丁 昀

轉(zhuǎn)眼間高中前兩年就過去了，如今我已是一名高三學(xué)生了.老師在課上經(jīng)常講一些問題的解題技巧，部分同學(xué)聽了以后就去瘋狂刷題，但收效甚微，忘了老師指導(dǎo)我們不能只顧埋頭拉車，更要抬頭看路，即使記得的同學(xué)，對具體怎么看路，也表示很迷茫.

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我還沒有經(jīng)歷過瘋狂刷題的階段，因為我總想著能否盡量少刷題，也能取得較好的成績.琢磨多了以后，我對老師常說的高考核心知識點的解題方法有了一些想法.利用暑假時間我定下心來整理了部分問題，別說，還真有豁然開朗的感覺.下面就以平面向量的部分問題來談?wù)勎业母惺?

在平面向量問題中，我們經(jīng)常要用到基底化方法和坐標(biāo)化方法，但僅僅知道這些是不夠的.

例1在△ABD中，AB＝2，AD＝，E，C分別在線段AD，BD上，且AE＝，則∠A＝_________.

解析根據(jù)平面向量基本定理，平面內(nèi)任一向量都可以用一對不共線的向量（基底）來線性表示，利用基底進行運算，即“基底化”，這是我們解決向量問題的“看家本領(lǐng)”.

圖1

學(xué)習(xí)體會：用“基底化”方法解決向量問題，也就是老師上課時經(jīng)常掛在嘴邊的“通法”.根據(jù)圖形結(jié)構(gòu)，選擇合適的基底，直接影響到后續(xù)問題計算量的大小，千萬不可“亂點鴛鴦譜”，基底的選擇體現(xiàn)了我們對問題本質(zhì)的理解.我的經(jīng)驗是，基底一般選擇長度已知的向量、互相垂直的向量或者夾角已知的向量，再把問題中的相關(guān)向量用基底表示出來.

例2在矩形ABCD中，，BC＝2，點E為BC的中點，點F在邊CD上，若，則的值為________.

解析在該問題中，由于點F的確切位置一開始不明確，我考慮從反過來確定點F的確切位置.平面向量可用基底表示，還可以用坐標(biāo)表示，由于坐標(biāo)運算的簡便性，“坐標(biāo)化”也是解決向量問題的最基本方法.

考慮到矩形ABCD的條件，以A為坐標(biāo)原點，AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，寫出各個需要的點的坐標(biāo)，解決起來就妥妥的了.

以A為坐標(biāo)原點，AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，

圖2

學(xué)習(xí)體會：在整理的過程中，我發(fā)現(xiàn)一般只要題目條件中出現(xiàn)了垂直結(jié)構(gòu)，那么不管是求數(shù)量積還是其他相關(guān)問題，建立直角坐標(biāo)系后，坐標(biāo)化解決問題往往比較順利！在建系的策略上，當(dāng)圖形為矩形、等腰三角形、圓等具有對稱結(jié)構(gòu)時可以優(yōu)先考慮建系.

例3將函數(shù)y＝f（x）的圖象按向量平移后得到函數(shù)y＝的圖象，求函數(shù)y＝f（x）的解析式.

解析按向量平移表示的含義是函數(shù)y＝f（x）的圖象向左平移個單位長度，向下平移2個單位長度得到的圖象.

將原有平移過程反過來，函數(shù)y＝中的x用“”替換，再將函數(shù)值增加2可得到函數(shù)y＝f（x）的解析式，即2＝sinx.

學(xué)習(xí)體會：函數(shù)圖象平移應(yīng)用廣泛，而沿向量平移后許多函數(shù)可以得到化簡的功效，雖然兩者是相通的，但我和我的小伙伴們經(jīng)常傻傻地將兩者混為一談.這個問題本身不是什么難題，但的確困擾了我好長時間，所以印象特別深刻.在理解向量平移的意義后，不妨將向量平移問題轉(zhuǎn)化為圖象平移問題，更容易掌握.后來我慢慢體會到，像這類在知識點交叉的問題，厘清概念的本質(zhì)就顯得尤為重要，這是單純的刷題難以做到的.

你還別說，有了剛才幾個問題的整理過程，我對向量問題的處理一下子自信了許多，下面來看一道思考題.

思考題如圖所示，AB是圓O的直徑，P是圓弧AB上的一點，M，N是直徑上關(guān)于O對稱的兩點，且AB＝6，M N＝4，則＝________.

圖3

你會用幾種方法解這道題呢？

我想到了幾種方法，跟大家分享一下：

圖4

圖5

方法3以O(shè)為原點建立直角坐標(biāo)系，設(shè)P（x，y），則，，且點P所在的圓O的方程為，.

圖6

方法4將點P運動到圓弧中點（特殊化），然后求，計算方法：

以O(shè)為原點建立直角坐標(biāo)系，則P（0，3），，

圖7

學(xué)習(xí)體會：方法1和方法2是利用平面內(nèi)的同一組基底來求解，從不同基底方案的選擇中，我們可以體會到合理選擇基底的重要性.方法3是通過建立坐標(biāo)系解決問題的，不同建系方案就不再比較了，相信大家都可以輕松搞定.一般來說，對于特殊的圖形往往用坐標(biāo)化的方法更加簡捷有效.方法4可以說是跳出了前面常規(guī)思路的限制，特殊化后，秒殺問題，體現(xiàn)出思考后的智慧化解題策略.

王國維在《人間詞話》中說：“詩人對宇宙人生，須入乎其內(nèi)，又須出乎其外.入乎其內(nèi)，故能寫之.出乎其外，故能觀之.入乎其內(nèi)，故有生氣.出乎其外，故有高致.”數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要有思考和反思能力，更需要具備舉一反三、觸類旁通的靈動性，不然就會迷失在茫茫題海中難以自拔.