宋少倩，陳新民，盧 鑫，劉 娟，韓英宏

（中國運載火箭技術研究院，北京，100076）

0 引 言

固體火箭沖壓發(fā)動機（以下簡稱固沖發(fā)動機）與固體火箭發(fā)動機相比具有比沖高且推力連續(xù)可調(diào)的優(yōu)點，采用固沖發(fā)動機的導彈通常以推力控制為手段實現(xiàn)導彈速度的主動控制，從而獲得更遠射程等更優(yōu)性能。固沖發(fā)動機作為導彈速度控制的控制對象，其模型的準確性是掌握固沖發(fā)動機特性、設計高效合理的控制方法及提高控制品質(zhì)的基礎，從而發(fā)揮固沖發(fā)動機的最佳性能，實現(xiàn)導彈總體最優(yōu)性能。

針對流量可調(diào)的發(fā)動機，國內(nèi)外開展了不同精度和復雜程度的發(fā)動機模型研究。文獻[1]針對某航空渦軸發(fā)動機的調(diào)節(jié)器需求，分別開展了調(diào)節(jié)器的靜態(tài)特性和動態(tài)特性模型研究，并利用試驗數(shù)據(jù)進行驗證；文獻[2]和文獻[3]對固沖發(fā)動機的負調(diào)特性進行了機理分析，給出了發(fā)生原因和影響因素，但其對模型的假設約束過強；文獻[4]給出了一種噴氣發(fā)動機的離線模型和在線模型的建模方法，對于固沖發(fā)動機建模有一定借鑒意義。目前，用于導彈速度控制的固沖發(fā)動機建模方法相對較少，本文主要針對該問題進行研究。

本文立足固沖發(fā)動機工作原理，從控制系統(tǒng)設計與仿真需求角度出發(fā)開展面向控制的固沖發(fā)動機建模技術研究，包括固沖發(fā)動機穩(wěn)態(tài)性能模型和動態(tài)特性模型的建立。本文所提出的穩(wěn)態(tài)性能模型設計方法，可使固沖發(fā)動機性能與總體、環(huán)境參數(shù)有效解耦，提高各系統(tǒng)研制效率。本文采用Jacobian線性化法[5]所建立的線性變參數(shù)（Linear Parameter Varying，LPV）模型可以較好地反映固沖發(fā)動機的動態(tài)特性，同時便于工程上采用經(jīng)典控制理論對控制對象進行綜合與分析。

1 穩(wěn)態(tài)性能建模

固沖發(fā)動機的穩(wěn)態(tài)性能是指發(fā)動機在不同空氣來流和燃氣流量組合下的推力特性 F和喘振裕度δ，其中喘振裕度用來表征進氣道是否處于穩(wěn)定工作狀態(tài)，計算公式為

式中 m˙5為噴管出口截面的燃氣質(zhì)量流量； V5為噴管出口燃氣流速； m˙K為來流空氣質(zhì)量流量； VH為來流在發(fā)動機推力矢量方向的分量速度；p5為噴管出口壓強；pH為環(huán)境壓強；A5為出口面積；p0為進氣道來流靜壓；p2為進氣道出口靜壓； pin為進氣道最大反壓比。

由式（1）、式（2）可知，固沖發(fā)動機的穩(wěn)態(tài)性能計算較為復雜，除與發(fā)動機自身參數(shù)有關外，還與來流參數(shù)密切相關，如不同飛行狀態(tài)下的空氣密度、壓強等。通常將固沖發(fā)動機穩(wěn)態(tài)性能直接表示為高度、馬赫數(shù)、攻角、側(cè)滑角和燃氣流量的函數(shù)，即F =f(H,M a ,α ,β, m ˙f0)，將大氣模型包含在穩(wěn)態(tài)性能中。這種傳統(tǒng)建模方式使固沖發(fā)動機性能與大氣環(huán)境緊密耦合，不利于固沖發(fā)動機性能偏差組成的識別，在大氣環(huán)境模型復雜的情況下，該方式使得固沖發(fā)動機性能建模更為繁瑣，增大了控制系統(tǒng)對固沖發(fā)動機穩(wěn)態(tài)性能、導彈性能分析及評估的難度。

