張 寧，劉友文

（1.閩江學(xué)院 物理學(xué)與電子信息工程學(xué)院，福州 350108；2.閩江學(xué)院 海洋學(xué)院，福州 350108）

微機電系統(tǒng)（Micro-Electro-Mechanical System，MEMS）陀螺具有成本低、重量輕、體積小等顯著優(yōu)點，在目前的低成本慣性導(dǎo)航系統(tǒng)中得到了非常廣泛的應(yīng)用。但MEMS陀螺與傳統(tǒng)陀螺相比較，其精度要偏低，主要原因在于其輸出的信號中含有較大的隨機漂移誤差[1]?？紤]到MEMS陀螺的隨機漂移具有非平穩(wěn)性、弱非線性的特點，需要對其進行去噪處理。當(dāng)前，對其進行去噪的常用方法有 Kalman濾波法和小波分析法。但 Kalman濾波法會存在由于誤差模型建立不準(zhǔn)確而導(dǎo)致出現(xiàn)濾波發(fā)散的現(xiàn)象[2]；小波分析法在 MEMS陀螺信號去噪中已經(jīng)取得了較多的成功應(yīng)用[3-5]，但該方法需提前設(shè)置小波基函數(shù)和分解級數(shù)，在濾波去噪過程中并不具有自適應(yīng)性。

近年來，一種自適應(yīng)信號處理方法——經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解（Empirical Mode Decomposition, EMD）被廣泛研究，并在MEMS陀螺信號去噪中得到了一定的應(yīng)用[6-8]。但EMD方法本身存在有易產(chǎn)生模態(tài)混疊現(xiàn)象的缺點。為此，Wu通過添加輔助噪聲，提出一種集成經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解（Ensemble Empirical Mode Decomposition，EEMD）方法以消除模態(tài)混疊問題[9]；但EEMD方法也存在著在信號分解過程中沒有完全消除白噪聲、重構(gòu)信號時誤差較大的缺點。Yeh等人通過采用正、負成對的形式加入輔助噪聲，提出了一種互補集成經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解（Complementary EEMD, CEEMD）方法，以消去重構(gòu)信號中的殘余輔助噪聲并降低模態(tài)混疊的影響。該方法在MEMS陀螺信號去噪中也得到了應(yīng)用[11]。但CEEMD方法不能解決在添加不同噪聲時可能分解出不同數(shù)量模態(tài)的問題。就此，Torres等人提出了完備集成經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解（Complete Ensemble Empirical Mode Decomposition with Adaptive Noise, CEEMDAN）方法[12]，該方法通過附加自適應(yīng)白噪聲，不僅能減輕模態(tài)混疊現(xiàn)象，而且可以精確重構(gòu)原始信號。

鑒于 CEEMDAN方法在信號自適應(yīng)分解中的優(yōu)勢，本文考慮將其應(yīng)用到MEMS陀螺信號去噪中來。目前使用EMD方法進行MEMS陀螺信號去噪時，主要采用兩種方式：一是將其分解后的前幾階高頻固有模態(tài)函數(shù)（Instrinsic mode function, IMF）分量認定為噪聲分量，直接去除后進行信號重構(gòu)，這屬于強制去噪方法；二是對高頻IMF噪聲分量進行閾值處理，并進而與剩余有效IMF分量重構(gòu)以獲得去噪后信號。一般來說第二種去噪方式更加合理，因為高頻噪聲分量也可能包含有效成分，其閾值處理方式借鑒采用的是小波軟、硬閾值函數(shù)。但采用硬閾值函數(shù)處理方式會使得重構(gòu)信號產(chǎn)生振蕩；而采用軟閾值函數(shù)處理方式雖然信號連續(xù)性較好，但其影響了重構(gòu)精度[4]。

本文中，為了對MEMS陀螺輸出信號進行去噪，首先使用CEEMDAN方法對其進行有效完備的分解，并判斷出噪聲IMF分量與有效IMF分量間的界限；在此基礎(chǔ)上，綜合軟、硬閾值函數(shù)的優(yōu)缺點，提出了一種改進的閾值處理函數(shù)，并借鑒 EMD閾值設(shè)置的方法對分解后的含噪IMF分量進行閾值濾波處理；將閾值濾波處理后的分量與有效IMF分量進行信號重構(gòu)即可獲得去噪后信號。

1 CEEMDAN的基本原理

CEEMDAN方法是以EEMD方法為理論基礎(chǔ)，通過對每一階分解后的IMF分量添加自適應(yīng)的白噪聲信號，并計算唯一的殘差信號以獲取固有模態(tài)函數(shù)。其算法流程為：

則第一個殘余分量為：

② 定義算子 Ej(·)為信號通過 EMD分解后得到的第j個模態(tài)函數(shù)。對信號繼續(xù)進行I次重復(fù)分解，可得到第二個IMF分量為：

③ 對于 k = 2,…,K，計算k階殘余分量為：

⑤ 重復(fù)執(zhí)行步驟③和④，直到殘余信號不可再繼續(xù)被分解為止，最終可得到K個模態(tài)函數(shù)分量，其最終殘差分量為：

式(6)原始信號x(t)可以被表示為：

從上述 CEEMDAN方法的原理可以看出，CEEMDAN充分利用了EEMD噪聲輔助分析的特點，可對原始信號進行精確完整的重構(gòu)。并通過在每個階段調(diào)整噪聲系數(shù)εi可以選擇不同信噪比的噪聲。

