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        單元教學(xué)設(shè)計(jì)之等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式

        2018-12-21 11:17:50張麗
        文理導(dǎo)航 2018年29期

        張麗

        【摘 要】 在單元教學(xué)過(guò)程中,本節(jié)內(nèi)容以“等差數(shù)列前項(xiàng)和公式”為主線(xiàn),將生活問(wèn)題、數(shù)學(xué)文化融入課堂,適當(dāng)設(shè)計(jì)小組討論和學(xué)生獨(dú)立思考,為學(xué)生創(chuàng)造課堂展示的機(jī)會(huì)、提供發(fā)揮自我能動(dòng)性的平臺(tái)。

        【關(guān)鍵詞】單元教學(xué);等差數(shù)列;前n項(xiàng)和

        本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)必修5(人教A版)中第二章第三節(jié)的第一課時(shí)。求數(shù)列前n項(xiàng)和其本質(zhì)是研究如何將很多項(xiàng)的求和表達(dá)式盡可能簡(jiǎn)化為有限項(xiàng)的運(yùn)算形式,通過(guò)對(duì)求和公式的推導(dǎo)可以讓學(xué)生進(jìn)一步掌握從特殊到一般的研究問(wèn)題方法。

        一、創(chuàng)設(shè)情境

        問(wèn)題:如圖所示,梯形圍擋中堆放了一些木柴,堆放形式如圖所示,請(qǐng)問(wèn):

        ①前6層共有多少根木頭?

        ②前15層共有多少根木頭?

        ③前50層共有多少根木頭?

        每個(gè)問(wèn)題提出后給學(xué)生適當(dāng)?shù)臅r(shí)間進(jìn)行計(jì)算,然后鼓勵(lì)學(xué)生自主發(fā)言,在他們回答結(jié)果的同時(shí)說(shuō)出計(jì)算方式。

        設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)情景的設(shè)置讓學(xué)生感受到:對(duì)于等差數(shù)列,當(dāng)n比較小時(shí),我們能把幾項(xiàng)和直接計(jì)算出來(lái),但當(dāng)n比較大時(shí),我們無(wú)法立即計(jì)算出來(lái)。此時(shí),我們就需要將n比較大時(shí)的很多項(xiàng)求和形式想辦法轉(zhuǎn)換成有限項(xiàng)的表達(dá)式。

        二、探究新知

        1.前n項(xiàng)和的定義

        一般地,我們稱(chēng)a+a+a…+a為數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和,用S表示,即S=a+a+a…+a。

        教師引導(dǎo)學(xué)生分析本節(jié)課所學(xué)知識(shí)的本質(zhì)——怎樣簡(jiǎn)化表達(dá)S,即怎樣將前n項(xiàng)和中很多項(xiàng)的形式轉(zhuǎn)化成有限項(xiàng)的表達(dá)式。聯(lián)系已有知識(shí)和方法,從什么途徑解決這個(gè)問(wèn)題?此時(shí),老師帶領(lǐng)學(xué)生回顧前面學(xué)習(xí)等差數(shù)列通項(xiàng)公式推導(dǎo)時(shí)所用到的方法,利用前面所學(xué)方法的思路簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程。

        2.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式

        (1)從代數(shù)角度推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式(倒序相加法)

        高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家,相傳在高斯10歲那年,他的數(shù)學(xué)老師給全班同學(xué)出了一道題“1+2+3+…+100=?”高斯僅用幾分鐘就把結(jié)果算出來(lái)了,使他的數(shù)學(xué)老師大為折服。

        1+2+3+…+100=(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=50×(1+100)=5050

        由學(xué)生討論其算法的巧妙之處,教師適時(shí)點(diǎn)評(píng)。

        那么,對(duì)于一般的等差數(shù)列求前n項(xiàng)和,高斯算法對(duì)我們有什么啟示呢?

