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        數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下函數(shù)概念的教學(xué)設(shè)計

        2018-12-24 09:51:32卜凡敏黃曉學(xué)
        福建中學(xué)數(shù)學(xué) 2018年6期
        關(guān)鍵詞:符號概念函數(shù)

        卜凡敏 黃曉學(xué)

        我國《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》明確指出:“在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的過程中,學(xué)生能發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng),”[1]函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基本的概念,在解決實(shí)際問題中發(fā)揮重要作用,函數(shù)也是貫穿高中數(shù)學(xué)課程的主線,本文通過對函數(shù)概念的教學(xué)設(shè)計,來闡述如何將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)真正落實(shí)到基礎(chǔ)教育的主陣地——課堂教學(xué).

        1 教學(xué)過程設(shè)計

        1.1 創(chuàng)設(shè)情境,提出問題

        情境播放嫦娥一號月球探測衛(wèi)星成功發(fā)射的視頻(圖略).

        教師:衛(wèi)星在發(fā)射的過程中,我們關(guān)注的是衛(wèi)星與地面的距離隨時間的變化,其實(shí)早在十六世紀(jì),物體運(yùn)動的研究已成為自然科學(xué)的中心問題,數(shù)學(xué)家、科學(xué)家、思想家都強(qiáng)調(diào)用數(shù)學(xué)的方法和思想來研究事物或現(xiàn)象的變化規(guī)律,今天我們就來探討如何用數(shù)學(xué)的眼光描述運(yùn)動變化量之間的依賴關(guān)系. 設(shè)計意圖正如弗賴登塔爾所說:數(shù)學(xué)化應(yīng)從“原始的現(xiàn)實(shí)開始”,而非接近數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí),通過實(shí)際情境引發(fā)學(xué)生思考,激發(fā)探究的欲望,概括出蘊(yùn)涵于問題中變量之間的依賴關(guān)系,從而初步抽象出所要研究的數(shù)學(xué)對象即函數(shù)概念.

        1.2 喚醒經(jīng)驗(yàn),產(chǎn)生認(rèn)知沖突

        問題1 請同學(xué)們回憶初中函數(shù)概念是如何定義的?初中我們學(xué)過哪些函數(shù)?

        設(shè)計意圖建構(gòu)主義理論認(rèn)為,學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者基于原有的知識經(jīng)驗(yàn)生成意義、建構(gòu)理解的過程,通過回顧初中函數(shù)概念的學(xué)習(xí),激活學(xué)生原有知識,使“熟悉”的函數(shù)成為新知識的“生長點(diǎn)”,推動學(xué)生思維的參與.

        問題2 請同學(xué)們思考“y=0”是不是函數(shù)?并說出判斷的理由,

        學(xué)生1:“y=0“不是函數(shù),因?yàn)閥與x沒有關(guān)系,y不隨x的變化而變化,所以它不是函數(shù),

        教師:我們能不能把“y=0”寫成含有y和x的形式呢?

        學(xué)生2:“y=0”可以改寫成“y=O×x”的形式,對于x取任意值,y都等于0.

        教師總結(jié):無論x怎樣變化,y都是“以不變應(yīng)萬變”,這里的“應(yīng)”我們可以理解為“對應(yīng)”的意思,也就是說對于x的每一個值,y都有唯一確定的值“0”和它對應(yīng),今天,我們就從“對應(yīng)”這個新的視角來探究函數(shù)概念.

        設(shè)計意圖 通過設(shè)置有思考力度的數(shù)學(xué)問題,引起學(xué)生的思維沖突,產(chǎn)生認(rèn)知失調(diào),從而打開思維的閘門,深入挖掘函數(shù)概念的本質(zhì),在教師的引導(dǎo)下,“順理成章”地抽象出函數(shù)概念的本質(zhì)屬性與核心部分即“對應(yīng)”,使教學(xué)活動的推進(jìn)與學(xué)生認(rèn)知活動的發(fā)展產(chǎn)生“共振”.

        1.3 師生交流,感悟?qū)?yīng)關(guān)系

        用幾何畫板演示課本第15頁的3個問題(人教A版高中必修1).讓學(xué)生推斷“對應(yīng)關(guān)系”,判斷變量之間是否是函數(shù)關(guān)系?并嘗試用集合語言來刻畫函數(shù).

