仝 博，李永清，朱 錫，張焱冰

(海軍工程大學(xué) 艦船工程系，湖北 武漢 430033)

0 引 言

圓柱殼結(jié)構(gòu)是船舶領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用的一種工程結(jié)構(gòu)形式，許多研究者對其水下振動已做了大量研究。線性范圍內(nèi)，圓柱殼在外力作用下的振動響應(yīng)可看作是其振動模態(tài)的疊加[1]，大多數(shù)值方法均是基于這一思想，比如瑞利-里茲法[2]、傳遞矩陣法[3]、基于模態(tài)疊加的有限元法等。數(shù)值計算追求最小的計算成本達到較高的計算精度。在運用模態(tài)疊加法研究結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)時，模態(tài)階數(shù)的選取決定計算的經(jīng)濟性和準確性。選取的模態(tài)階數(shù)越高，計算結(jié)果越準確，但消耗的計算時長卻越高。當(dāng)模態(tài)數(shù)量大于一定值時計算結(jié)果變化不大，趨于穩(wěn)定，把該值定義為截斷模態(tài)數(shù)。對截

斷模態(tài)數(shù)的研究通常是在理論方法基礎(chǔ)上對數(shù)值計算的相關(guān)參數(shù)的研究。比如王宇等[4]采用Love殼體理論分析了薄壁短圓柱殼在3種邊界條件下的振動位移響應(yīng)，指出截取前八階模態(tài)就可達到相當(dāng)精度。王獻忠等[5]結(jié)合精細積分法和傳遞矩陣法，提出精細傳遞矩陣法法，在對方法有效性驗證的同時開展了模態(tài)收斂性分析。李榆銀等[6]基于NASTRAN軟件對薄壁圓柱殼進行強迫振動分析時對截斷模態(tài)數(shù)進行了靈敏度研究，得到了有效的截斷波數(shù)。

也有學(xué)者專門研究了結(jié)構(gòu)的模態(tài)截斷對結(jié)果的影響。李興泉等[7]基于有限元法對頻率截斷和有效模態(tài)質(zhì)量截斷這2種截斷方法進行對比研究。張淼等[8]針對重頻阻尼系統(tǒng)提出了高精度截模態(tài)算法，并對該算法進行了模態(tài)靈敏度和誤差分析。金國光等[9]對高速凸輪結(jié)構(gòu)進行動力學(xué)分析的同時進行了模態(tài)截斷研究，基于有限元法研究了不同截取階數(shù)對計算精度和計算速度的影響。也有學(xué)者未采用截斷模態(tài)數(shù)確定結(jié)構(gòu)濕表面有限元網(wǎng)格尺度，而是以主模態(tài)分量波長作為參考尺度確定的網(wǎng)格尺度劃分原則[10]。但對于寬頻的振動響應(yīng)計算，主模態(tài)變化較大，仍要以最高頻率確定網(wǎng)格尺度。以上對截斷模態(tài)的研究評判標準大多為單個節(jié)點的位移響應(yīng)或聲壓響應(yīng)，不具有代表性，且研究對象為單一圓柱殼，不具有普適性。

本文基于瑞利-里茲法求解圓柱殼振動方程，研究了35個不同尺度的圓柱殼在環(huán)頻率以下的水下振動響應(yīng)，研究分析了截斷模態(tài)數(shù)隨長徑比和環(huán)頻率的變化關(guān)系，并且對其規(guī)律性進行總結(jié)，通過有限元仿真驗證了其正確性，結(jié)論對于圓柱殼水下振動問題的研究具有重要的參考意義。

1 圓柱殼水下振動方程推導(dǎo)

研究對象為水下有限長薄壁圓柱殼，長度為L，半徑R，厚度為h，h/R≤0.01，材料密度為 ρs，泊松比為μ，模量為E(1+η)， η為損耗因子，本文取0.01。殼體完全浸沒于水中，兩端簡支在無限長剛性圓柱障板上，如圖1所示。本文基于Donnell殼體理論研究圓柱殼徑向激勵下的振動問題，其運動方程為：

其中：位移系數(shù)矩陣各項表達式具體形式可查詢文獻[12]；u，v，w分別為軸向，環(huán)向和徑向位移；Fr為徑向載荷力，作用點位于殼體中部；pr為流體載荷。

圖1 有限長圓柱殼模型Fig.1 Finite cylindrical shell model

為了分離圓柱殼的軸向和環(huán)向振型，采用分離變量法對軸向和環(huán)向位移進行分解，且基于里茲法的思想，位移可假定為一系列模態(tài)振型的線性疊加，其公式如下（忽略時間項eiωt）：

其中：m，n分別為軸向模態(tài)半波數(shù)和環(huán)向模態(tài)波數(shù)，km與邊界條件有關(guān)，對于本文的對稱激勵情況，圓柱殼的振動響應(yīng)僅僅是對稱模態(tài)的疊加，即軸向半波數(shù)m為奇數(shù)的情況，因此將k取為 (2m+1)，m=0，1，m2……。