        設(shè)等差數(shù)列{a}的首項(xiàng)為a,公差為d,S=a+a+…+a由學(xué)生討論,總結(jié)出高斯算法對(duì)一般等差數(shù)列求和的指導(dǎo)意義。

        老師給個(gè)提示,請(qǐng)同學(xué)們回憶一下梯形面積公式是如何推導(dǎo)的?小組之間進(jìn)行討論,選小組代表發(fā)表討論結(jié)果。課件演示:如何求以a為上底,b為下底,高為h的梯形面積s的大?。坎⑴溆袌D形。

        因此,在求一般等差數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí),可采用這種“倒置”的思路,讓學(xué)生自己動(dòng)手實(shí)踐。

        (2) 從幾何角度推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式(數(shù)形結(jié)合——割補(bǔ)法)

        S=a+a+a+…+a。

        我們將等差數(shù)列{a}的每一項(xiàng)看作寬度相等高度成等差的小矩形,由等差數(shù)列的性質(zhì)得(a+a)=(a+a)=(a+a)=…=(a+a),即如圖3所示:

        由圖形可知S=2S=長(zhǎng)×寬=n·(a+a)

        則S=。

        同理,S=2S=長(zhǎng)×寬=n[2a+(n-1)d]

        =2na+n(n-1)d

        即S=na+d。

        因此,等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式為:S==na+d。

        三、例題講解

        例1:學(xué)習(xí)了等差數(shù)列前項(xiàng)和公式,我們就能解決本節(jié)課開(kāi)始時(shí)所提出的問(wèn)題3:前50層共有多少根木頭?

        由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式:S=na+d可知當(dāng)a=4,d=1時(shí),S=4n+=,n=50時(shí),S==1425。

        因此,堆導(dǎo)出第50層時(shí)共有1425根木頭。

        四、課堂訓(xùn)練

        給學(xué)生時(shí)間獨(dú)立完成課本上的練習(xí)題,再由小組交流,同伴補(bǔ)充,教師點(diǎn)評(píng)。

        五、課堂小結(jié)

        小組討論,代表發(fā)言,師生補(bǔ)充。

        (1)知識(shí)技能方面:等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式S==na+d的推導(dǎo)及運(yùn)用;

        (2)數(shù)學(xué)思想方法方面:運(yùn)用倒序相加法和數(shù)形結(jié)合法推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式。

        六、教學(xué)反思

        教學(xué)的重點(diǎn)是探索與發(fā)現(xiàn)公式推導(dǎo)的思路,我們的目標(biāo)主要是讓學(xué)生知道這個(gè)公式的來(lái)龍去脈,以及這個(gè)公式背后隱藏的數(shù)學(xué)思想方法與思維過(guò)程,而并不僅是讓學(xué)生機(jī)械地記住這個(gè)公式。因此,教師需要適時(shí)為學(xué)生搭建“腳手架”,引導(dǎo)學(xué)生回顧梯形面積公式的推導(dǎo)方法,實(shí)現(xiàn)由“高斯算法”到“倒序相加法”的平穩(wěn)過(guò)渡。

        等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式是本節(jié)課的教學(xué)主線(xiàn),生活問(wèn)題和數(shù)學(xué)文化豐富了課堂內(nèi)容,運(yùn)用倒序相加法和割補(bǔ)法來(lái)進(jìn)行公式的推導(dǎo)是本節(jié)課的靈魂所在。因此,將數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程清晰完整地展現(xiàn)在學(xué)生面前顯得尤為重要,我們數(shù)學(xué)教師要努力做一個(gè)講道理的好老師。

        【參考文獻(xiàn)】

        [1]工敬文.數(shù)列的教學(xué)設(shè)計(jì)研究[D].東北師范大學(xué),2006

        [2]覃倩.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式教學(xué)設(shè)計(jì)及其分析[J].吉林省教育學(xué)院學(xué)報(bào),2012.28(310):29-30

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