章金玲

1 引言

2018年福建省質(zhì)檢理科試題第16題系動(dòng)態(tài)三角形的最值問題，實(shí)測結(jié)果表明，學(xué)生的得分很不理想，考后筆者讓學(xué)生再次思考，發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生還是無從下手，三角形的“多個(gè)”、“動(dòng)態(tài)”、“最值”集中在一題中，確實(shí)讓學(xué)生望而生畏，在高三的二輪復(fù)習(xí)中，學(xué)生似乎都會(huì)了，又似乎都忘了，試卷講評的滿堂灌，教師的一言堂模式，似乎收效甚微，日本教育學(xué)者佐藤學(xué)說過，教育往往要在緩慢的過程中才能沉淀下來，于是，筆者在講評課前，先給出3個(gè)問題進(jìn)行探究，將“封閉題”改成“開放題”，讓學(xué)生在發(fā)散性思維中感受三角形中邊與角的關(guān)系，動(dòng)與靜的關(guān)系.

2 教學(xué)實(shí)錄

環(huán)節(jié)1課前探究

探究1 已知AABC，A=60°，增加兩個(gè)條件，能否確定三角形？若能確定，說出思路，

探究2 已知△ABC，A=60°，增加一個(gè)條件，能否確定三角形？若不能，研究有關(guān)最值或取值范圍問題，

探究3 已知△ABC增加兩個(gè)條件，能否確定三角形？若不能，研究有關(guān)最值或取值范圍問題.（注：以上3個(gè)探究，各編一題，并附上完整解答）

設(shè)計(jì)意圖 探究問題能否有效開展，一個(gè)很重要的原因是選取入口寬、操作性強(qiáng)的探究問題，將形式設(shè)置成開放性，這樣學(xué)生的想法就多了，學(xué)習(xí)更為主動(dòng)更有激情，不會(huì)束縛在同一題中，并且設(shè)計(jì)自編題環(huán)節(jié)，讓學(xué)生當(dāng)一回“老師”，學(xué)生的主動(dòng)性增強(qiáng)，思考也更加深入和嚴(yán)密.

環(huán)節(jié)2 收集素材

學(xué)生的想法海闊天空，編擬的試題各式各樣，感嘆學(xué)生的活躍思維和巨大潛能，然而一堂課不能漫無目的，須有明確的引導(dǎo)方向和達(dá)到解決問題的目的，故在上課前對題目整理歸類.

引導(dǎo)2：問題1中的④⑤，無法利用均值定理求解，考慮到均值定理的局限性，利用正弦定理將邊化為角，通過三角函數(shù)求值域的方法來解決，但三角恒等變換具有一定的技巧性和繁瑣性，請比較兩種方法在求最值問題方面的利弊，

引導(dǎo)3：固定邊a，點(diǎn)A在△ABC外接圓的圓弧上運(yùn)動(dòng)，以運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)來解決AABC周長的取值范圍、AABC面積的最大值和第⑥問，課堂上，筆者通過幾何畫板演示，讓學(xué)生體驗(yàn)三角形動(dòng)態(tài)變化過程，挖掘三角形的“變”與“不變”，問題1中的⑥，是將⑤改成選擇題，只要拖動(dòng)點(diǎn)A使AB過圓心，此時(shí)角C為直角，b² +c²=5應(yīng)舍去，輕松得到答案為A.

引導(dǎo)4：啟發(fā)學(xué)生用運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)來研究問題2至4，關(guān)注動(dòng)點(diǎn)的軌跡，關(guān)注不變量，

問題2：已知AABC，BC=2，AB= √2Ac，求AABC面積的最大值，

問題3：已知△ABD，C在AD上，AD= 3AC，且BC⊥BD，求角A的最大值，

問題4：已知△ABC，b+c=4，a=2，求AABC面積的最大值，

生1：問題2中邊BC為定值，△ABC面積的最大值取決于點(diǎn)A到直線BC的距離，將點(diǎn)B，C固定，則點(diǎn)A的軌跡為阿波羅尼斯圓，由此就可以求出高的最大值，進(jìn)而得到面積的最大值，

生2：問題3中將邊AD固定，點(diǎn)C就固定了，而點(diǎn)B在以（D為直徑的圓0上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)AB與圓0相切時(shí)，角A達(dá)到最大，

生3：問題4與問題2相同，AABC面積的最大值取決于點(diǎn)A到直線BC的距離，將邊BC固定，則點(diǎn)A的軌跡為橢圓，當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到短軸端點(diǎn)時(shí)，面積達(dá)到最大值，

