劉麗嬪

我們知道，在平面中，正多邊形都有一個(gè)對(duì)稱中心（正n邊形的中心），正多邊形也是軸對(duì)稱圖形，由此，我們說正多邊形是非常漂亮的多邊形.

讓我們?cè)侔岩曇胺诺娇臻g中的立體圖形，將平面上的正多邊形作一推廣，即可得到正多面體的概念：如果一個(gè)多面體的各個(gè)面都是全等的正多邊形，且每個(gè)頂點(diǎn)處所接的面數(shù)同樣多，即為正多面體.正四面體（圖1（1））是非常優(yōu)美的空間幾何體，它的每一個(gè)面都是全等的正三角形，每一個(gè)頂點(diǎn)在相對(duì)的平面三角形上的投影也是該正三角形的中心.

那么我們不禁會(huì)問：在平面上，只要正整數(shù)n≥3，就存在相應(yīng)的正n邊形，到了空間中，是否也有類似情況存在呢？即是否有正五面體呢？正六面體？正n面體呢（其中n≥4，n∈N?）？

為了幫助大家解決上面的疑問，我們先來看這樣一個(gè)問題：多面體的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)和面數(shù)之間有關(guān)系嗎？

同學(xué)們可以先從下面簡(jiǎn)單的情形開始嘗試：如圖1（1）～（3）所示的3個(gè)多面體，分別數(shù)出它們的頂點(diǎn)數(shù)V、面數(shù)F和棱數(shù)E，并制成表格.

圖1

表1

我們發(fā)現(xiàn)，多面體的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)滿足等式關(guān)系：V+F-E＝2. （*）

當(dāng)然，并不是任意一個(gè)多面體都有這樣的規(guī)律.

我們發(fā)現(xiàn)如果把（1）～（3）中多面體的任何一個(gè)面延展，那么多面體一定在這個(gè)面的一側(cè)，我們把這樣的多面體稱為凸多面體.而另外的一些多面體，總存在某個(gè)面，將它延展，多面體分布在其兩側(cè)，我們把這樣的多面體叫做凹多面體.有些凹多面體就不滿足V+F-E＝2這個(gè)等式.

那么我們能不能嘗試證明（*）式呢？我們以圖1（3）為示意圖，假設(shè)該簡(jiǎn)單多面體有F個(gè)面，且每個(gè)面的棱數(shù)分別為E1，E2，E3，…，EF，則有E1+E2+E3+…+EF＝2E（因?yàn)槊織l棱加了兩遍），我們計(jì)算這個(gè)簡(jiǎn)單多面體的內(nèi)角和為：（E1-2+E2-2+…+EF-2）π＝（E1+E2+…+EF）π-2Fπ＝2Eπ-2Fπ＝2π（E-F）.我們用面數(shù)和棱數(shù)表示出了簡(jiǎn)單多面體的內(nèi)角和，現(xiàn)在我們嘗試從另一個(gè)角度用頂點(diǎn)數(shù)表示內(nèi)角和.我們假設(shè)這個(gè)多面體是由薄橡皮膜做成，內(nèi)部是空的，有一個(gè)面破了，把其余各面攤開在一張平面圖上，如圖1（3）展成圖2，設(shè)去掉的一個(gè)面為n邊形，則得到一個(gè)n邊形的展開圖，并且內(nèi)部有（V-n）個(gè)頂點(diǎn).那么展開后的平面圖形的內(nèi)角和為（n-2）π+（V-n）2π，再加上去掉的一個(gè)n邊形的內(nèi)角和為（n-2）π，所以該簡(jiǎn)單多面體共有內(nèi)角和為（n-2）π+（V-n）2π+（n-2）π＝（V-2）2π，則2π（E-F）＝（V-2）2π，即V+F-E＝2.

這個(gè)結(jié)論是瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在1750年發(fā)現(xiàn)的，也稱為歐拉公式.歐拉公式的背后是一門新的幾何學(xué)，它只研究圖形各部分位置的相對(duì)次序，而不考慮圖形的形狀和大小，如今這門學(xué)科已經(jīng)發(fā)展成數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的分支——拓?fù)鋵W(xué).

圖2

現(xiàn)在我們?cè)賮砘卮鹞恼麻_頭提出的問題：如果正n面體存在，n可以取哪些值呢？我們假設(shè)正多面體頂點(diǎn)數(shù)V、面數(shù)F、棱數(shù)E，且每個(gè)面是正n（n≥3）邊形，每個(gè)頂點(diǎn)有t（t≥3）條棱.那么有n F＝2E，t V＝2E，則，代入歐拉公式V+F-E＝2，即，整理得：.因?yàn)?，所?我們知道，若n＞3，t＞3，則矛盾，因此n和t中，至少有一個(gè)為3.若n＝3，t＜6，則t＝3，4，5；若t＝3，則n＝3，4，5.綜上，只可能有五種正多面體，分別是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體.

數(shù)學(xué)中，以歐拉命名的公式還有很多，同學(xué)們可以利用課余時(shí)間進(jìn)一步研究更多更美妙的歐拉公式.歐拉是一位非常值得我們尊敬的數(shù)學(xué)家，命運(yùn)曾幾次向他伸出魔爪，在他28歲時(shí)，過度的工作使他的右眼失明，之后，他的左眼也完全失明.而他辛苦創(chuàng)作的著作又在一次火災(zāi)中化為灰燼.即便命運(yùn)對(duì)他如此不公，他也絲毫沒有放棄自己的鉆研.歐拉在雙眼失明的情況下，憑記憶和心算繼續(xù)研究數(shù)學(xué)，口述了多本書和400多篇論文.

歐拉用頑強(qiáng)的毅力，孜孜不倦的奮斗精神，推動(dòng)著數(shù)學(xué)的車輪不斷前行，他對(duì)近代數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了極其深遠(yuǎn)的影響.以他名字命名的那些公式如此美麗，如此精妙，成為數(shù)學(xué)殿堂的一道亮麗風(fēng)景線！