蘇科版《數(shù)學》九年級下冊第25頁例題:
不畫圖像,判斷二次函數(shù)y=-x2+5x-8的圖像與x軸是否有公共點.
【解析】此題考查的是對二次函數(shù)的圖像與x軸公共點的認識情況,涉及由函數(shù)模型到方程模型的轉化.要想判斷二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像和x軸的公共點個數(shù),只需將這個二次函數(shù)先轉化為一元二次方程ax2+bx+c=0,再根據(jù)一元二次方程的根的情況來判斷即可:(1)b2-4ac>0,一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根,拋物線與x軸有兩個公共點;(2)b2-4ac=0,一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根,拋物線與x軸有一個公共點;(3)b2-4ac<0,一元二次方程沒有實數(shù)根,拋物線與x軸沒有公共點.此題答案是:沒有公共點.
那么除了采用“根的判別式”法判斷之外,有時解方程是更加直接的方法.我們再看本頁練習的第一小題:
不畫圖像,判斷二次函數(shù)y=x2-x的圖像與x軸的公共點的個數(shù).
解法一:∵一元二次方程x2-x=0的根的判別式b2-4ac=(-1)2-4×1×0>0,
∴方程x2-x=0有兩個不相等的實數(shù)根.
∴二次函數(shù)y=x2-x的圖像與x軸有兩個公共點.
解法二:∵一元二次方程x2-x=0的根為x1=1,x2=0,
∴二次函數(shù)y=x2-x的圖像與x軸有兩個公共點.
【總結】x軸其實可以看作是直線y=0,所以要想判斷二次函數(shù)y=-x2+5x-8的圖像與x軸是否有公共點,其實也就是判斷拋物線y=-x2+5x-8和直線y=0是否有公共點,也就是的解的情況,于是得到方程-x2+5x-8=0.從解析式入手,借助方程組倒是一個可以解決二次函數(shù)的圖像和直線(一次函數(shù))的公共點問題的通法.
教材上的例題是專家們精心琢磨的數(shù)學范例,它就像一粒種子,蘊藏著巨大的能量.近幾年來,二次函數(shù)的圖像與x軸的公共點個數(shù)問題成為中考的熱點.而將參數(shù)引入二次函數(shù),二次函數(shù)的圖像與坐標軸、直線、線段等的公共點問題是這個例題最常見的生長方向.
延伸1
例1 已知二次函數(shù)y=kx2-2x-1的圖像與x軸有兩個交點,則k的取值范圍為_____.
例2 若二次函數(shù)y=x2+mx+4的圖像如圖所示,則m的值為 .
【解析】考題中經(jīng)常將二次函數(shù)的圖像和x軸的公共點個數(shù)作為條件,通過文字或者圖像等方式給出,要求求出參數(shù)的值或者范圍.
在第一題中,由二次函數(shù)的圖像與x軸有兩個交點,聯(lián)想到一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根,從而列出不等式b2-4ac>0,解出k的范圍,另外,要注意二次項系數(shù)不可以為0;觀察第二題的圖像,不難發(fā)現(xiàn)拋物線與x軸只有一個公共點,可根據(jù)b2-4ac=0,計算出m的值,需要注意的是,此題還需要考慮二次函數(shù)圖像的隱藏條件:對稱軸在y軸的左側.此題在考查知識的同時,還滲透著數(shù)形結合的數(shù)學思想.
解:1.∵二次函數(shù)y=kx2-2x-1的圖像與x軸有兩個交點,
∴一元二次方程kx2-2x-1=0有兩個不相等的實數(shù)根,
∴b2-4ac>0,
∴(-2)2-4·k·(-1)>0,
∴k>-1,
又∵k≠0,
∴k>-1且k≠0.
∴m=4.延伸2例3 已知二次函數(shù)y=2(x-1)(x-m-3)(m為常數(shù)).
(1)求證:不論m取何值,該函數(shù)的圖像與x軸總有公共點.
(2)當m取何值時,該函數(shù)的圖像與y軸的交點在x軸的上方?
【解析】考題中經(jīng)常出現(xiàn)含參的二次函數(shù),并要求判斷該函數(shù)的圖像與x軸的公共點情況.這道題給出的二次函數(shù)的形式很特別,所以我們在解決問題時,既可以像往常一樣,化成一般形式,從總有公共點聯(lián)想到一元二次方程總有實數(shù)根,從而借助根的判別式進行判斷.需要注意的是,在配方時,二次項的系數(shù)不可以直接去掉.當然,我們也可以將該二次函數(shù)轉化成方程形式2(x-1)(x-m-3)=0,直接解出兩個根,以根的具體形式進行討論.
第二題主要考查了對二次函數(shù)的圖像與y軸交點的認識情況,難度不大,但方法很多,既可以根據(jù)與y軸交點的橫坐標特征為0,求出交點縱坐標來研究,也可以借助圖像來判斷m+3與0和1的大小關系,或者根據(jù)對稱軸的位置求出m的范圍,滲透著數(shù)形結合、分類討論等數(shù)學思想.