        設(shè)計意圖教師利用《幾何畫板》創(chuàng)設(shè)體現(xiàn)運(yùn)動與變化的問題情境,學(xué)生直觀的感受到函數(shù)是描述事物運(yùn)動變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型,學(xué)生初步建立對“對應(yīng)關(guān)系”的認(rèn)識,并啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生用集合和對應(yīng)的語言描述變量之間的依賴關(guān)系,發(fā)展學(xué)生用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行交流的能力,在師生交流中,促進(jìn)學(xué)生思維參與,形成和發(fā)展學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng),使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.

        1.4 自主探索,發(fā)現(xiàn)函數(shù)概念本質(zhì)屬性

        問題3小組討論:分析、歸納以上3個實(shí)例,你能發(fā)現(xiàn)它們有什么不同特點(diǎn)和相同點(diǎn)嗎?

        學(xué)生3:不同點(diǎn):三個實(shí)例的對應(yīng)關(guān)系不同,實(shí)例1用解析式來刻畫變量之間的對應(yīng)關(guān)系,實(shí)例2用圖象刻畫變量之間的對應(yīng)關(guān)系,實(shí)例3用圖表刻畫變量之間的對應(yīng)關(guān)系,相同點(diǎn):都有兩個非空集合和一個對應(yīng)關(guān)系.

        教師補(bǔ)充:三個實(shí)例中都是數(shù)到數(shù)的對應(yīng),所以函數(shù)有兩個非空數(shù)集,而且兩個非空數(shù)集間有一個確定的對應(yīng)關(guān)系,至于用什么方法(解析式、圖象、表格)建立對應(yīng)是完全不重要的.

        教師追問:y與x的這種“對應(yīng)關(guān)系”與前面提到的“依賴關(guān)系”含義一致嗎?

        設(shè)計意圖 函數(shù)概念的獲得是一系列弱抽象的過程,將初中數(shù)學(xué)教材中的“變量說”進(jìn)一步抽象為高中數(shù)學(xué)教材中的“對應(yīng)說”,把更加抽象的“對應(yīng)說”與現(xiàn)實(shí)情境中的事物、現(xiàn)象和抽象層次較低的“變量說”聯(lián)系在一起,逐步“去情境化”,凸顯本質(zhì)屬性,最終脫離較低層次的“變量說”的支持,發(fā)展為更為一般的“對應(yīng)說”,讓學(xué)生意識到函數(shù)作為“依賴關(guān)系”的描述和作為“對應(yīng)關(guān)系”的描述本質(zhì)是一致的,是從不同的側(cè)面來認(rèn)識函數(shù)概念的[2].

        1.5 巧用類比,引入函數(shù)符號

        問題4初中我們學(xué)過很多運(yùn)算符號,你能回憶起哪些呢?

        學(xué)生4:算術(shù)平方根符號;絕對值符號Ⅱ正弦符號sin;余弦符號cos等.

        教師板書:算術(shù)平方根符號√:b→√b;絕對值符號II:6一lbl;正弦符號sin:B→ sinB;余弦符號cos:B → cosB.

        教師追問:類比以前學(xué)過的運(yùn)算符號,我們是不是可以把3種“對應(yīng)”類型(解析式、圖象、表格)用一個數(shù)學(xué)符號統(tǒng)一表示成對應(yīng)關(guān)系?

        師生活動:教師在學(xué)生探究的基礎(chǔ)上引入對應(yīng)關(guān)系f并板書:f:x→y;A→ B.(f也可以用g,h等表示).讓學(xué)生交流討論對“對應(yīng)關(guān)系f”的含義或作用的理解,并嘗試用數(shù)學(xué)符號語言來更加直觀、簡潔的表達(dá)數(shù)集A中變量x與數(shù)集B中變量y之間的“對應(yīng)關(guān)系”,

        師生總結(jié):對應(yīng)關(guān)系的含義,簡單地說就是,對變量x施加一個對應(yīng)關(guān)系后得到變量y,對于數(shù)集A中的任意一個數(shù)x(在黑板上寫下x),按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f(在黑板上寫出“f”,并用括號將x括起來),得到數(shù)集B中唯一的y值(在黑板上已經(jīng)寫下的“f (x)”前寫出“y=”),從而寫出等式y(tǒng)=f(x),也就是說初中學(xué)習(xí)的y與f (x)本質(zhì)是一樣的,都表示自變量x所對應(yīng)的函數(shù)值,在師生總結(jié)的基礎(chǔ)上教師給出課本上對函數(shù)概念的完整敘述.

