金超超， 朱 翔， 李天勻， 方 敏

(1. 華中科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，武漢 430074； 2. 湖北省船舶與海洋工程水動(dòng)力學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430074； 3. 高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海 200240)

充液圓柱殼結(jié)構(gòu)被廣泛地應(yīng)用于石油化工，船舶與海洋工程和土木建筑等工程領(lǐng)域，有大量文獻(xiàn)對(duì)充液圓柱殼的振動(dòng)特性進(jìn)行了研究。Zhang等[1-2]通過波傳播法研究了真空中和充液圓柱殼的自由振動(dòng)特性，并與有限元和邊界元方法的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，驗(yàn)證了其準(zhǔn)確性。劉敬喜等[3]針對(duì)埋地管道研究了充液圓柱殼在彈性介質(zhì)中的軸對(duì)稱自由振動(dòng)特性，其研究表明圓柱殼外圍彈性介質(zhì)會(huì)使得圓柱殼固有頻率提高。Iqbal等[4]采用波傳播法研究了多種邊界條件下功能梯度圓柱殼的耦合振動(dòng)特性。Amabili[5]通過添加虛擬質(zhì)量的方法處理流體和結(jié)構(gòu)的耦合作用，并采用傳遞函數(shù)法研究了圓柱殼的自由振動(dòng)。郭文杰等[6]基于能量泛函變分方法和鏡像原理，提出了有限浸沒深度下圓柱殼振動(dòng)特性的解析方法。受惡劣工作環(huán)境的影響，圓柱殼結(jié)構(gòu)中往往會(huì)產(chǎn)生裂紋等損傷，造成安全隱患。裂紋的存在改變了結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性，可以根據(jù)動(dòng)力學(xué)參數(shù)的改變進(jìn)行裂紋診斷。國內(nèi)外學(xué)者就裂紋結(jié)構(gòu)的振動(dòng)開展了廣泛的研究。由Rice等[7]首先提出的線彈模型已廣泛應(yīng)用于具有表面或內(nèi)部裂紋的板和殼體的振動(dòng)分析。Nikpour[8]用線彈簧模型研究了環(huán)向裂紋對(duì)圓柱殼對(duì)稱振動(dòng)的影響。彭凡等[9]基于鐵木辛柯梁理論，結(jié)合線彈簧模型研究了含裂紋簡支梁橫向振動(dòng)特性，并給出了裂紋位置識(shí)別方法。Zhu等[10-11]結(jié)合線彈簧模型，研究了含裂紋有限大平板和無限長圓柱殼的振動(dòng)功率流特性，并提出了基于功率流的裂紋損傷檢測方法。Yin等[12-13]針對(duì)含環(huán)向表面裂紋圓柱殼的振動(dòng)特性提出了一種求解方法，其分析表明，短殼相比長殼對(duì)環(huán)向裂紋的存在更為敏感。羅志鋼等[14]通過局部加權(quán)殘量法將裂紋以虛擬邊界引入，融入到系統(tǒng)振動(dòng)特征方程中，通過測試固有頻率識(shí)別懸臂梁裂紋深度。對(duì)于工程中應(yīng)用十分廣泛的充液圓柱殼結(jié)構(gòu)，從已經(jīng)發(fā)表的文獻(xiàn)來看，目前尚無其含裂紋損傷情況下振動(dòng)特性的解析研究。

本文針對(duì)含環(huán)向表面裂紋有限長充液圓柱殼的耦合振動(dòng)特性提出了一種解析求解方法。根據(jù)Flügge[15]薄殼理論建立了充液圓柱殼的控制方程。利用線彈簧模型模擬環(huán)向表面裂紋。與文獻(xiàn)和有限元結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，驗(yàn)證了本文方法的準(zhǔn)確性。討論了裂紋參數(shù)對(duì)耦合振動(dòng)特性的影響。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 研究模型

圖1給出了含環(huán)向表面裂紋有限長充液圓柱殼的幾何模型及參數(shù)。殼體材料密度為ρ；楊氏模量E；泊松比為μ；殼體厚度為h；半徑為R；長度為L。所充液體的聲速為Cf；密度為ρf。殼體在柱坐標(biāo)系下x，θ，r方向上的位移分別為u，v，w。裂紋與殼體端部距離為cL；裂紋深度為a。

圖1 含環(huán)向表面裂紋充液圓柱殼模型

1.2 控制方程

根據(jù)Flügge的理論，圓柱殼殼體微元的運(yùn)動(dòng)平衡方程可以表示為

(1)