證明:(1)方法一:令y=0,得2(x-1)(x-m-3)=0,
整理得:2x2-2(m+4)x+2m+6=0,
∵b2-4ac=[-2(m+4)]2-4×2(2m+6)=4m2+16m+16=4(m2+4m+4)=4(m+2)2≥ 0,
2.∵二次函數(shù)y=x2+mx+4的圖像與x軸只有一個公共點,
∴一元二次方程x2+mx+4=0有兩個相等的實數(shù)根,
∴b2-4ac=0,
∴m2-4×1×4=0,
∴m=4或-4,
∵對稱軸在y軸左側,
∴不論m取何值,該方程總有實數(shù)根,
∴不論m取何值,該函數(shù)的圖像與x軸總有公共點.
方法二:令y=0,得2(x-1)(x-m-3)=0,
解這個方程得,x1=1,x2=m+3,
∴不論m取何值,該方程總有實數(shù)根,
∴不論m取何值,該函數(shù)的圖像與x軸總有公共點.
解:(2)解法一:當x=0時,y=2m+6,
∴由2m+6>0,得m>-3,
∴m>-3時,該函數(shù)的圖像與y軸的交點在x軸的上方.
解法二:2(x-1)(x-m-3)=0的兩根為x1=1,x2=m+3,
若m+3<0,如下圖,不符合題意,∴舍去.
若m+3=0,如下圖,不符合題意,∴舍去.
若0<m+3<1,如下圖,符合題意,∴-3<m<-2.
若m+3=1,如下圖,符合題意,∴m=-2.
若m+3>1,如下圖,符合題意,∴m>-2.
綜上,m>-3.
∴m>-3時,該函數(shù)的圖像與y軸的交點在x軸的上方.
解法三:2(x-1)(x-m-3)=0的兩根為x1=1,x2=m+3,
∴該函數(shù)的對稱軸是直線x=2+0.5m,
∵函數(shù)的圖像與y軸的交點在x軸的上方,
∴2+0.5m>0.5,
∴m>-3,
∴m>-3時,該函數(shù)的圖像與y軸的交點在x軸的上方.
延伸3
例4 若函數(shù)y=x2-2x+b的圖像與坐標軸有3個交點,則b的取值范圍是( ).
A.b<1且b≠0 B.b>1
C.0<b<1 D.b<1
【解析】根據(jù)二次函數(shù)的圖像特征,它與y軸必有一個公共點.而題中y=x2-2x+b的圖像與坐標軸有3個交點,也就意味著該函數(shù)圖像與x軸有兩個公共點,接下來可以根據(jù)二次函數(shù)所對應的一元二次方程的根的判別式Δ>0列出不等式,求出b的范圍.但是,需要注意的是,當b=0時,拋物線與x軸的交點和與y軸的交點在原點處重合,不符合題中與坐標軸有3個交點的條件,故需舍去.
解:∵函數(shù)y=x2-2x+b的圖像與坐標軸有3個交點,
∴函數(shù)y=x2-2x+b的圖像與x軸有兩個交點,
∴一元二次方程x2-2x+b=0有兩個不相等的實數(shù)根,
∴Δ>0,
∴(-2)2-4×1·b>0,
∴b<1.
∵函數(shù)y=x2-2x+b的圖像與坐標軸有3個交點,當b=0時,拋物線與x軸的交點和與y軸的交點在原點處重合,
∴b<1且b≠0.
故選A.
延伸4
例5 在平面直角坐標系中,直線y=4x+4與x軸,y軸分別交于點A,B,拋物線y=ax2+bx-3a經(jīng)過點A,將點B向右平移5個單位長度,得到點C.
(1)求點C的坐標.
(2)求拋物線的對稱軸.
(3)若拋物線與線段BC恰有一個公共點,結合函數(shù)圖像,求a的取值范圍.
【解析】(1)(2)略.在第三題中,由于線段BC是有范圍的,且與拋物線只有一個公共點,所以通過函數(shù)圖像找出不等關系,運用數(shù)形結合思想,分類討論,即可求出a的取值范圍.
解:(1)∵A(-1,0),B(0,4),∴C(5,4).
(3)∵拋物線始終經(jīng)過點A(-1,0),且對稱軸為直線x=1,由拋物線對稱性,可知拋物線一定經(jīng)過點A關于對稱軸的對稱點(3,0).
∴只需對a進行分類討論即可.
①當a>0時,如下圖,
把x=0代入拋物線解析式得y=-3a,把x=5代入拋物線解析式得y=12a.
③當拋物線頂點在線段BC上時,頂點為(1,4),如下圖,
把點(1,4)代入拋物線解析式,得a=-1.
總之,要解決二次函數(shù)的圖像公共點問題,我們只需抓住方程、不等式、函數(shù)之間的聯(lián)系,關注二次函數(shù)的“式結構”和“形結構”,留意題中的隱含條件,就可以做到一通百通.