卞鴻巍，林秀秀，王榮穎，馬 恒

（海軍工程大學 電氣工程學院，湖北 410033）

隨著極區(qū)冰雪消融速度加快，極區(qū)戰(zhàn)略地位提高，極區(qū)導(dǎo)航成為國內(nèi)導(dǎo)航領(lǐng)域研究熱點，與傳統(tǒng)中低緯度導(dǎo)航不同，極區(qū)導(dǎo)航主要面臨傳統(tǒng)時空基準定義失效、墨卡托海圖投影不再適用、慣導(dǎo)裝備高緯度指向能力下降以及計算溢出等一系列問題[1]。極區(qū)導(dǎo)航坐標系是解決極區(qū)導(dǎo)航的基礎(chǔ)。1995年，文獻[2]提出橫向坐標系解決了極點處慣導(dǎo)解算計算奇異的問題。文獻[3-4]沿用橫向坐標系的概念并在不考慮地理坐標系的情況下完成捷聯(lián)慣導(dǎo)在橫向坐標系下的導(dǎo)航編排方案。文獻[5-6]等在地球模型為橢球模型情況下設(shè)計并提出了將橫向地理坐標系作為導(dǎo)航參考坐標系的慣性導(dǎo)航力學編排。但是橫向坐標系的提出主要針對極區(qū)慣導(dǎo)解算領(lǐng)域。針對極區(qū)航海需求，文獻[7]提出格網(wǎng)坐標系以解決經(jīng)線收斂造成傳統(tǒng)航向參考線極區(qū)不可用問題。在實際極區(qū)應(yīng)用中，慣導(dǎo)基于橫向坐標系的解算得到的極區(qū)導(dǎo)航參數(shù)還需要同其他航海導(dǎo)航用戶設(shè)備進行統(tǒng)一與轉(zhuǎn)換。隨著極區(qū)坐標系研究的深入，出現(xiàn)了多種不同橫向坐標系和格網(wǎng)坐標系的定義形式，如文獻[8-9]。不同投影方式的海圖及格網(wǎng)航向基準也有多種格網(wǎng)坐標系的定義方式，如格林尼治格網(wǎng)坐標系、圖幅中央經(jīng)線格網(wǎng)坐標系、沿大圓航線格網(wǎng)坐標系等。極區(qū)坐標系產(chǎn)生和應(yīng)用領(lǐng)域、定義方式和命名方式不統(tǒng)一增加了極區(qū)導(dǎo)航參數(shù)轉(zhuǎn)換的復(fù)雜性，不同坐標系在不同領(lǐng)域的應(yīng)用，導(dǎo)致導(dǎo)航系統(tǒng)間信息交聯(lián)困難。

針對上述問題，本文定義了一種新的統(tǒng)一極區(qū)坐標系，該坐標系在極區(qū)實現(xiàn)了橫向地理坐標系和格林尼治格網(wǎng)坐標系的統(tǒng)一，并將其統(tǒng)稱為統(tǒng)一橫向坐標系。在此基礎(chǔ)上，推算出基于CGCS2000地球橢球模型的捷聯(lián)慣導(dǎo)統(tǒng)一橫向坐標系導(dǎo)航算法，解決了基于統(tǒng)一橫向坐標系的橢球模型橫向經(jīng)緯線不正交的問題，以滿足慣導(dǎo)新統(tǒng)一橫向坐標系的使用需求，文章最后對上述理論和算法性能進行了仿真驗證。