式中：Pf為作用殼體表面上的流體聲載荷。矩陣[L]3×3的各個(gè)元素如下

理想流體在柱坐標(biāo)系下的Helmholtz波動(dòng)方程為

(2)

基于波傳播法，將殼體中面位移展開成為雙級(jí)數(shù)簡諧波形式為[16]

(3)

式中：ω為圓頻率；n為周向模態(tài)階數(shù)；kns為軸向波數(shù)；s為頻散方程中軸向波數(shù)解的序號(hào);Uns，Vns，Wns分別為軸向、周向和徑向的位移幅值。

對(duì)于聲壓場，滿足Helmholtz波動(dòng)方程的流體聲壓有如下形式的解

(4)

在流體與殼體的接觸面上，流體徑向速度必須等于殼體的徑向速度，即

(5)

將式(3)和式(4)代入式(5)中可以得到對(duì)每一組(n,s)流體的聲壓幅值：

(6)

將式(6)代入式(4)，并將式(4)和式(3)代入式(1)中，便得到充液圓柱殼耦合系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，用矩陣形式表示為

(7)

矩陣[T]3×3的各個(gè)元素如下

T33=-(1+k)-k(λ2-n2)2+2kn2+Ω2+FL

要保證式(7)中Uns，Vns，Wns有非零解，矩陣[T]3×3的行列式為零

|T|=0

(8)

1.3 邊界條件和裂紋位置連續(xù)性條件

幾種典型的邊界條件：

自由端Nx=0,Mx=0,Sx=0,Txθ=0

簡支端v=0,w=0,Nx=0,Mx=0

固支端u=0,v=0,w=0, ?w/?x=0

其中：Nx軸向力；Mx為彎矩；Sx為有效徑向剪力；Txθ為有效周向剪力。

在x=cL處的部分穿透表面裂紋通過線彈簧模型來進(jìn)行模擬。裂紋兩邊應(yīng)滿足內(nèi)力連續(xù)條件，并且考慮由裂紋引起的附加廣義位移

(9)

式中：下標(biāo)l和r分別為裂紋位置的左右兩側(cè)。矩陣H4×4是由裂紋引起的局部柔度矩陣。H4×4中的每個(gè)元素如下

H21=H12;H31=H13;H32=H23;

H14=H24=H34=H41=H42=H43=0

式中：

F1=F4[0.752+1.287α+0.37(1-sinα)3]/cosα

F2=F4[0.923+0.199(1-sinα)4]/cosα

在平面應(yīng)力狀態(tài)下E′=E，平面應(yīng)變狀態(tài)下E′=E/(1-μ2)，k=1+μ

對(duì)于含環(huán)向表面裂紋有限長圓柱殼，需要同時(shí)考慮圓柱殼兩端各4個(gè)邊界條件，裂紋位置4個(gè)內(nèi)力連續(xù)條件，以及裂紋引起的4個(gè)附加廣義位移，寫成關(guān)于徑向幅值系數(shù)W的表達(dá)式，可以描述為以下16×16的矩陣

(10)

式中：W1，W2，…，W8為裂紋左端圓柱殼振動(dòng)的8個(gè)徑向位移幅值系數(shù)，W9，W10，…，W16為裂紋右端圓柱殼振動(dòng)的8個(gè)徑向位移幅值系數(shù)。為了保證這16個(gè)徑向位移幅值系數(shù)有非零解，矩陣[G]16×16的行列式值應(yīng)為零

|G|=0

(11)

2 計(jì)算方法

對(duì)于充液圓柱殼，由于式(7)中的流體載荷項(xiàng)中含有貝塞爾函數(shù)，系統(tǒng)的特征方程是復(fù)平面上的復(fù)數(shù)高階超越方程，不能直接通過常規(guī)的實(shí)數(shù)方程求解方法求解式(8)來得到對(duì)應(yīng)某個(gè)頻率f的在復(fù)平面上的8個(gè)軸向波數(shù)。因此，這里采用一維優(yōu)化迭代的方法。對(duì)于一個(gè)特定的頻率，先計(jì)算出真空中圓柱殼的8個(gè)軸向波數(shù)作為初值，然后逐步將流體載荷項(xiàng)FL加入到控制方程中。以控制方程的特征行列式值作為為目標(biāo)變量，采用割線法可以快速迭代收斂得到充液情況下足夠精確的8個(gè)軸向波數(shù)。由于邊界條件和裂紋位置連續(xù)性條件方程應(yīng)滿足式(11)的條件，為了高效地求解圓柱殼的固有頻率，同樣采用優(yōu)化迭代的方法進(jìn)行處理。計(jì)算方法的基本過程如下：