師：3位同學(xué)都回答得很好，用動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)去看待不確定三角形，挖掘三角形中的動(dòng)與不動(dòng)，避免了繁瑣的代數(shù)運(yùn)算，

教師用幾何畫板演示，讓學(xué)生直觀地感受三角形的動(dòng)態(tài)變化，并且提出用動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)試著解決省質(zhì)檢的三角問題，于是，題目的三角形已由一個(gè)過渡到多個(gè)，動(dòng)態(tài)點(diǎn)已由1個(gè)過渡到2個(gè)，這樣，如何建立2個(gè)動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系是解題的突破口，這時(shí)再引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考，來實(shí)現(xiàn).

生5：作CE垂直于x軸，垂足為點(diǎn)E;作DF垂直于x軸，垂足為點(diǎn)F，則RtABEC∽RtADFB，相似比為1：2，進(jìn)而得到坐標(biāo)關(guān)系，

生6：從點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)變換入手，將BC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°再拉伸為原來2倍得到點(diǎn)D.以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)C（r cosa，r sina），則D（2r cos（a +90°），2r sin（a+ 90°）），點(diǎn)C在圓上運(yùn)動(dòng)，c（-l+√5 cosθ√5sinθ），則D（-2√5sinθ-2+2√5cosθ），

師：3位同學(xué)回答得都很好，分別從向量、平面幾何、圖像變換來詮釋點(diǎn)C和點(diǎn)D之間的聯(lián)系，尋找到解題的突破口，接下來，請同學(xué)們試著用動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)解決兩道高考題.

環(huán)節(jié)5 高考鏈接

啟發(fā)學(xué)生用有限來解決無限的問題，抓住臨界狀態(tài)來研究問題，

師：你們回答的太棒了.這兩道題從題型看是填空題和選擇題，應(yīng)盡量小解巧解，兩位同學(xué)從動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)分析，并用有限與無限的思想，抓住臨界狀態(tài)來研究問題，真的很棒.

教師還可用幾何畫板進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示（如下圖）.

環(huán)節(jié)6 歸納方法

提問：本節(jié)課，你有什么收獲？

生：我對動(dòng)態(tài)三角形有關(guān)最值問題的解決方法有了新認(rèn)識：①利用基本不等式;②利用三角函數(shù);③引進(jìn)變量，構(gòu)造函數(shù);④解析法，坐標(biāo)化;⑤做輔助線，利用幾何性質(zhì);⑥運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)，關(guān)注動(dòng)點(diǎn)的軌跡，關(guān)注不變量;⑦極限思想，關(guān)注臨界狀態(tài).

師：回答得很好，方法多固然是好，但要引發(fā)我們深度思考：方法多樣，如何精準(zhǔn)選擇切入點(diǎn)，不僅要與題目的條件和問題有關(guān)，而且也要與題目的類型有關(guān)，選擇題、填空題、解答題的處理方式也應(yīng)有所不同.

環(huán)節(jié)7 課后反思

如何選擇恰當(dāng)?shù)姆椒▉硌芯縿?dòng)態(tài)三角形的最值問題？如何合理地選擇參數(shù)或變量，建立方程組或構(gòu)造函數(shù)？如何聯(lián)系三角形中的邊與角的關(guān)系？如何建立多個(gè)三角形之間的聯(lián)系？如何合理地建立坐標(biāo)系？如何構(gòu)造輔助線，利用平幾知識解決三角形問題？

設(shè)計(jì)意圖：筆者用6個(gè)“如何”引發(fā)學(xué)生在課外不斷延展對動(dòng)態(tài)三角形最值問題的處理與反思.學(xué)生思維的發(fā)展過程，不能僅僅局限于課堂，應(yīng)延展到課后，通過作業(yè)與反思鞏固提升.

3 教學(xué)反思

本節(jié)課以學(xué)生為主體，采用引導(dǎo)式教學(xué)和幾何畫板輔助教學(xué)，教師適當(dāng)穿針引線，提高學(xué)生的參與度、思維度，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性.本節(jié)課標(biāo)題中的“動(dòng)態(tài)”，既形容三角形是在運(yùn)動(dòng)變化，又體現(xiàn)用運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)處理三角形，更體現(xiàn)學(xué)生思維的動(dòng)態(tài)發(fā)展，即從課前的發(fā)散思維到課上的理性思維，再到課后的深層思維.