1 基于橢球模型統(tǒng)一橫向坐標系定義

由于地球球體近似模型存在幾何誤差，難以滿足高精度長航時導(dǎo)航的需求，需要對高精度導(dǎo)航使用的橢球體近似模型進行設(shè)計[6,10]。

統(tǒng)一橫向坐標系的定義包含橫向地球坐標系和橫向地理坐標系的定義兩部分。如圖1所示，與其他文獻[3-6]定義不同，橫向地球坐標系Oxeyeze由傳統(tǒng)地球坐標系Oxeyeze繞Oye軸僅需旋轉(zhuǎn)?90°可得。根據(jù)橫向地球坐標系定義可得到橫向經(jīng)緯網(wǎng)，即橫向北極點為赤道和 180°經(jīng)線的交點，橫向赤道則由 90°W 和 90°E經(jīng)線構(gòu)成，橫向本初子午線由180°經(jīng)線北半球部分和0°經(jīng)線構(gòu)成。橢球面上任意一點的橫向緯度φ為地球橢球外法線與橫向赤道平面的夾角，橢球面上任意一點的橫向經(jīng)度為過該點的外法線矢量在橫向赤道平面上的投影與Oxe軸矢量的夾角，傳統(tǒng)等緯度圈為圓，但等橫向緯度圈為不規(guī)則曲線，在示意圖中不易表示，故定義一個平行于橫向赤道面的平面切割地球形成的橢圓為等橫向輔助緯度圈，圖1中給出的橫向緯度圈為橫向輔助緯度圈，其上的點的橫向緯度并不相等。

根據(jù)定義，等橫向經(jīng)線圈的切線矢量 T1、等橫向緯線圈的切線矢量 T2以及等橫向輔助緯線圈的切線矢量 T3如式(1)所示，并根據(jù)切線矢量推導(dǎo)出其關(guān)系式，如式(2)所示。

其中，a為地球橢球體長半徑，e為地球橢球體第一偏心率。

圖1 橫向地球坐標系和橫向地理坐標系Fig.1 Transverse earth coordinate system and transverse geographical coordinate system

由此可以看出橫向經(jīng)線與橫向緯線、橫向經(jīng)線與橫向輔助緯線均不正交。在慣導(dǎo)解算中橫向緯線主要為橫向東提供基準，故在慣導(dǎo)解算中仍使用橫向緯度。橫向地理坐標系定義如下：軸與橫向經(jīng)度圈相切，指向為橫向北，軸為當?shù)卮咕€，指向為天向，軸由右手定則確定，指向為橫向東。定義橫向北與航向線的夾角為橫向航向。定義航速在橫向東向上的分量為橫東向速度，在橫向北向上的分量為橫北向速度。

根據(jù)以上統(tǒng)一橫向坐標系的定義，通過幾何關(guān)系，可以得到橫向經(jīng)緯度與橫向地球坐標系的變換關(guān)系式如下：

又因為，根據(jù)橫向地球坐標系定義過程，可得到橫向地球坐標系與地球坐標系的關(guān)系為式：

結(jié)合式(3)～(5)可推導(dǎo)出橫向經(jīng)緯度與地理經(jīng)緯度的轉(zhuǎn)換關(guān)系：

本文給出的與橫向坐標系統(tǒng)一的格網(wǎng)坐標系本質(zhì)上是一種地理坐標系，其與極區(qū)橫向墨卡托海圖格林尼治格網(wǎng)坐標系在極區(qū)范圍內(nèi)近似一致。其北向定義為平行于格林尼治子午面的格網(wǎng)平面與當?shù)厮矫娴慕痪€[11-12]。由統(tǒng)一橫向坐標系定義可知，橫向地理坐標系北向相切于橫向子午圈，且北極地區(qū)在統(tǒng)一橫向坐標系的橫向赤道與橫向本初子午線相交的區(qū)域。在極區(qū)范圍內(nèi)，橫向子午圈的切線近似平行，由此定義的格網(wǎng)北與橫向北已完全一致，兩個坐標系天向一致。故在極區(qū)，橫向地理坐標系與定義的格林尼治格網(wǎng)坐標系實現(xiàn)統(tǒng)一。在此基礎(chǔ)上，再結(jié)合統(tǒng)一橫向坐標系的慣導(dǎo)編排即可為解決北極地區(qū)定位和定向上的問題提供理論基礎(chǔ)。

2 基于橢球模型的統(tǒng)一橫向坐標系慣導(dǎo)編排

2.1 坐標系旋轉(zhuǎn)特性

在基于捷聯(lián)慣導(dǎo)的編排中，需要分別給出橫向姿態(tài)解算、橫向速度解算以及位置解算微分方程，故在推導(dǎo)編排前，先根據(jù)統(tǒng)一橫向坐標系的定義過程，寫出坐標系旋轉(zhuǎn)特性。包括：從地球坐標系旋轉(zhuǎn)到橫向地球坐標系的姿態(tài)矩陣、從地球坐標系旋轉(zhuǎn)到橫向地理坐標系的姿態(tài)矩陣以及從載體坐標系旋轉(zhuǎn)到橫向地理坐標系的姿態(tài)矩陣[13]。