由模態(tài)展開法可對激勵力和圓柱殼周圍的流體載荷進行分解：

將式（2）和式（3）代入式（1）中，可得

式中， 為機械阻抗，表達式為

ZMmn

求解表面振速，還需要事先求得聲輻射阻抗，求解聲輻射阻抗的方法主要有流固耦合方法和聲固耦合法[13]2種。本文基于聲固耦合法計算Helmholtz方程[14]求解圓柱殼表面聲壓載荷，表達式為：

將式（3）代入上述方程，依據(jù)貝塞爾方程形式求解得聲輻射阻抗為：

此時將式（5）和式（7）代入式（4）便可求得圓柱殼表面振速表達式。

圓柱殼表面均方振速公式為：

其中：

將式（9）代入式（8），依據(jù)余弦函數(shù)的正交性推導(dǎo)可得均方振速為：

表面均方振速級公式：

2 圓柱殼的模態(tài)截斷

在基于模態(tài)疊加法對圓柱殼進行水下振動特性問題研究時發(fā)現(xiàn)，不同尺度的圓柱殼，其截斷模態(tài)數(shù)量不同。因此針對不同尺寸的圓柱殼，根據(jù)上述圓柱殼振動理論方程，基于Mathematica軟件進行編程計算，得到圓柱殼表面均方振速。以表面均方振速級為評判標準，進行軸向半波數(shù)m和環(huán)向波數(shù)n的無關(guān)性研究。

2.1 圓柱殼模型

本文以35個不同尺度的圓柱殼為對象，計算它們在環(huán)頻率以下的水下振動響應(yīng)，研究軸向截斷模態(tài)數(shù)m、環(huán)向截斷模態(tài)數(shù)n隨長徑比L/R和環(huán)頻率fr的變化關(guān)系。圓柱殼模型參數(shù)見表1。其中，環(huán)頻率公式為：

表1 圓柱殼參數(shù)Tab.1 Geometric parameters of cylindrical shells

2.2 截斷模態(tài)研究

在結(jié)構(gòu)的動態(tài)力學(xué)特性計算中，為提高計算效率，在不影響計算精度的情況下，往往選取有限個模態(tài)數(shù)目作為主模態(tài)截斷，進而通過模態(tài)疊加得到結(jié)構(gòu)表面的振動響應(yīng)。本文目標是研究不同尺度的圓柱殼截斷模態(tài)數(shù)的選取規(guī)律，由于計算樣本較多，為提高計算效率，將環(huán)頻率以下的1/3倍頻程中心頻率作為計算頻率點，1/3倍頻程中心頻率計算式為：

以均方振速級為精度判斷指標，具體要求是在環(huán)頻率以下，模態(tài)截斷時的計算結(jié)果與準確解誤差小于1%。理論上，m和n取無窮大時可得到準確解，但在實際計算中難以實現(xiàn)，因此可取一個相對較大的值進行計算作為準確解。以L=1 m，R=1 m圓柱殼為例，經(jīng)計算分析，當(dāng)軸向和環(huán)向截斷模態(tài)數(shù)達到100時，就能得到準確解。圖2和圖3分別反映了該圓柱殼軸向和環(huán)向截斷模態(tài)數(shù)取不同值時均方振速曲線對比。圖中可看出，隨著截斷模態(tài)數(shù)的增加，均方振速級曲線與準確解的吻合頻率區(qū)間不斷擴大，當(dāng)軸向截斷模態(tài)數(shù)m達到8時，當(dāng)環(huán)向截斷模態(tài)數(shù)n達到56時，就與m=n=100時的均方振速級曲線完全吻合，最大誤差低于1%，因此可將m=8，n=56作為該圓柱殼的截斷模態(tài)數(shù)。

圖2 不同軸向截斷模態(tài)數(shù)時均方振速曲線對比（L=R=1 m）Fig.2 Comparison of mean square vibration velocity curves at different axial truncated modes (L=R=1 m)

圖3 不同軸向截斷模態(tài)數(shù)時均方振速曲線對比（L=R=1 m）Fig.3 Comparison of mean square vibration velocity curves at different circumferential truncated modes (L=R=1 m)

對于表1中每個尺寸的圓柱殼都采用上述方法選取截斷模態(tài)，進行大量計算后將結(jié)果進行整理分析，其中專門研究了截斷模態(tài)數(shù)隨環(huán)頻率的變化關(guān)系，如圖4和圖5所示。圖中可看出，長徑比相同的情況下，隨著環(huán)頻率的增大，軸向和環(huán)向截斷模態(tài)數(shù)均呈下降趨勢，且下降趨勢逐漸平緩。對于軸向截斷模態(tài)m，長徑比越大，截斷模態(tài)數(shù)越高；但對于環(huán)向截斷模態(tài)n，不同長徑比圓柱殼其截斷模態(tài)數(shù)隨環(huán)頻率變化曲線趨于重合，說明環(huán)向截斷模態(tài)數(shù)對長徑比變化不敏感，它僅與環(huán)頻率有關(guān)，也就是與圓柱殼的半徑相關(guān)。

