)一步抽象的必要性，提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).

案例1：用“箭頭圖”表示函數(shù)變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

（1）情境：我國常通過調(diào)查往年人口來分析其變化趨勢(shì).現(xiàn)有1954—1999年每5年的人口數(shù)（百萬），讓學(xué)生說出人口變化情況.

（2）分析：學(xué)生可能回答“人口數(shù)隨年份的增加而增加”. 教師可進(jìn)一步提問“具體的變化關(guān)系”引導(dǎo)學(xué)生用集合語言來闡述，用“箭頭圖”（如圖1）揭示年份與人口數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

（3）成效：用學(xué)生熟悉的情境導(dǎo)入，用集合語言和對(duì)應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù)，理解抽象的函數(shù)概念，提升數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).

GeoGebra使函數(shù)的圖像教學(xué)更明晰

函數(shù)圖像的學(xué)習(xí)中處處蘊(yùn)含著直觀想象的核心素養(yǎng). 教師要避免把函數(shù)的圖像和性質(zhì)當(dāng)成兩個(gè)分離的部分，要把握二者的關(guān)系，可借助GeoGebra將傳統(tǒng)教學(xué)說不清道不明的圖像及其動(dòng)態(tài)變化過程生動(dòng)地呈現(xiàn)在學(xué)生面前，用形的直觀進(jìn)一步研究函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、周期性等性質(zhì). 此外，函數(shù)圖像的學(xué)習(xí)還建立了形與數(shù)的聯(lián)系，進(jìn)一步體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想.

案例2：用單位圓的對(duì)稱性推導(dǎo)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式.

（1）情境：角的終邊除了重合，還可能有其他特殊的關(guān)系，如關(guān)于x軸/y軸/原點(diǎn)對(duì)稱、相差90°等. 對(duì)于這些終邊有特殊關(guān)系的角的同一三角函數(shù)，我們能否發(fā)現(xiàn)它們的關(guān)系？

（2）分析：學(xué)生常會(huì)混淆三角函數(shù)的幾個(gè)誘導(dǎo)公式，這說明學(xué)生并沒有真正理解.因此，教師應(yīng)當(dāng)通過改善教學(xué)幫助學(xué)生理解.從三角函數(shù)的定義不難發(fā)現(xiàn)，三角函數(shù)與單位圓有密切的關(guān)系.事實(shí)上，誘導(dǎo)公式也可由單位圓的對(duì)稱性推出. 以“α與-α的誘導(dǎo)公式”為例，教師用GeoGebra在單位圓中作一個(gè)任意角α的終邊（如圖2），通過對(duì)稱變換作-α的終邊，演示α的動(dòng)態(tài)變化，讓學(xué)生猜想α與-α的三角函數(shù)的關(guān)系，教師再加以總結(jié).

（3）成效：用單位圓的對(duì)稱性推導(dǎo)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，提升邏輯推理的核心素養(yǎng). 學(xué)生使用公式時(shí)也會(huì)再次想象這一推導(dǎo)過程，提升直觀想象的核心素養(yǎng).

案例3：研究函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像.

（1）情境：許多實(shí)際問題中常遇到形如y=Asin（ωx+φ）的函數(shù)，那它的圖像是怎樣的呢？

（2）分析：對(duì)于多變量問題，學(xué)生已經(jīng)掌握了控制變量的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).這里可以先設(shè)置ω，A均為1并保持不變，通過移動(dòng)滑竿改變?chǔ)盏闹担ㄈ鐖D3），讓學(xué)生觀察并找出規(guī)律，再分別改變?chǔ)?，A的值重復(fù)上述過程.

（3）成效：用粉筆畫函數(shù)圖像并不精確，且難以呈現(xiàn)動(dòng)態(tài)過程. GeoGebra軟件克服了這些困難，讓圖像真正動(dòng)起來. 教師還可以讓學(xué)生操作，增加學(xué)習(xí)興趣.在圖像隨參數(shù)改變而變化的過程中，讓學(xué)生猜想變化的規(guī)律，提升學(xué)生邏輯推理與直觀想象的核心素養(yǎng).

GeoGebra使函數(shù)的應(yīng)用教學(xué)更生動(dòng)

掌握函數(shù)的概念、圖像及性質(zhì)后，還要用函數(shù)解決問題.如用函數(shù)的零點(diǎn)判斷方程根的個(gè)數(shù)；用二分法求方程近似解；用三角函數(shù)模型刻畫簡諧振動(dòng)、交變電流的周期變化；用指數(shù)函數(shù)模型刻畫三角鋼琴的輪廓曲線；用二次函數(shù)模型刻畫拋物運(yùn)動(dòng)的規(guī)律.

案例4：澳洲“談兔色變”現(xiàn)象：兔子的指數(shù)爆炸繁殖.

（1）情境：英國人把一些兔子帶到了澳洲，但沒想到兔子的繁殖速度特別快，以至于破壞了澳洲的生態(tài)平衡，導(dǎo)致澳洲人“談兔色變”. 研究發(fā)現(xiàn)，“從一對(duì)初生的兔子開始，第1個(gè)月到第12個(gè)月兔子的對(duì)數(shù)滿足斐波那契增長：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…”，這可近似為指數(shù)增長的數(shù)列：y≈0.447214×1.61803n. 請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)這個(gè)公式計(jì)算y剛超過10000時(shí)n的值n0，然后把底數(shù)換為0.6，計(jì)算n0對(duì)應(yīng)的y的近似值（可用計(jì)算工具）；再借助GeoGebra，比較指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)的增長速度.

（2）分析：先通過數(shù)學(xué)運(yùn)算初步體會(huì)這個(gè)情境中指數(shù)函數(shù)的“爆炸性”增長；再選取更一般的指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)，如y=3x，y=log2x，y=x1.5，用GeoGebra畫出它們的圖像（如圖4），比較三者的增長速度，進(jìn)一步體會(huì)指數(shù)函數(shù)的“爆炸性”增長.

（3）成效：用函數(shù)解決現(xiàn)實(shí)問題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng). 從形的角度猜想指數(shù)函數(shù)的“爆炸”增長，從數(shù)的角度通過運(yùn)算加以驗(yàn)證，數(shù)形結(jié)合，提升邏輯推理的核心素養(yǎng). 用軟件畫函數(shù)圖像，為學(xué)生比較函數(shù)的增長速度提供直觀，提升直觀想象的核心素養(yǎng).

總結(jié)

用GeoGebra輔助函數(shù)教學(xué)，為師生交流、生生交流、人機(jī)交流搭建平臺(tái)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生主動(dòng)地參與學(xué)習(xí). 用GeoGebra繪制箭頭圖，讓學(xué)生用集合語言和對(duì)應(yīng)關(guān)系理解抽象的函數(shù)概念，提升數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng). 通過繪制精確的函數(shù)圖像、設(shè)置滑竿進(jìn)行圖像變換，將傳統(tǒng)教學(xué)說不清道不明的圖像動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)在學(xué)生面前，為研究函數(shù)的性質(zhì)建立形的直觀，提升直觀想象的核心素養(yǎng).同時(shí)還用它的計(jì)算功能驗(yàn)證學(xué)生的猜想，提升邏輯推理的核心素養(yǎng).此外，GeoGebra建立了形與數(shù)之間的關(guān)系，有利于函數(shù)教學(xué)整體性的把握.