章金玲
1 引言
2018年福建省質(zhì)檢理科試題第16題系動態(tài)三角形的最值問題,實測結(jié)果表明,學(xué)生的得分很不理想,考后筆者讓學(xué)生再次思考,發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生還是無從下手,三角形的“多個”、“動態(tài)”、“最值”集中在一題中,確實讓學(xué)生望而生畏,在高三的二輪復(fù)習(xí)中,學(xué)生似乎都會了,又似乎都忘了,試卷講評的滿堂灌,教師的一言堂模式,似乎收效甚微,日本教育學(xué)者佐藤學(xué)說過,教育往往要在緩慢的過程中才能沉淀下來,于是,筆者在講評課前,先給出3個問題進行探究,將“封閉題”改成“開放題”,讓學(xué)生在發(fā)散性思維中感受三角形中邊與角的關(guān)系,動與靜的關(guān)系.
2 教學(xué)實錄
環(huán)節(jié)1課前探究
探究1 已知AABC,A=60°,增加兩個條件,能否確定三角形?若能確定,說出思路,
探究2 已知△ABC,A=60°,增加一個條件,能否確定三角形?若不能,研究有關(guān)最值或取值范圍問題,
探究3 已知△ABC增加兩個條件,能否確定三角形?若不能,研究有關(guān)最值或取值范圍問題.(注:以上3個探究,各編一題,并附上完整解答)
設(shè)計意圖 探究問題能否有效開展,一個很重要的原因是選取入口寬、操作性強的探究問題,將形式設(shè)置成開放性,這樣學(xué)生的想法就多了,學(xué)習(xí)更為主動更有激情,不會束縛在同一題中,并且設(shè)計自編題環(huán)節(jié),讓學(xué)生當(dāng)一回“老師”,學(xué)生的主動性增強,思考也更加深入和嚴密.
環(huán)節(jié)2 收集素材
學(xué)生的想法海闊天空,編擬的試題各式各樣,感嘆學(xué)生的活躍思維和巨大潛能,然而一堂課不能漫無目的,須有明確的引導(dǎo)方向和達到解決問題的目的,故在上課前對題目整理歸類.
引導(dǎo)2:問題1中的④⑤,無法利用均值定理求解,考慮到均值定理的局限性,利用正弦定理將邊化為角,通過三角函數(shù)求值域的方法來解決,但三角恒等變換具有一定的技巧性和繁瑣性,請比較兩種方法在求最值問題方面的利弊,
引導(dǎo)3:固定邊a,點A在△ABC外接圓的圓弧上運動,以運動觀點來解決AABC周長的取值范圍、AABC面積的最大值和第⑥問,課堂上,筆者通過幾何畫板演示,讓學(xué)生體驗三角形動態(tài)變化過程,挖掘三角形的“變”與“不變”,問題1中的⑥,是將⑤改成選擇題,只要拖動點A使AB過圓心,此時角C為直角,b2 +c2=5應(yīng)舍去,輕松得到答案為A.
引導(dǎo)4:啟發(fā)學(xué)生用運動觀點來研究問題2至4,關(guān)注動點的軌跡,關(guān)注不變量,
問題2:已知AABC,BC=2,AB= √2Ac,求AABC面積的最大值,
問題3:已知△ABD,C在AD上,AD= 3AC,且BC⊥BD,求角A的最大值,
問題4:已知△ABC,b+c=4,a=2,求AABC面積的最大值,
生1:問題2中邊BC為定值,△ABC面積的最大值取決于點A到直線BC的距離,將點B,C固定,則點A的軌跡為阿波羅尼斯圓,由此就可以求出高的最大值,進而得到面積的最大值,
生2:問題3中將邊AD固定,點C就固定了,而點B在以(D為直徑的圓0上運動,當(dāng)AB與圓0相切時,角A達到最大,
生3:問題4與問題2相同,AABC面積的最大值取決于點A到直線BC的距離,將邊BC固定,則點A的軌跡為橢圓,當(dāng)點A運動到短軸端點時,面積達到最大值,
師:3位同學(xué)都回答得很好,用動態(tài)的觀點去看待不確定三角形,挖掘三角形中的動與不動,避免了繁瑣的代數(shù)運算,
教師用幾何畫板演示,讓學(xué)生直觀地感受三角形的動態(tài)變化,并且提出用動態(tài)的觀點試著解決省質(zhì)檢的三角問題,于是,題目的三角形已由一個過渡到多個,動態(tài)點已由1個過渡到2個,這樣,如何建立2個動點的關(guān)系是解題的突破口,這時再引導(dǎo)學(xué)生進行思考,來實現(xiàn).
