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(佳木斯大學(xué)理學(xué)院，黑龍江 佳木斯 154007)

1 引 言

中心力場是一種保守力場，它的勢能V(r)與坐標(biāo)的取向無關(guān)，具有空間轉(zhuǎn)動(dòng)不變性，其軌道角動(dòng)量是守恒量。在過去的幾十年里，中心力場的相關(guān)量子力學(xué)問題被廣泛的研究。電偶極子模型也是非常重要的物理模型，其在電解質(zhì)極化、電磁波的發(fā)射和吸收、生物體所有的活動(dòng)與電場的作用等都可以通過建立電偶極子模型來處理。就是利用量子力學(xué)中的相關(guān)理論來研究中心力場中的電偶極輻射問題。

2 電偶極自發(fā)躍遷選擇定則

(1)

其中n、n′各代表4個(gè)量子數(shù)，ω=(Enl-En′l′)，上式中

(2)

三個(gè)矩陣元中至少要有一個(gè)不等于零，躍遷才是允許的。ψnljmj可以表示成

ψnljmj=Rnl(r)φljmj(θ,φ,sz)

(3)

(4a)

(4b)

(4c)

(4d)

(5)

其中徑向積分與選擇定則無關(guān)。利用公式

(6)

及公式

(7)

即得

(8)

類似地，可得

(9)

(10a)

(10b)

(10c)

以及Ylm的正交歸一性和式(4)，就可算出這些矩陣元。這樣計(jì)算較之直接利用Ylm的遞推公式要方便得多，特別是有利于確定選擇定則。但是定性地利用Ylm的遞推公式還是有益的，它們是

(11)

(12)

由此可見，量子數(shù)l的選擇定則是Δl=±1，下面分類討論。

第一種情況：

Enl→En′l′,l′→l+1,Δl=l′-l=1。

(1)φA→φA型

(13)

(2)φB→φB型

(3)φA→φB型

(4)φB→φA型

總結(jié)以上結(jié)果，躍遷Enl→En′l+1的選擇定則為

Δj=1,0;Δmj=0，±1

(14)

第二種情況：

Enl→En′l′,l′→l-1,Δl=-1，計(jì)算類似于上一情況，選擇定則為

Δj=-1,0;Δmj=0，±1

(15)

Δj=-1相當(dāng)于φA→φA型或φB→φB型。Δj=0相當(dāng)于φB→φA型。

第三種情況：

3 S態(tài)到P態(tài)電偶極自發(fā)躍遷的分支比

不考慮自旋時(shí)，原子中的電子狀態(tài)可以表示為ψnlm=Rnl(r)Ylm(θ,φ)。對于初態(tài)為s態(tài)(能級(jí)Enl，l=0)終態(tài)為p態(tài)(能級(jí)En′l′，l′=1)的電偶極自發(fā)躍遷，初態(tài)波函數(shù)為

(16)

終態(tài)波函數(shù)為

ψn′1m=Rn′1(r)Y1m(θ,φ)

(17)

(18)

利用Ylm的正交歸一性，容易求出

(19a)

(19b)

(19c)

由此可見，終態(tài)磁量子數(shù)m=1,0,-1的分支比為1∶1∶1，即由s態(tài)躍遷到三種p態(tài)的概率相等。

4 初終態(tài)l′相同和m′不同的各個(gè)終態(tài)的分支比

(20a)

(20b)

(21)

利用Ylm的遞推公式

nzYlm=cosθYlm(θ,φ)

(22a)

(nx±iny)Ylm=sinθe±iφYlm(θ，φ)

(22b)

〈l±1,m|nz|lm〉

(23a)

〈l±1,m+1|(nx+iny)|lm〉

(23b)

〈l±1,m-1|(nx-iny)|lm〉

(23c)

所以躍遷到終態(tài)m′=m+1,m,m-1的分支比為

(l+m+2)(l+m+1)∶2(l+m+1)(l-m+1)∶

(l-m+2)(l-m+1)

(24)

例如初態(tài)l=m=0，終態(tài)l′=1，則m′=1,0,-1的分支比為2∶2∶2。

同理，躍遷到終態(tài)m′=m+1,m,m-1的分支比為

(l-m)(l-m-1):2(l+m)(l-m):(l+m)(l+m-1)

(25)

注意這個(gè)分支比和初態(tài)磁量子數(shù)m無關(guān)。躍遷到l′=l+1或l′=l-1態(tài)的概率(對m′求和)也與初態(tài)磁量子數(shù)m無關(guān)。

5 結(jié) 論

利用中心力場和電偶極躍遷的概念及相關(guān)知識(shí)，解決了電偶極自發(fā)躍遷的選擇定則、S態(tài)到P態(tài)電偶極自發(fā)躍遷的分支比以及在初終態(tài)l,m相同或不同時(shí)，各個(gè)終態(tài)的分支比，得到了分支比和初態(tài)磁量子數(shù)m無關(guān)的結(jié)論。