本文從控制系統(tǒng)設計與仿真角度提出一種新的穩(wěn)態(tài)性能接口方法，將大氣模型和飛行狀態(tài)從固沖發(fā)動機推力性能中剝離，即表示為F= q S·Cp(P,T,M a,α,β,m ˙f0) ，其中：q為來流動壓，S為參考面積，pC為推力系數(shù)，如圖1所示。該穩(wěn)態(tài)性能建模方法可使動力系統(tǒng)與總體參數(shù)、環(huán)境解耦，使得固沖發(fā)動機性能物理概念更加清晰，且不損失性能模型的精度，有利于控制系統(tǒng)的分析、設計與仿真，有利于導彈系統(tǒng)的工程研制。

圖1 穩(wěn)態(tài)性能接口示意Fig.1 Schematic Diagram of Steady Characteristics Interface

2 動態(tài)特性建模

固沖發(fā)動機動態(tài)特性是指發(fā)動機從接收燃氣流量指令到產(chǎn)生推力的響應特性，其組成如圖2所示。

圖2 固沖發(fā)動機模型框圖Fig.2 Block Diagram of Solid Ducted Rocket Model

固沖發(fā)動機的工作原理是首先根據(jù)離線經(jīng)驗公式將燃氣流量指令換算成壓強指令，然后比較燃氣發(fā)生器內(nèi)實際壓強與目標壓強，驅(qū)動燃氣發(fā)生器調(diào)節(jié)閥的開度，改變噴管喉部面積，調(diào)節(jié)燃氣流量大小，從而達到調(diào)節(jié)推力的目的。

根據(jù)組成結構將固沖發(fā)動機分為流量調(diào)節(jié)裝置和補燃室兩大部分。補燃室的燃燒特性相對緩慢，一般根據(jù)試驗數(shù)據(jù)用一階慣性環(huán)節(jié)FG描述。流量調(diào)節(jié)裝置是反映了燃氣流量的響應特性，其組成環(huán)節(jié)多且動態(tài)過程復雜，需重點研究。

2.1 非線性微分方程

流量調(diào)節(jié)裝置由燃氣流量控制器、調(diào)節(jié)閥、燃氣發(fā)生器和燃氣流量輸出4部分組成。

燃氣流量控制器的功能是將燃氣流量指令轉(zhuǎn)換為壓強指令，同時根據(jù)壓強指令和反饋壓強的差值輸出執(zhí)行機構的角度指令，數(shù)學公式如下：

式中rcP為壓強指令；rP為燃氣發(fā)生器內(nèi)壓強；fcm˙為燃氣流量指令；Pρ為推進劑密度；bA為藥柱截面積；a為燃速系數(shù)；0T為推進劑初溫；τ為推進劑燃速溫度敏感系數(shù)；cθ為伺服閥轉(zhuǎn)角；n為燃速壓強指數(shù)。

調(diào)節(jié)閥的功能是響應控制器給出的角度指令，實現(xiàn)調(diào)節(jié)閥開度調(diào)節(jié)，用二階傳遞函數(shù)sfG 表示其動態(tài)特性。

燃氣發(fā)生器是流量調(diào)節(jié)裝置的核心部件，該系統(tǒng)是一個充滿高溫高壓燃氣、可積累工質(zhì)質(zhì)量和熱量的容器。在建模過程中假設：a）燃氣發(fā)生器內(nèi)的氣體參數(shù)處處相等；b）燃氣服從理想氣體狀態(tài)方程；c）燃氣發(fā)生器內(nèi)溫度保持不變。流量調(diào)節(jié)裝置的非線性微分方程為[6]

