邵永運, 韓子健, 張榮培, 王 語

(1. 沈陽師范大學 學科與科研工作處, 沈陽 110034; 2. 沈陽師范大學 數(shù)學與系統(tǒng)科學學院, 沈陽 110034)

0 引 言

超低溫磁囚禁原子氣體凝聚實驗的成功實現(xiàn),引起了原子物理學界的廣泛關注。自1995年以來,有關玻色-愛因斯坦凝聚(BEC)的實驗取得了飛躍性的進展,與此同時,關于BEC的理論和數(shù)值方法也取得巨大的進步,計算BEC的基態(tài)、第一激發(fā)態(tài)以及動力學特性是BEC研究的基本問題之一。經典的非線性薛定諤(NLS)方程,也被稱為Gross-Pitaevskii方程(GPE),已廣泛用于描述BECs的基態(tài)和動力學特性。

近年來,分數(shù)階算子的引入引起了人們對分數(shù)階薛定諤方程的關注[1],在分數(shù)階微分算子的離散方面,許多學者提出了不同的有限差分方法。 Meerschaert和Tadjeran[2]提出了一階帶有偏移項的Grünwald算子;基于以前的工作,田等[3]發(fā)展了兩類二階加權偏移Grünwald-Letnikov (WSGD)算子; Ortigueira首先提出了分數(shù)階中心差分格式; Duman[4]對其進行了分析,將其應用于分數(shù)階擴散方程;郭等[5]證明了它全局光滑解具有唯一性; Simone Secchi[6]利用Nehari流行最小化方法建立了薛定諤方程的一類解,包括分數(shù)階拉普拉斯算子;Xavier Antoine[7]對無限勢阱中分數(shù)階薛定諤方程的基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)進行了數(shù)值研究,并分析求解了分數(shù)階拉普拉斯算子的特征值和特征函數(shù);唐等[8]利用高效的數(shù)值方法解決了旋轉和帶有非局部相互作用的分數(shù)階薛定諤方程(FSE)中的基態(tài)和動力學問題。

本文針對分數(shù)階玻色-愛因斯坦凝聚態(tài)(BEC)展開研究,當BEC中的粒子不服從高斯分布律時,分數(shù)階薛定諤方程被命名為分數(shù)階Gross-Pitaevskii方程(FGPC)[9-10]。本文將研究不同勢阱中FGPE的基態(tài)和第一激發(fā)態(tài),從而了解其數(shù)學和物理性質。在定態(tài)解中,應用離散化歸一化梯度流(DNGF),用于證明其能量減少;在空間離散方面,使用具有二階精度的WSGD方法;在時間離散方面,采用隱積分因子方法[11-12],該方法精度高、穩(wěn)定性好。最后利用數(shù)值算例來驗證理論分析。

1 分數(shù)階Gross-Pitaevskii方程和歸一化梯度流

1.1 分數(shù)階Gross-Pitaevskii方程

通過在更一般的Lévy類量子路徑上擴展Feynman路徑積分方法,可以使用分數(shù)階拉普拉斯算子-(-Δ)α替換經典的拉普拉斯算子Δ來獲得分數(shù)階Gross-Pitaevskii方程。

(1)

其中V(x)是一個實值的無量綱的勢阱,其形狀取決于系統(tǒng)的類型。本文采用的勢阱為諧振子勢[13]:

其中x∈R,γ是一個正常數(shù)。

一維情況下,式(1)中的分數(shù)階拉普拉斯算子可以被定義為Riesz分數(shù)階導數(shù):

其中左右Riemann-Liouville分數(shù)階導數(shù)定義如下:

(3)

式(2)中的Γ(·)表示標準的伽馬函數(shù)。

在式(1)中有2個重要的不變量:

質量:

(4)

能量:

(5)

為了找到式(1)的穩(wěn)定解,這個函數(shù)可以表示為

Ψ(x,t)=e-iμtφ(x)

(6)

