李長軍， 陳剛強

(中國海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 山東 青島 266100)

McMullen函數(shù)族的六個結(jié)論?

李長軍， 陳剛強

(中國海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 山東 青島 266100)

McMullen函數(shù)族； Fatou集；Julia集；康托圓

McMullen[3]最早研究了有理函數(shù)

(1)

的Julia集，證明了當(dāng)正參數(shù)λ充分小時上述函數(shù)的Julia集是康托圓，同時不加證明的指出有理函數(shù)

(2)

當(dāng)正參數(shù)λ充分小時也具有該性質(zhì)。

Beardon A F[4]在他的著作中也研究了(1)這類有理函數(shù)的動力學(xué)性質(zhì)，并且用不同的方法證明了正參數(shù)λ充分小時其Julia集是康托圓，并且還證得了其他的5個結(jié)論。

后來，這一類型的函數(shù)得到更多學(xué)者的關(guān)注并得到一系列結(jié)果．在大多數(shù)論文討論中，研究對象主要集中在n=m的情形，即

(3)

除了n=m的這一類McMullen函數(shù)外，還存在著n≠m的情形。有一些著作對該情形已經(jīng)進行了研究，如Steinmetz[7]就對于一般的n和m參數(shù)平面的結(jié)構(gòu)作了比較系統(tǒng)的研究，并且還計算出了Sierpinski孔的個數(shù)。

1 預(yù)備知識

定義1[1]在Montel的意義下Rλz的正規(guī)的點的集合稱作Rλz的Fatou集，用FRλ表示；Fatou集的補集稱為Julia集，用JRλ來表示；等價的，JRλ也是Rλz的排斥周期點的閉包。

因為∞是Rλz的超吸引不動點，于是在∞處有一個直接吸引盆，記為Bλ；又Rλz將0映到∞，則0一定在Rλz的某個Fatou分支中，記0所在的Fatou分支為Tλ；可以發(fā)現(xiàn)要么Tλ∩Bλ=φ，要么Tλ=Bλ[2]。

定理A[4](Riemann-Hurwitz公式)設(shè)Rz是一個度至少為2的有理映射且假設(shè)

1)V是一個被有限多條互不相交的Jordan曲線界定的區(qū)域；

2)U是R-1V的一個分支；

3)在?V上不存在Rz的臨界值；

則存在一個整數(shù)m使得Rz是U到V上的m重映射且χU+δRU=mχV。

Devaney，Look和Uminsky[2]證明了下述定理，其中，一個集合是康托圓如果它同胚于集，這里是指單位圓周，Cantor集是指正實軸上的Cantor集[4]。

定理B[2](逃逸三分法) 假設(shè)Rλz的有限臨界點的軌道趨向于∞，則

1) 如果Rλz的其中一個臨界值位于Bλ中，則JRλz是康托集。

2) 否則，JRλz是連通集且Bλ和Tλ是不相交的開的單連通集。如果Rλz的某一個臨界值在Tλ中，則JRλz是康托圓。

3)若某臨界值位于Tλ的一個迭代前像里，JRλ是Sierpinski曲線。

定理C[4]設(shè)Rz是一個度至少為2的有理映射，且它的每個臨界點都有一個向前軌道在Rz的一個(超)吸引循環(huán)中聚集。則Rz在JRz上擴張。

a)Tλ和Bλ是單連通的，而Fatou集的所有其他的分支是二連通的；

c)∞吸引了Rλz的所有臨界點；

d)JRλ是一個康托圓；

e)存在JRλ的某分支不與FRλ的任一分支的邊界相交；

f)Rλz在JRλ上擴張。

2 主要結(jié)果及其引理的證明

(A)Tλ和Bλ是單連通的，而Fatou集的所有其他的分支是二連通的；

(c)∞吸引了Rλz的所有臨界點；

(d)JRλ是一個康托圓；

(e)存在JRλ的某分支不與FRλ的任一分支的邊界相交；

(f)Rλz在JRλ上擴張。

在定理1的證明過程中將用到以下引理。

證明 首先，假設(shè)下文中都有λ充分小使得相關(guān)的不等式成立。同時，選取正數(shù)a，b，α，β，假設(shè)滿足下列不等式：

在B上有

因此RλB?B。

在A上有

因此RλA?B。

還需證明J?K。發(fā)現(xiàn)在K的定義中可以用A的閉包替代A，且這表明K是閉集且非空。顯然至少有3個點(它將是Jordon曲線的并集)，再由J的最小性得出J?K，因此J=K。證明完畢。

現(xiàn)定義2個環(huán)