生5:作CE垂直于x軸,垂足為點E;作DF垂直于x軸,垂足為點F,則RtABEC∽RtADFB,相似比為1:2,進而得到坐標(biāo)關(guān)系,
生6:從點的運動變換入手,將BC逆時針旋轉(zhuǎn)90°再拉伸為原來2倍得到點D.以點B為坐標(biāo)原點,AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系,設(shè)點C(r cosa,r sina),則D(2r cos(a +90°),2r sin(a+ 90°)),點C在圓上運動,c(-l+√5 cosθ√5sinθ),則D(-2√5sinθ-2+2√5cosθ),
師:3位同學(xué)回答得都很好,分別從向量、平面幾何、圖像變換來詮釋點C和點D之間的聯(lián)系,尋找到解題的突破口,接下來,請同學(xué)們試著用動態(tài)的觀點解決兩道高考題.
環(huán)節(jié)5 高考鏈接
啟發(fā)學(xué)生用有限來解決無限的問題,抓住臨界狀態(tài)來研究問題,
師:你們回答的太棒了.這兩道題從題型看是填空題和選擇題,應(yīng)盡量小解巧解,兩位同學(xué)從動態(tài)的觀點分析,并用有限與無限的思想,抓住臨界狀態(tài)來研究問題,真的很棒.
教師還可用幾何畫板進行動態(tài)演示(如下圖).
環(huán)節(jié)6 歸納方法
提問:本節(jié)課,你有什么收獲?
生:我對動態(tài)三角形有關(guān)最值問題的解決方法有了新認識:①利用基本不等式;②利用三角函數(shù);③引進變量,構(gòu)造函數(shù);④解析法,坐標(biāo)化;⑤做輔助線,利用幾何性質(zhì);⑥運動觀點,關(guān)注動點的軌跡,關(guān)注不變量;⑦極限思想,關(guān)注臨界狀態(tài).
師:回答得很好,方法多固然是好,但要引發(fā)我們深度思考:方法多樣,如何精準選擇切入點,不僅要與題目的條件和問題有關(guān),而且也要與題目的類型有關(guān),選擇題、填空題、解答題的處理方式也應(yīng)有所不同.
環(huán)節(jié)7 課后反思
如何選擇恰當(dāng)?shù)姆椒▉硌芯縿討B(tài)三角形的最值問題?如何合理地選擇參數(shù)或變量,建立方程組或構(gòu)造函數(shù)?如何聯(lián)系三角形中的邊與角的關(guān)系?如何建立多個三角形之間的聯(lián)系?如何合理地建立坐標(biāo)系?如何構(gòu)造輔助線,利用平幾知識解決三角形問題?
設(shè)計意圖:筆者用6個“如何”引發(fā)學(xué)生在課外不斷延展對動態(tài)三角形最值問題的處理與反思.學(xué)生思維的發(fā)展過程,不能僅僅局限于課堂,應(yīng)延展到課后,通過作業(yè)與反思鞏固提升.
3 教學(xué)反思
本節(jié)課以學(xué)生為主體,采用引導(dǎo)式教學(xué)和幾何畫板輔助教學(xué),教師適當(dāng)穿針引線,提高學(xué)生的參與度、思維度,激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性.本節(jié)課標(biāo)題中的“動態(tài)”,既形容三角形是在運動變化,又體現(xiàn)用運動觀點處理三角形,更體現(xiàn)學(xué)生思維的動態(tài)發(fā)展,即從課前的發(fā)散思維到課上的理性思維,再到課后的深層思維.