        教師追問:那么你能不能準(zhǔn)確地判斷出問題2中的“y=0”是不是函數(shù)?

        設(shè)計意圖 如果不能準(zhǔn)確地把敘述性語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號語言,則談不上數(shù)學(xué)的應(yīng)用和具備良好的數(shù)學(xué)思維能力,由運(yùn)算符號√、II、sin、cos類比引導(dǎo)學(xué)生得出對應(yīng)關(guān)系的符號f,進(jìn)而給出“函數(shù)概念”的定義,使學(xué)生不但容易理解概念,而且學(xué)會如何將概念轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)符號語言,促進(jìn)數(shù)學(xué)抽象思維的發(fā)展.

        1.6 借用比喻,深化對函數(shù)概念符號的理解

        問題5 符號f(x)最初是由克雷羅和歐拉在1734年前后引進(jìn)的,因其形象、直觀,一直沿用至今,而函數(shù)符號y=f(x)是由德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲在18世紀(jì)引入的,他用符號f (x)替換少,即x→f(x)=y,有人說函數(shù)y=f(x),x∈A是個“產(chǎn)品加工廠”,談?wù)勀愕睦斫?,這里的f (x)是“f”和“x”的乘積嗎?

        師生總結(jié):“f”和“x”不是乘積關(guān)系,而表示x對應(yīng)的函數(shù)值,如f(x)= 3x2+1,當(dāng)x=2時,函數(shù)值是13.簡便起見,我們分別把它寫成f(2) =13.一般地,如果x=a時,函數(shù)對應(yīng)的值是6,那么,就可以記為f(a)=b.

        教師追問:你能求出f(a+1)、f(a)+1分別是多少嗎?

        設(shè)計意圖 數(shù)學(xué)的邏輯推理和運(yùn)算離不開數(shù)學(xué)符號語言,如果不能理解和把握符號語言的語義和句法,就不可能進(jìn)行數(shù)學(xué)推理和運(yùn)算,借用“產(chǎn)品加工廠”讓學(xué)生形成感性認(rèn)知,然后再去偽存真,抽象出共同的本質(zhì)屬性,達(dá)到對函數(shù)抽象表達(dá)理性思維層次的認(rèn)知,形成對函數(shù)概念的本質(zhì)特征和定義本身的特點(diǎn)與含義的理解.

        1.7 概念變式,深度剖析函數(shù)概念

        問題6 你認(rèn)為函數(shù)的定義中哪些是關(guān)鍵詞呢?

        學(xué)生5:定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系.

        教師總結(jié):函數(shù)是一個整體,它必須具備:兩個集合(定義域和值域),一個對應(yīng)(從定義域到值域的單值對應(yīng)),因此我們稱這3部分為函數(shù)的三要素,它最完整的表示是y=f(x),x∈A,因?yàn)榫雍瘮?shù)核心地位的是對應(yīng)關(guān)系,所以在不致混淆的情況下,可以簡化寫為f(x)或f.

        師生活動:讓學(xué)生分析找出前面三個例題中函數(shù)的三要素,并判斷表示炮彈飛行高度h與時間f的函數(shù)x=y2與一般函數(shù)h=130t - 5t2是否相等,討論如果兩個函數(shù)相同,那么它們應(yīng)該滿足什么條件,

        設(shè)計意圖 給出了概念的定義并不意味著概念就形成了,教師要引導(dǎo)學(xué)生從各個不同的角度、不同層次和不同情形去審視概念,探究和感受概念內(nèi)涵的豐富性,讓學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì),從“不變”中探求“變”的規(guī)律,培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界.

        設(shè)計意圖 “數(shù)學(xué)是思維的體操”,函數(shù)概念的學(xué)習(xí)最終是為了獲得數(shù)學(xué)思維過程訓(xùn)練以及更廣泛的運(yùn)用,從多角度、多層次、全方位地編制類型豐富的變式題目,學(xué)生經(jīng)歷艱苦的探索過程,從而讓學(xué)生學(xué)會思維,并能逐步學(xué)會想得更清晰、更全面、更深入、更合理[3],培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維分析世界.

        問題9課本第21頁的例5和例6(人教A版高中必修1).

        設(shè)計意圖 通過例5和例6來了解簡單的分段函數(shù),并能夠解決簡單的實(shí)際問題.

        1.9 小結(jié)反思,提煉深化概念

        問題10 與初中學(xué)習(xí)的函數(shù)定義相比較,從知識、能力、思想等方面談?wù)勀銓瘮?shù)有什么新認(rèn)識?