(1) 通過梁函數(shù)法計(jì)算對(duì)應(yīng)邊界條件下的固有頻率初值；

(2) 設(shè)置流體載荷項(xiàng)為零，F(xiàn)L=0，由式(8)計(jì)算真空中的軸向波數(shù)k作為初值；

(3) 添加流體載荷，F(xiàn)L≠0，以行列式值|T|作為目標(biāo)變量，通過迭代計(jì)算充液情況下的軸向波數(shù)k；

(5) 將軸向波數(shù)k和位移幅值比Φns，Ψns代入式(11)計(jì)算行列式值|G|；

(6) 以|G|作為目標(biāo)變量，采用優(yōu)化迭代算法計(jì)算滿足該邊界條件和裂紋位置連續(xù)性條件的耦合系統(tǒng)固有頻率。

需要注意的是，對(duì)于某一模態(tài)周向波數(shù)n，有多個(gè)固有頻率，分別對(duì)應(yīng)不同階次模態(tài)軸向半波數(shù)m，而且流體載荷的加入會(huì)使得圓柱殼固有頻率有較大的變化，因此在整個(gè)迭代計(jì)算中，流體載荷項(xiàng)需要逐步添加上去以確保最后求得的固有頻率值收斂于所求模態(tài)階次(m，n)真實(shí)對(duì)應(yīng)的結(jié)果。

3 方法驗(yàn)證

本節(jié)對(duì)本文的理論模型和算法進(jìn)行驗(yàn)證。由于查閱文獻(xiàn)尚未見到有關(guān)含環(huán)向裂紋的充液圓柱殼振動(dòng)分析，為此本文對(duì)模型進(jìn)行退化來驗(yàn)證方法的正確性。

首先，將裂紋深度a和流體密度ρf設(shè)置為0，模型退化為真空中完善圓柱殼，取圓柱殼幾何和材料參數(shù)，如表1所示。

表1 圓柱殼參數(shù)

兩端固支情況下本文方法和參考文獻(xiàn)以及有限元前十階固有頻率對(duì)比結(jié)果，如表2所示。由表2可知，本文方法與文獻(xiàn)和FEM方法的結(jié)果誤差非常小，<0.1%。

表2 真空中完善圓柱殼的固有頻率

然后用本文方法來驗(yàn)證真空中含環(huán)向表面裂紋有限長圓柱殼的固有頻率結(jié)果，裂紋參數(shù)為a/h=0.6，c=0.3，圓柱殼其他的物理參數(shù)與以上模型相同，與文獻(xiàn)[13]的對(duì)比結(jié)果，如表3所示。

由表3結(jié)果可知，對(duì)于真空中裂紋圓柱殼模型，本文方法得到的固有頻率和文獻(xiàn)的十分接近，誤差在1%以內(nèi)。需要注意的是，對(duì)于以上研究的殼長比較大，殼厚比較小的圓柱殼，由于前幾階模態(tài)對(duì)應(yīng)于圓柱殼的整體振動(dòng)，局部位置存在裂紋引起的整體剛度減小并不明顯，裂紋引起的固有頻率改變相對(duì)較小。

最后將裂紋深度設(shè)置為0，所充流體的密度和聲速分別為ρf=1 000 kg/m3，Cf=1 500 m/s，其他參數(shù)與前述相同，模型退化為充液完善圓柱殼，計(jì)算前8階固有頻率，并與文獻(xiàn)[2]進(jìn)行對(duì)比結(jié)果，如表4所示。

表3 真空中裂紋圓柱殼的固有頻率

表4 充液完善圓柱殼的固有頻率

由表4可知，對(duì)于充液完善圓柱殼，本文方法得到的固有頻率與文獻(xiàn)[2]吻合較好，誤差大多<1%。比較表4和表2可知，流體載荷的引入會(huì)導(dǎo)致圓柱殼固有頻率明顯地減小。

由以上三個(gè)退化模型的對(duì)比驗(yàn)證可以得出，本文方法處理裂紋圓柱殼和充液圓柱殼的振動(dòng)均和文獻(xiàn)吻合較好，均有較高的精度，是一種精確有效的方法。