式中rV為自由容積；*rC為特征速度；rAt為喉部面積；X為藥柱消耗肉厚；R為特征速度。

燃氣流量計算模塊的功能是根據(jù)燃氣發(fā)生器當前壓強計算燃氣流量響應值，具體如下：

2.2 線性變參數(shù)模型的建立

對于較復雜的非線性微分方程，很難得到其解析解。LPV模型通過描述非線性系統(tǒng)的一系列局部特性，利用狀態(tài)或輸入的小擾動，使其能夠解析求解而又具有必要的工程精度。同時，相對于傳統(tǒng)線性模型，LPV模型的優(yōu)點在于可以運用線性系統(tǒng)理論的方法進行變增益控制器的設計，其增益隨著調(diào)度參數(shù)的變化而變化，而調(diào)度參數(shù)的變化能夠體現(xiàn)出系統(tǒng)的非線性和時變性，能夠保證參數(shù)在較大范圍內(nèi)劇烈變化時系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性[7]。

建立LPV模型的方法有：Jacobian線性化法、狀態(tài)變化法和函數(shù)替代法，其中Jacobian線性化法是應用最普遍的一種方法[5]。本文采用Jacobian線性化法建立固沖發(fā)動機的LPV模型。設某非線性微分方程組為

式中 x為系統(tǒng)狀態(tài)；u為系統(tǒng)輸入信號；z為所控制的誤差信號；y為輸入到控制系統(tǒng)的測量輸出信號；w為外部調(diào)參信號或者外來信號如參考信號；v通常指干擾和噪聲輸入信號。

根據(jù)非線性系統(tǒng)的時變特性，選擇調(diào)參變量θ，在一 個 多 胞 集 合 Θ 內(nèi) ， 即 θ∈ C o (Θ)，為事先未知但可測量和估計的矢量參數(shù)。

柵格化參數(shù)空間，可得式（6）的一系列平衡點xe(θ)， ve(θ)， ue(θ)和 we(θ)滿足：

則，式（6）可寫成如下的LPV模型：

式（7）中系統(tǒng)狀態(tài)矩陣為方程偏導數(shù)在平衡點處的值，例如：

燃氣流量發(fā)生器的動態(tài)特性是指其在控制作用下的運動特性。在導彈飛行過程中，固沖發(fā)動機并非僅在一個狀態(tài)點工作，而是在飛行包線下狀態(tài)量變化范圍內(nèi)工作的。在整個飛行包線內(nèi)建立燃氣流量的LPV模型可以提高其與非線性模型的匹配度，為LPV魯棒控制器的設計奠定基礎。

根據(jù) LPV理論和固沖發(fā)動機的非線性微分方程知，燃氣流量調(diào)節(jié)裝置是一個三階三元微分方程，控制器為前置的輸入方程，燃氣流量計算模塊為輸出方程，狀態(tài)量為燃氣發(fā)生器內(nèi)壓強、自由容積和藥柱長度，輸入量為伺服閥角度，輸出量為燃氣流量。

選取微分方程的狀態(tài)變量[PrVrX]為調(diào)參變量，并求解式（8），可得燃氣發(fā)生器穩(wěn)態(tài)時飛行包線內(nèi)不同狀態(tài)量組合下的伺服閥角度值θtrim。

當燃氣發(fā)生器藥柱為端面燃燒藥柱，藥柱燃燒面積保持不變時，即(X)為定值，則配平角度θtrim僅與壓強有關，如圖3所示。

圖3 配平角度隨燃氣發(fā)生器壓強的變化曲線Fig.3 Relationship between Trim Angle and the Pressure of Gas Generator

由圖3可知，燃氣室內(nèi)壓強越大時所需的角度越大，對應的伺服閥開度越小。

在平衡點處對式（3）～（5）進行泰勒展開，去掉高次項，可得流量調(diào)節(jié)裝置的LPV模型為

則，在每一個固定點trimθ，式（9）描述了式（3）～（5）在該點的局部特性。

2.3 傳遞函數(shù)的綜合與分析

燃氣流量裝置在產(chǎn)生燃氣流量的過程中，其狀態(tài)參數(shù)均是隨時間變化的，因此，LPV模型總是變系數(shù)線性微分方程組。采用系數(shù)“凍結”法[8]，將某時刻的LPV模型變?yōu)槌Ｏ禂?shù)線性系統(tǒng)進行分析和綜合，從而可運用線性系統(tǒng)理論了解燃氣流量的動態(tài)特性。