由此有

(1)V包含V1，且W包含W1；

(2)Rλz是V到A上的n重映射；

(3)Rλz是W到A上的m重映射。

圖1 集合V，W和AFig.1 The sets V, Wand A

證明 為了證明該定理，不失一般性，首先給出圖1來展示嵌套環(huán)上的映射。

在W1上，有

為了完成該引理的證明，還應(yīng)當(dāng)說明V和W是不相交的二連通的區(qū)域，因此驗證Rλz在它的臨界點上的行為。

現(xiàn)在對于Γ上的z(和充分小的λ)。有

χΩ+δΩ=nχA

或χΩ+δΩ=mχA，其中χA= 0，

于是，χΩ=0。

因此，每個分支Ω都是二連通的。證明完畢。

通過驗證該論證，顯然我們可以在K的定義中用A的閉包替代A，因此K是閉集且非空。

3 主要結(jié)果的證明

下面給出定理1的證明。

定理1的證明 已經(jīng)得到了

于是(b)也成立。因為如果(b)不成立，則將是F的某個分支的循環(huán)而非Bλ吸引某個臨界點的向前軌道，這就產(chǎn)生了矛盾。同時注意到該條關(guān)于臨界點的性質(zhì)也導(dǎo)出了(f)(參看定理C)。

這里還存在的問題是必須說明這些環(huán)一定將0和∞分離。

nRλτ,0=±knσ,0≠0，

現(xiàn)在知道構(gòu)造中的環(huán)都將0和∞分離，考慮來自構(gòu)造中的任一減小的緊環(huán)列，稱為A1，A2，…。用C1和C2表示A1的余分支，顯然交集∩An將C1從C2分離，且因此將0從∞分離。

以上表明Tλ和Bλ被J分離，因此Tλ≠Bλ。

由此，再結(jié)合(c)和定理B，可推得(d)成立。

現(xiàn)在考慮Bλ。下面證明Rλz的有限臨界點都不在Bλ內(nèi)(它們映到Tλ，且Bλ向前不變)，且Bλ一定是單連通的。

下一步，當(dāng)Rλz的非零臨界點都不在Tλ中(如果在的話，則RλΓ也將位于Bλ內(nèi))，因此Rλz是Tλ到Bλ上的m重覆蓋映射，在原點處有m-1個臨界點，沒有其他的臨界點在Tλ上。

由Riemann-Hurwitz 公式

χTλ+m-1=mχBλ，

表明Tλ也一定是單連通的。

最后，如果m>n，

恰恰如同對RλΓ，看到RλQ?Tλ。

因此，Q位于F的某分支F1內(nèi)。

又因為Q包含Rλz的所有n+m個零點，以及其所有n+m個非零有限臨界點，Rλz將F1以n+m重的方式映到Tλ上，且Riemann-Hurwitz 公式

χF1+n+m=n+mχTλ，

這表明F1是二連通的。

而因為F的每個分支有有限的連通性，于是(e) 成立。由此，定理1證明完畢。

[1] Milnor J. Dynamics in One Complex Variable (3rd Edition)[M]. Princeton and Oxford：Princeton University Press, 2006： 40-41.

[2] Devaney R, Look D, Uminsky D. The escape trichotomy for singularly perturbed rational maps[J]. Indiana Univ Math J, 2005,4(6): 1621-1634.

[3] McMullen C T. Automorphism of rational maps[C]//Holomorphic Functions and Moduli. New York: Springer-Verlag, 1988: 31-59.

[4] Beardon A F. Iteration of rational functions[M]. Heidelberg: Springer Verlag, 1991.

[5] Devaney R. Structure of the McMullen domain in the parameter planes for rational maps[J]. Fund Math, 2005, 185(3): 267-285.

[6] Qiu W Y, Xie L, Yin Y C. Fatou components and Julia sets of singularly perturbed rational maps with positive parameter[J]. Acta Mathematica Sinica, English Series, 2012, 28(10): 1937-1954.

[7] Steinmetz N. Sierpinski curve Julia sets of rational maps[J] Comput Methods Funct Theory, 2006, 6(2): 317-327.

SixResultsonMcMullenFamily

LI Chang-Jun， CHEN Gang-Qiang

(School of Mathematical Science, Ocean University of China, Qingdao 266003, China)

McMullen family； Fatou set； Julia set； Cantor circles

AMSSubjectClassifications： 30D05； 37F10； 37F15

O174.5

A

1672-5174(2018)02-120-05

10.16441/j.cnki.hdxb.20150374

李長軍， 陳剛強. McMullen函數(shù)族的六個結(jié)論[J]. 中國海洋大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2018, 48(2): 120-124.

LI Chang-Jun， CHEN Gang-Qiang. Six results on McMullen family[J]. Periodical of Ocean University of China, 2018, 48(2): 120-124.

國家自然科學(xué)基金青年項目(11301493)資助

Supported by National Natural Science Foundation of China(11301493)

2015-06-17；

2016-03-16

李長軍(1956-)，男，博士，教授。E-mail：licj@ouc.edu.cn

責(zé)任編輯 陳呈超