4 參數(shù)研究

由前述的研究可以看出，對(duì)于以上討論的圓柱殼模型，裂紋引起的圓柱殼固有頻率改變量相對(duì)較小，因此，以下討論一個(gè)殼長比相對(duì)較小，殼厚比相對(duì)較大的圓柱殼模型(仍滿足薄殼理論應(yīng)用條件)。殼體的幾何和材料參數(shù)，如表5所示。

算例中流體密度ρf=1 000 kg/m3，流體聲速Cf=1 500 m/s，裂紋相對(duì)位置和相對(duì)深度分別為c=0.3，a/h=0.6。兩端固支和兩端簡支邊界條件下充液圓柱殼固有頻率結(jié)果，分別如表6和表7所示。對(duì)應(yīng)(1,4)階模態(tài)沿軸向三個(gè)方向上的模態(tài)振型，分別如圖2和圖3所示。

表5 圓柱殼參數(shù)

表6 裂紋充液圓柱殼的固有頻率(兩端固支)

表7 裂紋充液圓柱殼的固有頻率(兩端簡支)

由以上結(jié)果可知，對(duì)于低階模態(tài)，兩端固支邊界條件下裂紋引起的固有頻率減小大約為4 Hz，整體上兩種邊界條件下都表現(xiàn)出固有頻率改變量隨模態(tài)階次提高而增大的趨勢(shì)。這是由于階次較高的模態(tài)表現(xiàn)出更加明顯的局部振動(dòng)，局部位置存在的裂紋能引起更加明顯的振動(dòng)特性改變。兩端固支邊界條件下裂紋引起模態(tài)振型的改變主要表現(xiàn)為裂紋位置殼體軸向位移上的突變，而兩端簡支邊界情況則主要表現(xiàn)為靠近裂紋端殼體軸向位移幅值的改變。

圖2 (1,4)階模態(tài)振型(兩端固支)

圖3 (1,4)階模態(tài)振型(兩端簡支)

進(jìn)一步研究裂紋深度和裂紋位置改變對(duì)充液圓柱殼固有頻率的影響。對(duì)于(1,4)階模態(tài)，不同裂紋深度下兩端固支和兩端簡支固有頻率結(jié)果，分別如圖4和圖5所示，裂紋相對(duì)位置改變的影響，如圖6和圖7所示。

圖4 裂紋深度改變對(duì)(1,4)階固有頻率的影響(兩端固支)

Fig.4 Natural frequencies of the (1,4) mode for different depths of the crack (C-C)

由以上結(jié)果可知，隨著裂紋深度的增加，充液圓柱殼的固有頻率逐漸減小。這是由于裂紋深度增大導(dǎo)致了圓柱殼整體柔度的增加。由圖6和圖7結(jié)果可知，當(dāng)裂紋的位置更加接近圓柱殼的支撐端時(shí)，固有頻率減小更加明顯。這是由于對(duì)于該階模態(tài)，在上述位置殼體中的內(nèi)力整體較大，裂紋引起的附加廣義位移更加明顯，即裂紋靠近支撐邊界時(shí)，裂紋對(duì)充液圓柱殼的低階固有頻率影響更顯著。

圖5 裂紋深度改變對(duì)(1,4)階固有頻率的影響(兩端簡支)

Fig.5 Natural frequencies of the (1,4) mode for different depths of the crack (SS-SS)

圖6 裂紋位置改變對(duì)(1,4)階固有頻率的影響(兩端固支)

Fig.6 Natural frequencies of the (1,4) mode for different locations of the crack (C-C)

圖7 裂紋位置改變對(duì)(1,4)階固有頻率的影響(兩端簡支)

Fig.7 Natural frequencies of the (1,4) mode for different locations of the crack (SS-SS)

5 結(jié) 論

本文提出了含環(huán)向表面裂紋有限長充液圓柱殼固有頻率的理論計(jì)算方法。建立了耦合系統(tǒng)的控制方程，通過線彈簧模型來模擬環(huán)向裂紋損傷。將本文方法結(jié)果與參考文獻(xiàn)以及有限元的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了本文方法的準(zhǔn)確性。通過改變裂紋參數(shù)，討論發(fā)現(xiàn)裂紋深度的增加會(huì)導(dǎo)致圓柱殼固有頻率進(jìn)一步降低，并且對(duì)于兩端固支和兩端簡支邊界條件，當(dāng)裂紋靠近支撐端時(shí)，含有裂紋充液圓柱殼固有頻率的改變會(huì)更敏感。