黎海英
[摘 要]高師數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生,除了要具備扎實(shí)的學(xué)科基礎(chǔ)知識(shí)外,數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)尤為重要.隨著新課程標(biāo)準(zhǔn)的逐步實(shí)踐,在高考中,運(yùn)用微積分思想方法解題的比重越來(lái)越大.這就意味著,微積分思想方法在數(shù)學(xué)方法論中的重要地位.求函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值,以及曲線的切線問(wèn)題和求證不等式等,用微積分思想方法會(huì)使問(wèn)題化繁為簡(jiǎn),迎刃而解.因此,強(qiáng)化高師數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生微積分思想方法的培養(yǎng),對(duì)未來(lái)教育教學(xué)改革的發(fā)展有著重要的意義.
[關(guān)鍵詞]高師學(xué)生;數(shù)學(xué)方法論;微積分方法及應(yīng)用
[中圖分類號(hào)] G64 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 2095-3437(2018)12-0070-03
百年大計(jì),教育為本,而教育的核心要素是教師.有怎樣的教師就會(huì)有怎樣的教育.師范學(xué)校是培養(yǎng)人民教師的搖籃,抓好高校師范學(xué)生學(xué)科專業(yè)能力的培養(yǎng),是教育可持續(xù)發(fā)展的基礎(chǔ).高師數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生,除了要有扎實(shí)的學(xué)科基礎(chǔ)知識(shí)外,數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)尤為重要.17世紀(jì)下半葉,微積分的發(fā)現(xiàn)與發(fā)展被譽(yù)為“近代技術(shù)文明產(chǎn)生的關(guān)鍵事件之一,因?yàn)閿?shù)學(xué)思想方法引入了若干極其成功的且對(duì)以后許多數(shù)學(xué)的發(fā)展起決定性作用的思想”.恩格斯曾說(shuō):“在一切理論成就中,未必再有像17世紀(jì)下半葉微積分的發(fā)現(xiàn)那樣被看作是人類精神的最高勝利了.如果在某個(gè)地方我們看到人類精神的純粹和唯一的功績(jī),那就是在這里.”微積分的創(chuàng)立,無(wú)論對(duì)數(shù)學(xué)還是對(duì)其他科學(xué)和技術(shù)的發(fā)展都產(chǎn)生了巨大而深遠(yuǎn)的影響.
一、微積分思想及其應(yīng)用的深刻意義
微積分的創(chuàng)立,極大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展,豐富了數(shù)學(xué)科學(xué)的思想寶庫(kù).隨著微積分的創(chuàng)立及其理論基礎(chǔ)的日漸完善,以微積分為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)分析科學(xué)獲得空前的發(fā)展,建立了許多數(shù)學(xué)分支,如微積分方程、積分方程、復(fù)變函數(shù)、實(shí)變函數(shù)、泛函分析、微分幾何、拓?fù)鋵W(xué)、變分法等.同時(shí),由于微積分在力學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)和其他科學(xué)技術(shù)中獲得極其廣泛的應(yīng)用,因此也極大地促進(jìn)了這些科學(xué)和技術(shù)的發(fā)展.
極限理論是微積分的理論基礎(chǔ),函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分則是微積分的基本概念、基本思想和基本方法.因此,微積分的思想方法包含著極限、導(dǎo)數(shù)和積分的思想方法.用這些思想方法來(lái)分析和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題,就是把問(wèn)題歸結(jié)為求某個(gè)變量的極限、某個(gè)函數(shù)在某個(gè)定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)或某個(gè)函數(shù)在某一確定區(qū)間上的定積分.