將某一時刻的燃氣發(fā)生器 LPV模型進行拉氏變換，其輸入方程為

圖4 固沖發(fā)動機控制框示意Fig.4 Control Diagram of Solid Ducted Rocket

推導可得燃氣流量調(diào)節(jié)裝置的傳遞函數(shù)如下式：

式中 K為增益； z1， z2為零點； p1， p2為兩個實數(shù)極點； p3， p4為兩個復數(shù)極點組成的二階振蕩環(huán)節(jié)系數(shù)。其中僅為負值，因此存在一個位于右半平面的零點，燃氣流量調(diào)節(jié)特性具有非最小相位的特點，如不穩(wěn)定特性及負調(diào)特性等。

給定幅值為0.5°的伺服閥角度階躍信號，不同自由容積和壓強下的燃氣流量響應如圖5和圖6所示。

圖5 不同自由容積下的燃氣流量曲線Fig.5 Gas Flow Rate for Different Free Volume

圖6 不同壓強下的燃氣流量響應曲線Fig.6 Gas Flow Rate for Different Pressure

由圖5、圖6可知，燃氣流量隨著自由容積的增大燃氣流量的響應越慢，負調(diào)量越大；隨著壓強的升高，燃氣流量的響應越快，負調(diào)量越大。因此，在導彈飛行末段，燃氣發(fā)生器內(nèi)自由容積大，燃氣流量的調(diào)節(jié)特性較差，不利于速度控制的精確控制。

燃氣流量負調(diào)特性的物理機理為：燃氣流量的調(diào)節(jié)是通過燃氣發(fā)生器內(nèi)壓強變化調(diào)節(jié)推進劑的燃速來實現(xiàn)的，推進劑的燃燒是一個化學過程，變化較慢，而隨壓強指令變化的伺服調(diào)節(jié)閥響應較快，兩者響應速度的不匹配導致其負調(diào)特性現(xiàn)象的存在。即當燃氣流量指令增大時，調(diào)節(jié)閥角度增大（開度變?。藭r燃氣發(fā)生器內(nèi)壓強增大，以促進推進劑的燃燒，從而緩慢地增大燃氣流量，但調(diào)節(jié)閥的響應很快，角度增大的瞬間燃氣流量先是減小的。因此，增大燃氣流量的響應過程是先減小后增大的負調(diào)特性。

3 仿真驗證

選取燃氣發(fā)生器壓強和自由容積為某典型工況，即將燃氣流量的LPV模型固定在某一時刻，給定幅值為0.05 kg/s的燃氣流量階躍信號，對應的LPV模型與非線性模型響應曲線如圖7和圖8所示。

圖7 燃氣流量響應曲線Fig.7 Pesponse of Gas Flow Rate

圖8 壓強響應曲線Fig.8 Response of Pressure

由圖7、圖8可知，采用本文所示的建模方法可以較好地逼近非線性模型，可用于動態(tài)特性分析與速度控制器設計。

4 結 論

本文開展了面向控制的固沖發(fā)動機建模技術研究，結論如下：

a）提出的固沖發(fā)動機穩(wěn)態(tài)性能建模方法，可以使動力系統(tǒng)與總體參數(shù)、環(huán)境有效解耦，利于各系統(tǒng)的快速研制；

b）所建立的固沖發(fā)動機動態(tài)特性模型較好地逼近非線性模型，可用于動態(tài)特性的分析與導彈速度控制器的設計；

c）固沖發(fā)動機的燃氣流量響應是一個非最小相位環(huán)節(jié)，有一個位于 s平面右半部的零點。本文從數(shù)學推導和物理機理兩方面給出了負調(diào)特性產(chǎn)生的原因，同時指出燃氣流量隨著自由容積的增大其響應特性變差，給速度精確控制帶來一定難度。