張圣官

讓我們先來嘗試以下兩道題：

題1某圓錐曲線上一點(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離滿足PF1∶F1F2∶PF2＝2∶3∶4，求該圓錐曲線離心率的值.

題2（1）設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，線段CD是垂直于橢圓長軸的弦，連結(jié)A1C，A2D并延長相交于點(diǎn)P，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是________；

初學(xué)圓錐曲線時(shí)，有畏難情緒很正常.全新的知識(shí)，而且是重難點(diǎn)比較集中的地方，那么該怎樣攻克這個(gè)“攔路虎”呢？在比較中學(xué)習(xí)，不失為一種高效的方法.

在題1中圓錐曲線可能有兩種形態(tài)：橢圓或雙曲線，離心率的值為.在題2中運(yùn)用交軌法求軌跡，結(jié)果發(fā)現(xiàn)在橢圓1中動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程就是雙曲線；而在雙曲線中動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程恰好是橢圓.

其實(shí)，橢圓與雙曲線有許多相關(guān)、相似又相異的性質(zhì)，需要我們?cè)趯W(xué)習(xí)的過程中運(yùn)用比較法進(jìn)行探討，在辨析中加深對(duì)相關(guān)知識(shí)的掌握.

一、比較中認(rèn)識(shí)橢圓與雙曲線

初學(xué)時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)方程和圖象是我們主要的抓手.

標(biāo)準(zhǔn)方程中，需要對(duì)a，b，c三個(gè)量清楚明了，焦點(diǎn)所屬的軸不同，其最終方程也會(huì)不同；圖象則是包羅萬象，既要能很快根據(jù)已知條件畫出草圖，又要能根據(jù)圖象得出基本量.

圖1

細(xì)心觀察、琢磨教材中的定義，我們可以發(fā)現(xiàn)，橢圓和雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程的差別僅在“和”與“差”上，抓住矛盾的兩個(gè)方面，可以將橢圓的性質(zhì)類比到雙曲線上.隨之而來的圖象，可以看到橢圓的準(zhǔn)線像彈簧的兩端，拉著橢圓往外“跑”，而雙曲線的準(zhǔn)線則在中間，仿佛阻撓著其兩支往中間擠，還有著標(biāo)志性的漸近線.

二、比較中探究橢圓與雙曲線性質(zhì)

探究一：橢圓兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)Q為橢圓上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn)，過點(diǎn)F2作∠F1QF2的一個(gè)外角平分線.的垂線，垂足為P，則點(diǎn)P的軌跡是圓的一部分.

（1）證明此命題為真命題.

（2）你能否類比到雙曲線上，給出一個(gè)類似的命題？并證明.

分析仔細(xì)體會(huì)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程，出現(xiàn)外角平分線，才有垂足，于是可自然猜想到將“外角平分線”類比為“內(nèi)角平分線”；在具體論證的過程中我們可以邊探究邊印證，進(jìn)而歸納總結(jié)，得出結(jié)論.類比不是簡單的生搬硬套，必須遵循兩者定義的區(qū)別.

探究二：已知橢圓b＞0）上A，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)P是橢圓C上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)P與A，B兩點(diǎn)均不重合，設(shè)直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，那么k1·k2是否為定值？

圖2

（1）猜想結(jié)論，并證明.

（2）類比到雙曲線中，寫出一個(gè)類似的命題，并證明之.

分析探究過程可以從特殊位置開始，猜出結(jié)論，再進(jìn)行一般論證.類比到雙曲線時(shí)，引導(dǎo)根據(jù)兩個(gè)曲線的定義差別，找出類比的規(guī)律.

探究三：如圖，點(diǎn)P（x，y）（x＞0，y＞0）是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線的焦點(diǎn)，點(diǎn)M是∠F1PF2的平分線上一點(diǎn)，且.某同學(xué)用以下方法研究：延長F2M交PF1于點(diǎn)N，可知△PNF2為等腰三角形，且M為F2N的中點(diǎn)，得.類似地：點(diǎn)P（x，y）（x＞0，y＞0）是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的焦點(diǎn)，M是∠F1PF2的平分線上一點(diǎn)，且，則的取值范圍是_________.

圖3

圖4

前面都是橢圓類比到雙曲線，此題是由雙曲線類比到橢圓，而且與探究一有相似之處，可以加強(qiáng)我們對(duì)橢圓、雙曲線定義的理解，另一方面也是類比思想的深化.

三、比較中區(qū)別橢圓與雙曲線不同點(diǎn)

橢圓與雙曲線同屬于圓錐曲線，但形狀不同，不是所有性質(zhì)都一樣.在橢圓中，有四個(gè)頂點(diǎn)，兩條準(zhǔn)線，圖形是封閉的；在雙曲線中，有兩個(gè)頂點(diǎn)，兩條準(zhǔn)線，圖形是開放的，而且有兩條漸近線.有關(guān)漸近線的問題是雙曲線所特有的，而橢圓就沒有.有些結(jié)論相似但不相同.例如：過橢圓0）的左焦點(diǎn)F作直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，則以線段AB為直徑的圓與橢圓的左準(zhǔn)線相離；過雙曲線的左焦點(diǎn)F作直線與雙曲線的左支交于A，B兩點(diǎn)，則以線段AB為直徑的圓與雙曲線的左準(zhǔn)線相交.這是由于它們離心率范圍不同造成的.類比也不能太“任性”.

例1△ABC中，B，C分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，A在該雙曲線的右支上運(yùn)動(dòng).△ABC的內(nèi)切圓圓心為I，求證：I的橫坐標(biāo)為定值.

證明設(shè)內(nèi)切圓分別與AB，BC，CA切于D，E，F(xiàn)，則AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF.因?yàn)锳在該雙曲線的右支上，所以4＝AB-AC＝BD-CF＝BE-CE.設(shè)E（x0，0），則，所以x0＝2.因此I的橫坐標(biāo)為定值2.

例2如圖，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F，直線l與曲線C：x2+y2＝16（x＞0）相切，且交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，求證：△FAB的周長為定值.

圖5

解設(shè)切點(diǎn)為T，連結(jié)OT，OA，設(shè)A（x1，y1），x1＞0.

在圓x2+y2＝16中，，將代入得.

同理可得BT+BF＝5.即△FAB的周長為定值10.