微積分進(jìn)入我國(guó)中學(xué)課堂是新課程改革的進(jìn)步.2017年12月15日教育部考試中心下發(fā)的《2018年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試大綱》,就在數(shù)學(xué)學(xué)科(理科數(shù)學(xué)、文科數(shù)學(xué))的考中指出,+函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、函數(shù)單調(diào)性、極值、最值、導(dǎo)數(shù)不等式、導(dǎo)數(shù)與不等式的結(jié)合等均是核心考點(diǎn).同時(shí)我們會(huì)發(fā)現(xiàn),隨著新課程標(biāo)準(zhǔn)的逐步實(shí)踐,在高考中,運(yùn)用微積分思想方法解題的比重越來(lái)越大.這就表明了,微積分思想方法在數(shù)學(xué)方法論中的重要地位.強(qiáng)化高師數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生微積分思想方法的培養(yǎng),目的就是培養(yǎng)適應(yīng)未來(lái)教育教學(xué)改革發(fā)展需要的人才.下面從六個(gè)方面探析微積分思想在解題中的應(yīng)用.
二、數(shù)學(xué)方法論——微積分思想方法的應(yīng)用
(一)關(guān)于求函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題.
研究函數(shù)f (x)在某區(qū)間的單調(diào)性問(wèn)題,可根據(jù)導(dǎo)數(shù)有關(guān)的性質(zhì),通過(guò)分析導(dǎo)函數(shù)f′(x)>0(或f′(x)≥0)、 f′(x) <0(或f (x)≤0)來(lái)獲證.
例1 已知函數(shù)f(x)=x3-3ax2+3bx的圖象與直線12x+y-1=0相切于點(diǎn)(1,-11).
(1)求實(shí)數(shù)a、b的值;
(2)研究并確定函數(shù)f(x)的單調(diào)性.
分析 (1)由方程思想可知,欲求a、b的值,只需根據(jù)已知條件列出關(guān)于a、b的方程組即可.
∵ f (x)=x3-3ax2+3bx,
∴ f′(x)=3x2-6ax+3b.
∵ 函數(shù)f (x)的圖象與直線12x+y-1=0相切于點(diǎn)(1,-11),
∴ f (1)=-11,f′(1)=-12,即[1-3a+3b=-11,3-6a+3b=-12,]
解之,得a=1,b=-3.
(2)由(1)得 f′(x)=3x2-6x-9.
解方程f′(x)=0,得x1=-1,x2=3.
∵ 當(dāng)x<-1或x>3時(shí),f′(x)=3(x+1)(x-3)>0,
∴ 當(dāng)x<-1或x>3時(shí),f (x)是增函數(shù).
∵ 當(dāng)-1 ∴ 當(dāng)-1 ∴ 當(dāng)x∈(-∞,-1)∪(3,+∞)時(shí),函數(shù)f (x)是增函數(shù);當(dāng)x[∈](-1,3)時(shí),f(x)是減函數(shù). (二)關(guān)于求函數(shù)的極值問(wèn)題. 求函數(shù)f(x)的極值問(wèn)題,其實(shí)就是研究函數(shù)f′(x)在某一區(qū)間的單調(diào)性,在區(qū)間的單調(diào)拐點(diǎn)即極值點(diǎn)上,利用導(dǎo)數(shù)f′(x)=0的性質(zhì)使問(wèn)題獲解. 例2 設(shè)函數(shù)f (x)=x3+bx2+cx(x∈R),g(x)=f (x)-f′(x)是奇函數(shù). (1)求實(shí)數(shù)b、c的值; (2)求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間和極值. 分析 (1)由方程思想可知,欲求b、c的值,只需根據(jù)已知條件列出并求解關(guān)于b、c的方程(組)即可. ∵ f (x)=x3+bx2+cx, ∴ f′(x)=3x2+2bx+c. ∴ g(x)=f (x)-f′(x) =x3+bx2+cx-(3x2+2bx+c) =x3+(b-3)x2+(c-2b)x-c. ∵ g(x)是奇函數(shù), ∴ b-3=0,c=0. ∴ b=3,c=0.
(2)由(1)可知g(x)=x3-6x,
∴ g′(x)=3x2-6.
解方程g′(x)=0,得x1=-[2],x2=[2].
∵ 當(dāng)x∈(-∞,-[2])∪([2],+∞)時(shí),
g′(x)=3(x2-2)>0,
∴ (-∞,-[2])和([2],+∞)是函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.
