■河南省商丘市第一高級(jí)中學(xué)

高考中的立體幾何探索性試題我們一般可以采用綜合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法來(lái)解決。

探索性問題主要是對(duì)平行、垂直關(guān)系的探究,這類試題的一般設(shè)問方式是“是否存在?存在給出證明,不存在說(shuō)明理由”。解決這類試題,一般根據(jù)探索性問題的設(shè)問,首先假設(shè)其存在,然后在這個(gè)假設(shè)下進(jìn)行推理論證,如果通過推理得到了合乎情理的結(jié)論就肯定假設(shè),如果得到了矛盾就否定假設(shè)。

例題如圖1,在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中,∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=2a,點(diǎn)E在PD上,且PE∶ED=2∶1。

(1)證明PA⊥平面ABCD。

(2)求以AC為棱,EAC與DAC為面的二面角的大小。

(3)問:在棱PC上是否存在一點(diǎn)F,使BF∥平面AEC?證明你的結(jié)論。

解析：(1)因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形,∠ABC=60°,所以AB=AD=AC=a,在△PAB中,由PA2+AB2=2a2=PB2,知PA⊥AB,同理PA⊥AD,所以PA⊥平面ABCD。

圖1

(2)作EG∥PA交AD于G,由PA⊥平面ABCD,知EG⊥平面ABCD,作GH⊥AC于H,連接EH,則EH⊥AC,則∠EHG為所求二面角的平面角,設(shè)為θ。又PE∶以θ=30°。

(3)以A為坐標(biāo)原點(diǎn),直線AD,AP分別為y軸,z軸,過A點(diǎn)垂直平面PAD的直線為x軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖2所示。由題設(shè)條件,相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0,0,0),

圖2

解題思路：(1)證明的是線面垂直,只要努力去找直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直即可；(2)按找二面角的方法進(jìn)行；(3)通過建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,給出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),利用坐標(biāo)關(guān)系和向量的相等就可以解決了。

例題追根溯源：如圖1,在底面是菱形的四棱錐P-ABCD 中,∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=2a,點(diǎn)E在PD上,且PE∶ED=λ∶1(λ∈N*)。

(1)證明PA⊥平面ABCD。

(2)在棱PC上是否存在一點(diǎn)F,使BF∥平面AEC?證明你的結(jié)論。

解析：(1)因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形,∠ABC=60°,所以AB=AD=AC=a,在△PAB中,由PA2+AB2=2a2=PB2,知PA⊥AB,同理PA⊥AD,所以PA⊥平面ABCD。

(2)解法一:以A為坐標(biāo)原點(diǎn),直線AD,AP分別為y軸,z軸,過A點(diǎn)垂直平面PAD的直線為x軸,建立空間直角坐標(biāo)系,由題設(shè)條件,相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別

審題方法：F是段線PC上的點(diǎn),一般可,求出t的值,點(diǎn)P是已知的,即可求出點(diǎn)F。

解題思路：通過建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,給出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),令所求直線對(duì)應(yīng)的向量用該平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量表示即可。

解法二:如圖3,在PE上取一點(diǎn)M,使得ME=ED,過 點(diǎn)M 作MF∥EC交PC于點(diǎn)F,連接BD交AC于點(diǎn)O,連接EO,BM。

圖3

在△DBM中,E,O分別是DM,DB的中點(diǎn),所以EO∥BM,即BM∥平面AEC。

審題方法：作出適當(dāng)?shù)妮o助線,利用中位線定理找到平行關(guān)系。

解題思路：從E點(diǎn)出發(fā),在線段PE上找到點(diǎn)M,使得E成為MD的中點(diǎn),連接OE,構(gòu)造△DBM的中位線,下面只需作MF∥EC交PC于點(diǎn)F,這樣點(diǎn)F就被找到了。