從橫向地球坐標系的定義中，可以看出，從地球坐標系旋轉(zhuǎn)到橫向地球坐標系僅需要進行一次旋轉(zhuǎn)操作，旋轉(zhuǎn)過程可以表示為：

進一步可以寫出從地球坐標系旋轉(zhuǎn)到橫向地球坐標系的姿態(tài)矩陣為：

同理于地球坐標系旋轉(zhuǎn)到地理坐標系的姿態(tài)矩陣，可得橫向地球坐標系旋轉(zhuǎn)到橫向地理坐標系姿態(tài)矩陣為：

結(jié)合式(8)和式(9)可得從地球坐標系旋轉(zhuǎn)到橫向地理坐標系的姿態(tài)矩陣為：

圖2 橫向地理坐標系與載體坐標系的旋轉(zhuǎn)關(guān)系Fig.2 Rotation relationship between transverse geographical coordinate system and carrier coordinate system

橫向地理坐標系可以經(jīng)過三次姿態(tài)角的旋轉(zhuǎn)得到載體坐標系，圖2給出了橫向地理坐標系與載體坐標系的旋轉(zhuǎn)關(guān)系，載體的橫航向角為，橫縱搖角為，橫橫搖角為。即：

由坐標系X1-Y1-Z1繞X1軸旋轉(zhuǎn)的姿態(tài)矩陣為：

由坐標系X2-Y2-Z2繞 Y2軸旋轉(zhuǎn)γ的姿態(tài)矩陣為：

綜上，結(jié)合式(12)～(14)可得載體坐標系旋轉(zhuǎn)到橫向地理坐標系的姿態(tài)矩陣為：

在推導(dǎo)出坐標系旋轉(zhuǎn)特性的基礎(chǔ)上，可以進一步推導(dǎo)基于橢球模型統(tǒng)一橫向坐標系的慣導(dǎo)編排。由于基于橢球模型統(tǒng)一橫向坐標系按照傳統(tǒng)經(jīng)緯線定義方法定義的橫向經(jīng)緯線不再互相正交，致使基于橫向經(jīng)緯線的慣導(dǎo)編排復(fù)雜性增加，為解決這個問題提出以下基于橢球模型慣導(dǎo)編排。

2.2 位置微分方程

載體運動會引起位置的變化，載體的運動速度可以分解為東向和北向兩個方向速度，在統(tǒng)一橫向坐標系中，載體速度分解為橫東向速度和橫北向速度。

結(jié)合式(3)和式(9)可求得：

其中，

結(jié)合式(3)和式(9)可求得：

其中，

綜合式(15)(17)可得載體運動引起位置變化為：

2.3 速度微分方程

同理，可以得到橫向緯度變化率 在e系下的投影的單位矢量為q，且存在：

橫向地理坐標系相對于地球坐標系的旋轉(zhuǎn)角速度在地球坐標系上的投影與橫向經(jīng)緯度變化率及其在e系下的單位矢量相關(guān)，其具體關(guān)系如下所示：

由前面推導(dǎo)的各個參數(shù)可以進一步給出速度微分方程的表達形式：

其中，

2.4 姿態(tài)微分方程

統(tǒng)一橫向坐標系中姿態(tài)的更新由姿態(tài)微分方程確定：

3 仿真分析

由于實際極區(qū)試驗開展困難，為驗證基于統(tǒng)一橫向坐標系的極區(qū)地球橢球模型導(dǎo)航方法的正確性和可行性。本文首先基于60°N附近中高緯度海域?qū)嵈钶d的激光慣導(dǎo)的IMU實測數(shù)據(jù)，對比傳統(tǒng)地理坐標系編排解算結(jié)果與本文提出的統(tǒng)一橫向坐標系編排解算結(jié)果，驗證編排的正確性。然后在極區(qū)對統(tǒng)一橫向坐標系編排進行仿真，驗證編排的適用性。

3.1 中高緯度導(dǎo)航實測數(shù)據(jù)解算結(jié)果對比分析

中高緯度地區(qū)采用北緯60°附近海域24 h激光慣導(dǎo) IMU實船試驗數(shù)據(jù)，選取的數(shù)據(jù)初始位置為（56.92°N, 19.43°E），初始北向速度為 20.17 m/s，初始東向速度為4.68 m/s，初始航向角為18.66°，初始橫搖角為 0.24°，初始縱搖角為 0.96°。分別基于傳統(tǒng)地理坐標系編排與基于統(tǒng)一橫向坐標系編排進行慣導(dǎo)解算，其結(jié)算差結(jié)果見圖3。

