張麗

【摘 要】 在單元教學(xué)過(guò)程中，本節(jié)內(nèi)容以“等差數(shù)列前項(xiàng)和公式”為主線(xiàn)，將生活問(wèn)題、數(shù)學(xué)文化融入課堂，適當(dāng)設(shè)計(jì)小組討論和學(xué)生獨(dú)立思考，為學(xué)生創(chuàng)造課堂展示的機(jī)會(huì)、提供發(fā)揮自我能動(dòng)性的平臺(tái)。

【關(guān)鍵詞】單元教學(xué)；等差數(shù)列；前n項(xiàng)和

本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)必修5（人教A版）中第二章第三節(jié)的第一課時(shí)。求數(shù)列前n項(xiàng)和其本質(zhì)是研究如何將很多項(xiàng)的求和表達(dá)式盡可能簡(jiǎn)化為有限項(xiàng)的運(yùn)算形式，通過(guò)對(duì)求和公式的推導(dǎo)可以讓學(xué)生進(jìn)一步掌握從特殊到一般的研究問(wèn)題方法。

一、創(chuàng)設(shè)情境

問(wèn)題：如圖所示，梯形圍擋中堆放了一些木柴，堆放形式如圖所示，請(qǐng)問(wèn)：

①前6層共有多少根木頭？

②前15層共有多少根木頭？

③前50層共有多少根木頭？

每個(gè)問(wèn)題提出后給學(xué)生適當(dāng)?shù)臅r(shí)間進(jìn)行計(jì)算，然后鼓勵(lì)學(xué)生自主發(fā)言，在他們回答結(jié)果的同時(shí)說(shuō)出計(jì)算方式。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)情景的設(shè)置讓學(xué)生感受到：對(duì)于等差數(shù)列，當(dāng)n比較小時(shí)，我們能把幾項(xiàng)和直接計(jì)算出來(lái)，但當(dāng)n比較大時(shí)，我們無(wú)法立即計(jì)算出來(lái)。此時(shí)，我們就需要將n比較大時(shí)的很多項(xiàng)求和形式想辦法轉(zhuǎn)換成有限項(xiàng)的表達(dá)式。

二、探究新知

1.前n項(xiàng)和的定義

一般地，我們稱(chēng)a+a+a…+a為數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和，用S表示，即S=a+a+a…+a。

教師引導(dǎo)學(xué)生分析本節(jié)課所學(xué)知識(shí)的本質(zhì)——怎樣簡(jiǎn)化表達(dá)S，即怎樣將前n項(xiàng)和中很多項(xiàng)的形式轉(zhuǎn)化成有限項(xiàng)的表達(dá)式。聯(lián)系已有知識(shí)和方法，從什么途徑解決這個(gè)問(wèn)題？此時(shí)，老師帶領(lǐng)學(xué)生回顧前面學(xué)習(xí)等差數(shù)列通項(xiàng)公式推導(dǎo)時(shí)所用到的方法，利用前面所學(xué)方法的思路簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程。

2.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式

（1）從代數(shù)角度推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式（倒序相加法）

高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，相傳在高斯10歲那年，他的數(shù)學(xué)老師給全班同學(xué)出了一道題“1+2+3+…+100=？”高斯僅用幾分鐘就把結(jié)果算出來(lái)了，使他的數(shù)學(xué)老師大為折服。

1+2+3+…+100=（1+100）+（2+99）+…+（50+51）=50×（1+100）=5050

由學(xué)生討論其算法的巧妙之處，教師適時(shí)點(diǎn)評(píng)。

那么，對(duì)于一般的等差數(shù)列求前n項(xiàng)和，高斯算法對(duì)我們有什么啟示呢？

設(shè)等差數(shù)列{a}的首項(xiàng)為a，公差為d，S=a+a+…+a由學(xué)生討論，總結(jié)出高斯算法對(duì)一般等差數(shù)列求和的指導(dǎo)意義。

老師給個(gè)提示，請(qǐng)同學(xué)們回憶一下梯形面積公式是如何推導(dǎo)的？小組之間進(jìn)行討論，選小組代表發(fā)表討論結(jié)果。課件演示：如何求以a為上底，b為下底，高為h的梯形面積s的大?。坎⑴溆袌D形。

因此，在求一般等差數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí)，可采用這種“倒置”的思路，讓學(xué)生自己動(dòng)手實(shí)踐。

（2） 從幾何角度推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式（數(shù)形結(jié)合——割補(bǔ)法）

S=a+a+a+…+a。

我們將等差數(shù)列{a}的每一項(xiàng)看作寬度相等高度成等差的小矩形，由等差數(shù)列的性質(zhì)得（a+a）=（a+a）=（a+a）=…=（a+a），即如圖3所示：

由圖形可知S=2S=長(zhǎng)×寬=n·（a+a）

則S=。

同理，S=2S=長(zhǎng)×寬=n[2a+（n-1）d]

=2na+n（n-1）d

即S=na+d。

因此，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式為：S==na+d。

三、例題講解

例1：學(xué)習(xí)了等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，我們就能解決本節(jié)課開(kāi)始時(shí)所提出的問(wèn)題3：前50層共有多少根木頭？

由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式：S=na+d可知當(dāng)a=4，d=1時(shí)，S=4n+=，n=50時(shí)，S==1425。

因此，堆導(dǎo)出第50層時(shí)共有1425根木頭。

四、課堂訓(xùn)練

給學(xué)生時(shí)間獨(dú)立完成課本上的練習(xí)題，再由小組交流，同伴補(bǔ)充，教師點(diǎn)評(píng)。

五、課堂小結(jié)

小組討論，代表發(fā)言，師生補(bǔ)充。

（1）知識(shí)技能方面：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式S==na+d的推導(dǎo)及運(yùn)用；

（2）數(shù)學(xué)思想方法方面：運(yùn)用倒序相加法和數(shù)形結(jié)合法推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式。

六、教學(xué)反思

教學(xué)的重點(diǎn)是探索與發(fā)現(xiàn)公式推導(dǎo)的思路，我們的目標(biāo)主要是讓學(xué)生知道這個(gè)公式的來(lái)龍去脈，以及這個(gè)公式背后隱藏的數(shù)學(xué)思想方法與思維過(guò)程，而并不僅是讓學(xué)生機(jī)械地記住這個(gè)公式。因此，教師需要適時(shí)為學(xué)生搭建“腳手架”，引導(dǎo)學(xué)生回顧梯形面積公式的推導(dǎo)方法，實(shí)現(xiàn)由“高斯算法”到“倒序相加法”的平穩(wěn)過(guò)渡。

等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式是本節(jié)課的教學(xué)主線(xiàn)，生活問(wèn)題和數(shù)學(xué)文化豐富了課堂內(nèi)容，運(yùn)用倒序相加法和割補(bǔ)法來(lái)進(jìn)行公式的推導(dǎo)是本節(jié)課的靈魂所在。因此，將數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程清晰完整地展現(xiàn)在學(xué)生面前顯得尤為重要，我們數(shù)學(xué)教師要努力做一個(gè)講道理的好老師。

【參考文獻(xiàn)】

[1]工敬文.數(shù)列的教學(xué)設(shè)計(jì)研究[D].東北師范大學(xué)，2006

[2]覃倩.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式教學(xué)設(shè)計(jì)及其分析[J].吉林省教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2012.28（310）：29-30