∵ 當(dāng)x∈(-[2],[2])時(shí),g′(x)=3(x2-2)<0,
∴ (-[2],[2])是函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.
∴ g(-[2])=4[2]是函數(shù)g(x)的極大值,g([2])=-4[2]是函數(shù)g(x)的極小值.
(三)關(guān)于求函數(shù)的最大值和最小值問(wèn)題.
求函數(shù)在某個(gè)區(qū)間的最值問(wèn)題,其實(shí)與求函數(shù)的極值的思路相似.利用函數(shù)在某個(gè)點(diǎn)取得極值的性質(zhì)f′(x)=0和函數(shù)在某個(gè)區(qū)間的單調(diào)性,即通過(guò)論證導(dǎo)函數(shù)f′(x)>0(或f′(x)≥0)、f′(x)<0(或f′(x)≤0),再結(jié)合f′(x)=0來(lái)獲證.
例3 設(shè)函數(shù)f (x)=x3+3ax2-9x+3a,其中a為實(shí)數(shù).
(1) 若x=1是函數(shù)f (x)的一個(gè)極值點(diǎn),求函數(shù)f (x)在【-3,3】上的最大值和最小值;
(2)若f (x)在(-∞,-3】和【3,+∞)上都是單調(diào)增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
分析 (1)欲求f (x)在【-3,3】上的最大值和最小值,必須先求出函數(shù)的解析式,為此,只需求出a的值即可.由方程思想可知,欲求a的值,只需根據(jù)已知條件列出并解出關(guān)于a的方程即可.
∵ f (x)=x3+3ax2-9x+3a,
∴ f′(x)=3x2+6ax-9.
∵ x=1是f (x)的一個(gè)極值點(diǎn),
∴ f′(1)=0,即
3+6a-9=0.解之,得a=1.
∴ f (x)=x3+3x2-9x+3,
∴ f′(x)=3x2+6x-9.
解方程f′(x)=0,即3(x2+2x-3)=0,得
x1=-3,x2=1.
∵ 在區(qū)間(1,3)上,f′(x)>0,
在區(qū)間(-3,1)上,f′(x)<0,
∴ x=1是f (x)在(-3,3)上的唯一極值點(diǎn).
∵ f (-3)=f (3)=30,f (1)=-2,
∴ 函數(shù)f (x)在【-3,3】上的最大值是30,最小值是-2.
(2)∵ f (x)=x3+3ax2-9x+3a,
∴ f′(x)=3x2+6ax-9.
∵ f (x)在(-∞,-3】和【3,+∞)上都是單調(diào)增函數(shù),
∴ f′(-3)≥0且f′(3)≥0,即
[27-18a-9≥0,27+18a-9≥0.]
解之,得-1≤a≤1.
∴ 實(shí)數(shù)a的取值范圍是【-1,1】.
(四)關(guān)于求曲線的切線方程和解決與切線有關(guān)的問(wèn)題
求曲線的切線方程或解決與切線有關(guān)的問(wèn)題,一般是根據(jù)已知條件,利用過(guò)曲線切點(diǎn)時(shí)導(dǎo)函數(shù)f′(x)=0性質(zhì),列出并解關(guān)于切線未知系數(shù)的方程或方程組即可獲解.
例4 已知[x=±1]是函數(shù)f (x)=ax3+bx2+cx的極值點(diǎn),且f (1)=-1,求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,-1)的曲線y=f (x)的切線方程.
分析 欲求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,-1)的曲線y=f (x)的切線方程,必須先求出函數(shù)f (x)的解析式,為此,只需求出a、b、c的值即可.由方程思想可知,欲求a、b、c的值,只需根據(jù)已知條件列出并解關(guān)于a、b、c的方程組就行了.
∵ f (x)=ax3+bx2+cx,
∴ f′(x)=3ax2+2bx+c.