        設(shè)計意圖 回顧獲得函數(shù)概念的整個艱苦歷程,發(fā)現(xiàn)這是對學(xué)生“學(xué)”的一種深化過程,通過問題引導(dǎo)學(xué)生從總體上理解和掌握知識,培養(yǎng)學(xué)生善于思考、歸納總結(jié)的能力.

        1.10 課后思考,鞏固運(yùn)用概念

        問題11 我們?yōu)榭坍嬅枋霈F(xiàn)實(shí)世界中運(yùn)動事物或變化現(xiàn)象而構(gòu)建了函數(shù)模型y=f(x).請你在現(xiàn)實(shí)生活中找出至少3個存在函數(shù)關(guān)系的實(shí)例(其中包括用圖象法、列表法、解析法表示的函數(shù)),并指出它們的三要素.

        設(shè)計意圖 數(shù)學(xué)模型構(gòu)建了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的橋梁,使得數(shù)學(xué)回歸于外部世界,詩人陸游有云,“紙上得來終覺淺,絕知此事要躬行”,學(xué)生通過建立函數(shù)模型來描述、解釋實(shí)際問題,不但可以學(xué)會在實(shí)際情境中根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù),并理解函數(shù)圖象的作用,還可以體驗(yàn)成功解決問題所帶來的成就感,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)情感素養(yǎng).

        2 教學(xué)設(shè)計反思

        函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基本的概念,是中學(xué)數(shù)學(xué)的紐帶,其實(shí)質(zhì)是反映變量之間依賴關(guān)系的抽象模型,函數(shù)概念作為基本的數(shù)學(xué)語言和工具,在解決問題和表達(dá)思想中發(fā)揮重要作用,學(xué)生對函數(shù)概念的學(xué)習(xí)往往存在很多困難,本文在核心素養(yǎng)背景下構(gòu)建了該內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計,通過教學(xué)反思凝煉出如下教學(xué)主張[4]:(1)教學(xué)目標(biāo)設(shè)計要以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向、為宗旨,函數(shù)概念教學(xué)的目標(biāo)是幫助學(xué)生理解基于對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)定義,獲得數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等方面的數(shù)學(xué)素養(yǎng).(2)教學(xué)策略的設(shè)計要基于函數(shù)概念的數(shù)學(xué)本質(zhì),基于學(xué)生學(xué)習(xí)的原有經(jīng)驗(yàn),一方面,問題是數(shù)學(xué)的心臟(哈爾莫斯),數(shù)學(xué)的本質(zhì)是解決問題、描述和理解結(jié)構(gòu)與范型,為了揭示函數(shù)概念的數(shù)學(xué)本質(zhì),通過“問題驅(qū)動”的教學(xué)方式,以“問題來龍一問題實(shí)質(zhì)一問題去脈”為抓手設(shè)計教學(xué)流程,另一方面,新的學(xué)習(xí)科學(xué)認(rèn)為,學(xué)習(xí)是原有經(jīng)驗(yàn)的遷移,為了保持?jǐn)?shù)學(xué)課堂的連貫性,在情境設(shè)計時要時刻關(guān)注學(xué)生過去、現(xiàn)在和未來的經(jīng)驗(yàn),并因材設(shè)計熟悉的情境、關(guān)聯(lián)的情境、綜合的情境,制造不同層次的認(rèn)知沖突.(3)教學(xué)評價設(shè)計要通過分層問題測驗(yàn)學(xué)生“四基四能”的獲得,促進(jìn)核心素養(yǎng)的達(dá)成,通過這樣的教學(xué)能讓學(xué)生理解函數(shù)概念的本質(zhì),感悟數(shù)學(xué)的精神、思想和方法[5].

        參考文獻(xiàn)

        [1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)[S].北京:人民教育出版社,2017

        [2]賈丕珠.函數(shù)學(xué)習(xí)中的六個認(rèn)知層次[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報,2004,13(3):79-81

        [3]鄭毓信.數(shù)學(xué)教育視角下的“核心素養(yǎng)”[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報,2016,25(3): 1-5

        [4]黃曉學(xué).良好的數(shù)學(xué)教育——基于教學(xué)視角[J].扛蘇師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2016 (1): 43-46

        [5]米山國藏.毛正中,吳素華譯,數(shù)學(xué)的精神、思想和方法[M].成都:四川教育出版社,1986

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