其中:μ是凝聚物的化學勢,φ是與時間無關的實函數(shù)。將式(6)帶入式(1)中,得

在式(4)的條件下,

可以看到這個問題的本質是帶約束條件的非線性特征值問題。相應的特征函數(shù)φ(x)可以通過使用下面的形式計算,特征值μ可以通過下式計算

這里Eβ(φ)是式(5)中給出的與φ相關的能量函數(shù)。在物理學的觀點中,基態(tài)被認為是單位球面S={φ|‖φ‖=1,E(φ)<∞}上的能量最小值

其他能量大于Eg的特征函數(shù)在物理上稱為激發(fā)態(tài)。

1.2 分數(shù)階歸一梯度流

使用歸一化梯度流法來計算分數(shù)階Gross-Pitaevskii方程的最小能量問題。將時間步長設為Δt,設Δt>0,顯然,tn=nΔt,n=0,1,2,…,在每個時間間隔[tn,tn+1]內。對能量函數(shù)Eβ(ψ)采用最速下降法[14-15],可以得到

(7)

然后,在每個時間間隔結束時,通過投射單位球面式(4)來對該解進行歸一化處理,即

(8)

從數(shù)值的角度來看,分數(shù)階擴散方程可以用傳統(tǒng)的有限差分方法進行離散化處理,并且可以在每個時間步長的末端實現(xiàn)歸一化處理。離散歸一化(GFDN)式(7)和式(8)的梯度流的初始條件可設為

φ(x,0)=φ0(x),x∈R, with‖φ0‖=1

2 數(shù)值方法

2.1 WSGD算子

到目前為止,Riemann-Liouville分數(shù)階導數(shù)式(3)和Riesz分數(shù)導數(shù)式(2)可以通過多種差分方法近似,如WSGD方法[16-17]和分數(shù)階中心差分方法[18]等,每種方法都有其自身的特點。本文將用WSGD方法近似左右Riemann-Liouville分數(shù)階導數(shù)。偏移的Grünwald算子定義如下:

通過對偏移Gruünwald算子進行加權(WSGD),得

綜上,WSGD算子可以重新定義為

并且,式(9)和式(10)中的系數(shù)滿足以下條件

2.2 空間離散

在實際計算中,通常采用滿足整個區(qū)間邊界條件的有限子區(qū)間。 取Ω=[a,b],其中a和b足夠大,以便忽略截斷誤差。

由于齊次Dirichlet邊界條件,分數(shù)階拉普拉斯算子可以表示為

空間區(qū)域Ω=[a,b]離散為

xj=a+jh,j=0,1,…,J

由此,得到了WSGD逼近算子

(11)

φ在節(jié)點xj處的解可以用一個列向量表示出來

Φ=(φ1φ2…φJ)T

分數(shù)階微分算子的微分矩陣可以表示為

式(11)中分數(shù)階拉普拉斯算子的微分矩陣可以定義為

綜上,完成了關于空間的離散,得到了如下的常微分方程組:

(12)

2.3 隱式積分因子法

半離散公式(12)可以改寫為以下形式:

(13)

其中:A=D;F(Φ)=-VΦ-β|Φ|2Φ;設時間步長為τ,則tn=nτ,n=0,1,2,…。

將式(13)左乘積分因子e-At并在一個時間步長tn到tn+1內進行積分,得

(14)

然后在tn+1,tn,…,tn-r+2點進行插值。通過r-1階拉格朗日插值多項式來逼近式(14)中的被積函數(shù)以獲得r階的IIF格式,

在本文中,使用的是二階的IIF格式(IIF2)如下:

3 數(shù)值實驗

圖1 (a) β=1和(b) β=3時的基態(tài)解及(c) β=1和(d) β=3時的能量演化

圖2 (a) β=1和(b) β=5時的第一激發(fā)態(tài)解以及(c) β=1和(d) β=5時的能量演化

4 結 論

本文運用2種高效、高精度、高穩(wěn)定性的數(shù)值計算方法計算分數(shù)階非線性量子波動方程,即分數(shù)階GP方程。WSGD方法有二階精度,隱式積分因子法計算量和存儲量小,并且2種方法均是無條件穩(wěn)定的。通過與其他數(shù)值解法的比較,表明了這2種方法的可行性。數(shù)值實驗計算了在區(qū)域邊界和內部的并且?guī)в兄C振子勢的基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)。