∵ [x=±1]是函數(shù)f (x)的極值點(diǎn),
∴ f′(1)=0,f′(-1)=0,
即3a+2b+c=0, ①
3a-2b+c=0, ②
∵ f (1)=-1,
∴ a+b+c=-1 ③
聯(lián)立解①、②、③,得[a=12,b=0,c=- 32] ,
∴ [f(x)=12x3-32x,]
∴ f[ ′(x)=32x2-32].
設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,-1)的直線與曲線[f(x)=12x3-32x]相切于點(diǎn)Q(x0,f (x0)),則切線的方程為
y-f (x0)=f′(x0) · (x-x0),
y- [12x30-32x0] = [32x20-32](x-x0).
∵ 切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,-1),
∴ -1- [12x30-32x0] = [32x20-32](1-x0).
化簡(jiǎn)、整理,得[2x30]-[3x20]+1=0.
解關(guān)于x0的上述方程,得x0=1或x0= - [12].
將x0的兩個(gè)值分別代入上述切線方程,得
y=-1或9x+8y+10=0.
∴ 所求切線方程為
y+1=0或9x+8y+10=0.
(五)關(guān)于求解不等式問(wèn)題.
利用函數(shù)思想和導(dǎo)數(shù)思想解決不等式問(wèn)題,其實(shí)就是先用函數(shù)思想分析不等式,把不等式的證明問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性或函數(shù)值域的確定問(wèn)題,然后用導(dǎo)數(shù)思想解決函數(shù)的單調(diào)性或函數(shù)值域的確定問(wèn)題.
例5 求證:當(dāng)x>-1時(shí),ln(x+1)[≤x].
分析 欲證原不等式成立,只需證ln(x+1)-x [≤0]即可.
用函數(shù)思想考察和分析問(wèn)題,欲證上述不等式成立,只需證函數(shù)f (x)=ln(x+1)-x的最大值是0就可以了.
設(shè)f (x)=ln(x+1)-x,則
f′(x)=[ 1x+1] -1=- [xx+1].
令f′(x)=0,解之,得x=0.
∴ x=0是函數(shù)f (x)=ln(x+1)-x的極值點(diǎn),
∵ 當(dāng)-1
∴ 函數(shù)f (x)在(-1,0)上單調(diào)遞增.
∵ 當(dāng)0 ∴ 函數(shù)f (x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減. ∴ x=0是函數(shù)f (x)的唯一的極值點(diǎn),又是極大值點(diǎn). ∴ x=0是函數(shù)f (x)的最大值點(diǎn). ∵ f (0)=0, ∴ 函數(shù)f (x)在(-1,+∞)上的最大值是0. ∴ ln(x+1)-x ≤0. ∴ 當(dāng)x>-1時(shí),ln(x+1)≤ x. (六)關(guān)于求解實(shí)際工作和生活中的最值問(wèn)題. 求解實(shí)際工作和生活中的最值問(wèn)題,實(shí)際上就是用導(dǎo)數(shù)思想研究實(shí)際問(wèn)題中的最大值或最小值問(wèn)題.解決此類問(wèn)題,主要分為兩大步,一是建立有關(guān)變量之間的函數(shù)關(guān)系式,這是模型建立問(wèn)題;二是用導(dǎo)數(shù)思想研究所建立的函數(shù)的單調(diào)性和極值點(diǎn),從而確定函數(shù)的最大值或最小值. 例6 某公司決定采取增加廣告投入和技術(shù)改造投入兩項(xiàng)措施來(lái)獲得更大的收益.通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查和市場(chǎng)預(yù)測(cè),當(dāng)對(duì)兩項(xiàng)投入都不超過(guò)3百萬(wàn)元時(shí),每投入x百萬(wàn)元廣告費(fèi),所增加的銷售額可近似地用函數(shù)f (x)=-2x2+14x 來(lái)計(jì)算;每投入x百萬(wàn)元技術(shù)改造費(fèi)用,所增加的銷售額可近似地用函數(shù)g(x)= - [13] x3 +2x2 +5x 來(lái)計(jì)算. 