崔鳴岐

(北京市第十二中學(xué) 100071)

一、二項(xiàng)式展開式

1．二項(xiàng)式展開式的正用

解法1 原式

二項(xiàng)式展開式中有三個(gè)量，它們是二項(xiàng)式的項(xiàng)、二項(xiàng)式的指數(shù)、展開式，題目已知二項(xiàng)式的項(xiàng)、二項(xiàng)式的指數(shù)求展開式即三個(gè)量的關(guān)系的知二求一，解法1直接用二項(xiàng)式定理展開從而求解.

題目解法2化簡(jiǎn)后再展開的求解方法.化簡(jiǎn)后分子轉(zhuǎn)化為已知二項(xiàng)式的項(xiàng)、二項(xiàng)式的指數(shù)求展開式即三個(gè)量的關(guān)系的知二求一，從而再用二項(xiàng)式定理展開使問題得以解決.

點(diǎn)評(píng) 熟記二項(xiàng)式定理,是解答與二項(xiàng)式定理有關(guān)問題的前提條件,對(duì)比較復(fù)雜的二項(xiàng)式,有時(shí)先化簡(jiǎn)再展開更便于計(jì)算.

2.二項(xiàng)式展開式的“逆用”

二項(xiàng)式展開式中有三個(gè)量，它們是二項(xiàng)式的項(xiàng)、二項(xiàng)式的指數(shù)、展開式，我們采取先將變形轉(zhuǎn)化為展開式再解答的解題步驟.將變形轉(zhuǎn)化為展開式后題目就轉(zhuǎn)化為已知展開式、二項(xiàng)式的指數(shù)求二項(xiàng)式的項(xiàng)即三個(gè)量的關(guān)系的知二求一的常規(guī)題.

點(diǎn)評(píng) 逆向應(yīng)用公式和變形應(yīng)用公式是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn),也是重點(diǎn),只有熟練掌握公式的正用,才能掌握逆向應(yīng)用和變式應(yīng)用.

二、通項(xiàng)公式

1．求展開指定項(xiàng)的系數(shù)

A.15 B.20 C.30 D.35

已知二項(xiàng)式求展開式指定項(xiàng)的系數(shù), 直接利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式求解即可．

答案：45

對(duì)于三項(xiàng)式問題一般先變形化為二項(xiàng)式再解決．

2．求二項(xiàng)式的指數(shù)

例6 (2017年山東)已知(1+3x)n的展開式中含有x2的系數(shù)是54，則n=____.

解 (1+3x)n的展開式中通項(xiàng)公式：

∵含有x2的系數(shù)是54，

∴r=2．

解得n=4．

故答案為：4．

已知展開式指定項(xiàng)的系數(shù)求二項(xiàng)式的指數(shù)，需利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式轉(zhuǎn)化為方程從而使問題得以解決．

3．求二項(xiàng)式的項(xiàng)或項(xiàng)的系數(shù)

已知展開式指定項(xiàng)的系數(shù)求二項(xiàng)式的項(xiàng)的系數(shù)，需利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式轉(zhuǎn)化為方程從而使問題得以解決．

點(diǎn)評(píng) 該類題考查二項(xiàng)式定理通項(xiàng)公式的應(yīng)用, 已知二項(xiàng)式求展開式指定項(xiàng)的系數(shù), 直接利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式求解即可；已知展開式中指定項(xiàng)的系數(shù)求二項(xiàng)式的指數(shù)或求二項(xiàng)式的項(xiàng)的系數(shù)，需利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式轉(zhuǎn)化為方程從而使問題得以解決；對(duì)于三項(xiàng)式問題一般先變形化為二項(xiàng)式再解決．過程中注意(1)二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)的區(qū)別;(2)表示第r+1項(xiàng).

三、二項(xiàng)式展開式系數(shù)的性質(zhì)

點(diǎn)評(píng) 該題考查二項(xiàng)式定理性質(zhì)系數(shù)的應(yīng)用,二項(xiàng)式定理性質(zhì)中二項(xiàng)式系數(shù)的和為2n.已知系數(shù)之和，利用二項(xiàng)式定理性質(zhì)構(gòu)造方程求出二項(xiàng)式的指數(shù)，進(jìn)一步利用通項(xiàng)公式求出展開式指定項(xiàng)常數(shù)項(xiàng).

例9 (2015高考湖北)已知(1+x)n的展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為( ).

A.212B．211C．210D．29

答案:D.

二項(xiàng)式性質(zhì)的學(xué)習(xí)過程中對(duì)高考近幾年熱點(diǎn)題目根據(jù)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行歸類，在充分利用分類法學(xué)習(xí)的同時(shí)也兼顧到分類的不重不漏原則，才能做到在跳出題海的同時(shí)使復(fù)習(xí)更系統(tǒng)更全面.二項(xiàng)式展開式應(yīng)用的題目解答過程中我們可以看出二項(xiàng)式展開式中有三個(gè)量，它們是二項(xiàng)式的項(xiàng)、二項(xiàng)式的指數(shù)、展開式(或展開式的變形，若是展開式的變形那么我們首要做的是將它轉(zhuǎn)化為展開式)，無論是二項(xiàng)式展開式的正用還是逆用都可以看作在利用三個(gè)量的關(guān)系的知二推一，也就是利用轉(zhuǎn)化思想方程思想使問題得以解決，這種解決問題的方法同樣用在通項(xiàng)公式、二項(xiàng)式展開式系數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用的相關(guān)題目的解答中.分類思想、轉(zhuǎn)化思想、方程思想解決問題的思想方法若用到數(shù)學(xué)學(xué)科其他知識(shí)或其他學(xué)科知識(shí)的問題解決中都可以使問題解決達(dá)到事半功倍的效果.