圖4 不同長徑比時圓柱殼軸向截斷模態(tài)數(shù)m隨環(huán)頻率變化趨勢對比Fig.4 Change trend of the axial truncated modal number with the ring frequency at different ratios of length to diameter

圖5 不同長徑比圓柱殼環(huán)向截斷模態(tài)數(shù)n隨環(huán)頻率變化趨勢對比Fig.5 Change trend of the circumferential truncated modal number with the ring frequency at different ratios of length to diameter

為研究圓柱殼振動截斷模態(tài)在軸向和環(huán)向的相對關(guān)系，建立關(guān)系式研究 ζ與環(huán)頻率的關(guān)系。簡單推導(dǎo)可得： ，即 ζ代表了軸向波長和r環(huán)向波長的比值。圖6反映了不同尺度的圓柱殼軸向和環(huán)向截斷模態(tài)波長之比。由圖可知，每個圓柱殼截斷模態(tài)對應(yīng)的軸向波長與環(huán)向波長之比大體相同，均在2～2.5之間，平均值為2.14，即在保證圓柱殼環(huán)頻率以下的表面均方振速級最大誤差不超過1%的情況下，截斷模態(tài)滿足軸向波長大約為環(huán)向的2倍。

圖6 軸向和環(huán)向截斷模態(tài)波長比值Fig.6 Wavelength ratios of axial and circumferential truncated modes

3 有限元仿真對比分析

上述對截斷模態(tài)的研究是基于瑞利-里茲法求解圓柱殼振動方程，為驗證理論模型的可靠性和截斷模態(tài)選取規(guī)律的正確性，基于有限元方法進行圓柱殼水下振動特性計算，與理論算法進行對比。

算例對象：圓柱殼材料為鋁，長L為2 m，半徑R為0.8 m，厚度為2 mm，則長徑比L/R為2.5，環(huán)頻率為1 000 Hz。有限元計算采用結(jié)構(gòu)有限元和流體有限元相結(jié)合的方法，基于直接穩(wěn)態(tài)動力學(xué)法，對模型的原始方程直接積分計算。其中，圓柱殼周圍流場域截斷方案已在文獻[15]進行了探討，此處直接取柱形流場域半徑為5R，如圖7所示。

與理論模型不同的是，采用流體有限元法計算圓柱殼水下振動，殼體兩端必須進行封閉處理，為了消除兩端面對殼體振動的影響，端面除了邊緣一圈節(jié)點簡支，其余所有節(jié)點進行固支約束，如圖8所示。

圖8 圓柱殼表面網(wǎng)格及邊界條件Fig.8 Surface meshes and boundary conditions of cylindrical shells

首先基于Mathematica軟件編程計算圓柱殼水下振動固有頻率，并與有限元仿真結(jié)果進行對比。結(jié)果如表2所示。表中可看出，低階模態(tài)計算誤差相比高階模態(tài)低，但最大誤差在6%左右，一致性較好。驗證了理論算法和有限元仿真的準確性。

其次基于Mathematica軟件編程計算圓柱殼水下振動響應(yīng)，依據(jù)圖4和圖5插值可得截斷模態(tài)數(shù)m取20，n取50。求取環(huán)頻率以下的表面均方振速級，與有限元仿真結(jié)果進行對比，結(jié)果如圖9所示。由圖可知，在環(huán)頻率以下，理論方法和有限元仿真計算求得的均方振速曲線吻合較好，驗證了截斷模態(tài)選取的正確性。

4 結(jié) 語

本文基于瑞利-里茲法求解圓柱殼振動方程，研究了35個不同尺度的圓柱殼在環(huán)頻率以下的水下振動響應(yīng)，以表面均方振速為評判標準，研究分析了軸向截斷模態(tài)數(shù)m、環(huán)向截斷模態(tài)數(shù)n隨長徑比和環(huán)頻率的變化關(guān)系，得到了同等精度下的截斷模態(tài)數(shù)，并且對其規(guī)律性進行總結(jié)，得出以下結(jié)論：

1）對于軸向截斷模態(tài)m，其大小與長徑比和環(huán)頻率均相關(guān)。長徑比相同，隨著環(huán)頻率的增大，截斷模態(tài)m逐漸降低，且下降趨勢逐漸平緩；環(huán)頻率相同，長徑比越大，截斷模態(tài)m值越高。

2）對于環(huán)向截斷模態(tài)n，其大小僅與環(huán)頻率相關(guān)。隨著環(huán)頻率的增大，n值逐漸減小。

3）在保證圓柱殼環(huán)頻率以下的表面均方振速級最大誤差不超過1%的情況下，截斷模態(tài)對應(yīng)的軸向波長與環(huán)向波長之比大概滿足2倍的關(guān)系。

表2 圓柱殼固有頻率對比Tab.2 Comparison of natural frequencies of cylindrical shell

圖9 有限元法和理論方法計算均方振速對比Fig.9 Comparison of the mean quadratic velocity calculated by the finite element method and the theoretical method

4）采用理論方法和有限元法計算了圓柱殼的固有頻率和均方振速，通過對比，驗證了理論計算的正確性和截斷模態(tài)選取的合理性。