現(xiàn)該公司計(jì)劃共投入3百萬(wàn)元用于廣告投入和技術(shù)改造投入,請(qǐng)你為該公司設(shè)計(jì)一種資金分配方案,使該公司能獲得最大的收益.(注:收益=銷售額-投入) 分析 求解這類問(wèn)題,關(guān)鍵是建立收益與投入之間的函數(shù)關(guān)系式,然后用導(dǎo)數(shù)思想確定函數(shù)的最大值或最小值(用料最省、消耗最少則是求最小值). 設(shè)技術(shù)改造投入x百萬(wàn)元,則廣告投入為(3-x)百萬(wàn)元.技術(shù)改造投入所增加的收益為f (x)=(-[13]x3+2x2+5x)-x,廣告投入所增加的收益為g(x)=[-2(3-x)2+14(3-x)]-(3-x),所以,總投入所帶來(lái)的總增加的收益為 F(x)=f (x)+g(x)=-[13]x3+2x2+5x-2(3-x)2+14(3-x)-3. 因?yàn)椴扇〈胧┣暗耐度牒褪找娑际浅A?,采取措施后的投入也是常量,所以該公司收益最大量就是投?百萬(wàn)元后總增加的收益最大的時(shí)候. 化簡(jiǎn)、整理,得 F(x)=-[13]x3+3x+21. ∴ F′(x)=-x2+3. 令 F′(x)=0,解之,得x=[3]或x=-[3](舍去). 當(dāng)0 ≤x<[3]時(shí),F(xiàn)′(x)>0;當(dāng)[3] ∴ 函數(shù)F(x)在【0,[3])上單調(diào)增,在([3],3】上單調(diào)減. ∴ x=[3]是函數(shù)F(x)在【0,3】上唯一的極大值點(diǎn). ∴ x=[3]是函數(shù)F(x)的最大值點(diǎn). ∴ 當(dāng) x=[3]≈1.732時(shí),F(xiàn)(x)取得最大值. 所以,該公司的資金投入方案應(yīng)為:技術(shù)改造投入1.73百萬(wàn)元,廣告投入1.27百萬(wàn)元.這樣,該公司便可獲得最大的收益. 三、結(jié)語(yǔ) 數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂,是形成學(xué)生良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的紐帶,是由知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁.基礎(chǔ)數(shù)學(xué)引入微積分的導(dǎo)數(shù)內(nèi)容,不僅使數(shù)學(xué)內(nèi)容增添了更多的變量?jī)?nèi)容,拓展了學(xué)習(xí)和研究的領(lǐng)域,更為重要的是在中學(xué)數(shù)學(xué)中引入了更為先進(jìn)、更高層次的數(shù)學(xué)思想——微積分思想,這極大地拓展了思維的空間,使許多用初等方法無(wú)法解決的問(wèn)題,用微積分的思想來(lái)分析和研究時(shí)便能迎刃而解.加強(qiáng)師范生數(shù)學(xué)思想方法——微積分思想方法的培養(yǎng),是未來(lái)數(shù)學(xué)教育教學(xué)的需要,也是科學(xué)技術(shù)發(fā)展和人才培養(yǎng)的需要.數(shù)學(xué)和科學(xué)技術(shù)發(fā)展到今天,數(shù)學(xué)已經(jīng)成為一切科學(xué)技術(shù)的工具.正如馬克思所預(yù)言:“任何科學(xué)只有在成功地應(yīng)用數(shù)學(xué)來(lái)描述自己的一切結(jié)論時(shí),才算真正達(dá)到了完善的地步.”因此,學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)方法,對(duì)于現(xiàn)代技術(shù)的發(fā)展、完善、普及和應(yīng)用都有極其重要的促進(jìn)作用. [ 參 考 文 獻(xiàn) ] [1] 陳勇.從歷史視角看高等教育的本質(zhì)[J].大學(xué)教育,2018(9):40-42. [2] 教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版)[J].北京:人民教育出版社出版,2017. [3] 教育部考試中心,2018年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試大綱[Z].2017. [責(zé)任編輯:金 鈴]