傅仙發(fā)，陳劍峰，岳金健

(湄洲灣職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，福建莆田 351254)

1 預(yù)備知識

本文研究的食餌帶收獲率參數(shù)的Holling-2型捕食者—食餌模型表示為：

(1)

其中，β,γ,δ都是正常數(shù)；正參數(shù)h表示收獲率[1].

系統(tǒng)(1)的第一Lyapunov系數(shù)表達式為：

(2)

其條件表達式為[2]：

(3)

考慮以下臨界參數(shù)系統(tǒng)：

(4)

其中，n≥2,m≥2[3].

由(2)和(3)可知，系統(tǒng)(1)可能經(jīng)歷Generalized Hopf分岔，即Bautin分岔.為了分析系統(tǒng)(1)發(fā)生余維2分岔現(xiàn)象的條件，必須先計算第二Lyapunov系數(shù).于是在臨界參數(shù)系統(tǒng)(4)限制到余維2的中心流形是局部光滑軌道，其一維標(biāo)準(zhǔn)型可表示為：

(5)

2 第二Lyapunov系數(shù)

系統(tǒng)(5)中的系數(shù)a5的計算公式如下：

h30=(3i?0I2-A)-1(C(q,q,q)+3B(q,h20)).

a5的展開式為：

由Maple軟件計算，可得：

現(xiàn)在進行如下替換：

又可得：

令

最后可得[5]：

(6)

3 Bautin分岔曲面

當(dāng)(γ,δ)∈V1時，如果選擇兩個適當(dāng)?shù)膮?shù)作為分岔參數(shù)，并且在臨界參數(shù)β=1，h=h1=2/((δ/γ)-1)3附近給予擾動β=1+ε1,h=h1+ε2，則擾動系統(tǒng)局部軌道等價于系統(tǒng)：

其中，v屬于如下集合：

如果轉(zhuǎn)化(ε1,ε2)→(v1,v2)正則，即

那么，就會發(fā)生Bautin分岔[5,7].

因此，集合Bau是系統(tǒng)(1)的余維2 Bautin分岔曲面.

4 結(jié)語

本文通過計算第二Lyapunov系數(shù)，討論分析了食餌帶收獲率參數(shù)的Holling-2型捕食者—食餌模型發(fā)生余維2分岔現(xiàn)象的Bautin分岔產(chǎn)生的條件，得出了對應(yīng)的余維2 Bautin分岔曲面.