仿真結(jié)果為兩種慣導(dǎo)編排的解算差，其誤差特性與單一慣導(dǎo)編排誤差特性不完全相同。通過比較兩種編排結(jié)果數(shù)值大小的相近程度驗證統(tǒng)一坐標系編排的正確性。仿真結(jié)果誤差的均值和方差統(tǒng)計結(jié)果如表1所示。

圖3 中高緯度統(tǒng)一橫向坐標系編排與傳統(tǒng)地理坐標系編排解算差仿真結(jié)果Fig.3 The difference of solution between the unified transverse coordinate system and the traditional geographic coordinate system in mid-high latitude area

表1 中高緯度仿真結(jié)果統(tǒng)計值Tab.1 Statistics of simulation results in mid-high latitude area

結(jié)合以上結(jié)果可知，中高緯度統(tǒng)一橫向坐標系解算性能與傳統(tǒng)地理坐標系解算性能整體趨勢一致，兩者解算差值在可接受范圍，即統(tǒng)一橫向坐標系編排與傳統(tǒng)地理坐標系編排同樣適用于中高緯度地區(qū)。以此可驗證統(tǒng)一橫向坐標系的導(dǎo)航編排的正確性。

3.2 極區(qū)導(dǎo)航仿真結(jié)果對比分析

假設(shè)載體初始地理位置為(88°N, 125°E)，航行速度為 15 m/s，航向角為 0°，橫搖角設(shè)置為 0.3°sin(πt/4)，縱搖角設(shè)置為0.3°sin(πt/4)，仿真周期為48 h。在軌跡發(fā)生器中將三個陀螺的常值漂移為 0.001 (°)/h，隨機白噪聲標準差為0.001 (°)/h，三個加速度計零偏為10-5g，隨機白噪聲標準差為10-5g。仿真結(jié)果如圖4所示。

根據(jù)圖4極區(qū)統(tǒng)一橫向坐標系編排結(jié)果，可直觀得到其極區(qū)性能：1）緯度誤差、經(jīng)度誤差在 2000 m以內(nèi)；2）東向速度、北向速度誤差不超過2 m/s；3）橫、縱搖誤差不超過1′，航向誤差不超過3′。

由此可知，在極區(qū)通過仿真所得誤差結(jié)果 48 h內(nèi)各項誤差符合慣性元器件引起的系統(tǒng)誤差發(fā)散規(guī)律，滿足極區(qū)導(dǎo)航的要求，可驗證統(tǒng)一橫向坐標系的導(dǎo)航編排在極區(qū)的適用性。

圖4 極區(qū)統(tǒng)一橫向坐標系編排仿真結(jié)果Fig.4 Simulation results of the unified transverse coordinate system in polar region

4 結(jié) 論

本文提出了一種基于橢球統(tǒng)一橫向坐標系導(dǎo)航方法，采用與格林尼治格網(wǎng)坐標系統(tǒng)一的橫向坐標系的定義，實現(xiàn)了橫向坐標系和格網(wǎng)坐標系兩類極區(qū)導(dǎo)航坐標系的統(tǒng)一，同時也可實現(xiàn)與橫向墨卡托海圖格網(wǎng)坐標系的極區(qū)應(yīng)用的統(tǒng)一。這一坐標系可使不同導(dǎo)航系統(tǒng)間參數(shù)轉(zhuǎn)換更加便捷，為極區(qū)多種導(dǎo)航系統(tǒng)坐標系和坐標參數(shù)的統(tǒng)一提供理論基礎(chǔ)。通過解決新統(tǒng)一橫向坐標系基于地球橢球模型下的橫向經(jīng)緯線不正交的問題，推導(dǎo)出極區(qū)慣導(dǎo)算法編排。并通過中高緯度地區(qū)慣導(dǎo)實測數(shù)據(jù)和極區(qū)仿真數(shù)據(jù)驗證了新統(tǒng)一橫向坐標系下的極區(qū)慣導(dǎo)算法的有效性和適用性，可為慣導(dǎo)極區(qū)導(dǎo)航控制方法提供參考。