2 CEEMDAN改進閾值濾波去噪模型

2.1 小波閾值函數(shù)分析

對分解后的IMF分量使用閾值去噪處理，常采用的是小波閾值函數(shù)，有兩種形式：

① 硬閾值函數(shù)：

② 軟閾值函數(shù)：

2.2 改進閾值函數(shù)

綜合上述軟、硬閾值函數(shù)的優(yōu)缺點，并根據(jù)文獻[13]半軟閾值的思想，本文提出以下改進閾值函數(shù)，以適用于CEEMDAN分解后的IMF分量閾值處理：

為此，本文所提改進閾值函數(shù)在對軟、硬閾值進行線性組合的同時，又加入了這一項，充分考慮到在IMF分量較小時，能保留其中的有效成分。

圖1給出了采用三種閾值函數(shù)對IMF分量處理后的結(jié)果對比示意圖，其中IMF分量取值為 -1︰0 .01︰1，閾值Ti設(shè)置為0.3，α設(shè)置為0.4。

圖1 三種閾值函數(shù)對比圖Fig.1 Comparison on three threshold functions

從圖1可以看出，改進的閾值函數(shù)不僅對硬閾值和軟閾值進行了折衷處理，并在IMF分量取值較小時保留了其有效成分，而且具有較好的連續(xù)性。

2.3 基于CEEMDAN改進閾值函數(shù)的濾波去噪流程

在采用 CEEMDAN方法對陀螺輸出信號進行有效分解的基礎(chǔ)上，本文采用相關(guān)系數(shù)法[14-15]判斷出噪聲分量層數(shù)；進而對含噪IMF分量設(shè)置相應(yīng)閾值，并對其使用改進閾值函數(shù)進行濾波去噪處理；最后將濾波后的含噪IMF分量與有效IMF分量進行重構(gòu)以獲得去噪后信號。其具體去噪流程如下：

① 對原始陀螺輸出信號x(t)使用CEEMDAN進行分解，分解后得到K個固有模態(tài)函數(shù)分量IMF和一個殘差分量R(t)；

② 計算各個IMF分量與x(t)的一系列相關(guān)系數(shù)，當(dāng)相關(guān)系數(shù)首次出現(xiàn)局部極小值時，則判定該IMF分量為噪聲分量與有效分量的界限，記其為第K1個IMF分量[14-15]；

③ 對前K1個IMF分量使用式(10)所示的改進閾值函數(shù)進行濾波處理。閾值確定的方法采用 EMD方法中的閾值計算模型[16]：

其中，C為一常數(shù)，在本文中取值為 0.3；N為信號長度； Ei為第i階IMF對應(yīng)的能量，其值可以使用下列公式進行估計。

此處 E1為第一階IMF對應(yīng)的信號能量，采用如下公式進行計算：

④ 將閾值濾波后的含噪IMF分量與有效IMF分量進行重構(gòu)，獲得去噪后的信號為：

2.4 去噪效果評價指標(biāo)

本文采用兩種評價指標(biāo)對陀螺信號的去噪效果進行評價：

① 信噪比：

② 均方根誤差：

3 實例分析

實驗中采用MPU6050型MEMS慣組進行數(shù)據(jù)采集，該設(shè)備包括有三軸陀螺儀和三軸加速度計。本文以X軸陀螺儀數(shù)據(jù)為例，以100 Hz的采樣頻率采集了一組6 min的靜態(tài)實驗輸出數(shù)據(jù)作為陀螺儀隨機漂移時間序列，其數(shù)據(jù)長度為36 000，如圖2所示。

圖2 陀螺漂移實驗數(shù)據(jù)Fig.2 Experimental data of gyro drift

使用CEEMDAN方法對實驗數(shù)據(jù)進行分解，其中噪聲標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)為0.2，集成平均次數(shù)設(shè)為100[12]。經(jīng)分解后可以得到15個IMF分量與1個殘余分量。為了說明CEEMDAN方法在信號重構(gòu)中的優(yōu)越性，另外使用EMD、EEMD、CEEMD三種方法對實驗數(shù)據(jù)進行了分解。對各種方法分解后的分量加以重構(gòu)，與原實驗數(shù)據(jù)對比以計算重構(gòu)誤差，結(jié)果如圖3所示。四種信號分解方法的重構(gòu)精度，如表1所示。

圖3 四種方法的重構(gòu)誤差Fig.3 Reconstruction errors of three methods

表1 信號重構(gòu)誤差精度Tab.1 Accuracy of signal reconstruction error

從圖3可看出，EMD方法、CEEMD方法、CEEMDAN方法的重構(gòu)誤差數(shù)量級為 10-17，可以忽略不計，而EEMD方法的重構(gòu)誤差相對較大。從表1可以看出，CEEMDAN的重構(gòu)精度最優(yōu)，表明其具備了完備重構(gòu)信號的性能，在信號分解中具有明顯的優(yōu)越性。

為了對實驗數(shù)據(jù)進行去噪處理，計算分解后的所有IMF分量（包括殘余分量）與原始實驗數(shù)據(jù)間的相關(guān)系數(shù)，如圖4所示。

圖4 各個IMF分量與原實驗數(shù)據(jù)間的相關(guān)系數(shù)Fig.4 Correlation coefficient of each IMF and original experimental data

從圖4中可以看出，在第11個IMF分量處首次明顯出現(xiàn)局部極小值，所以判定前11個IMF分量為噪聲分量。為了使用改進閾值函數(shù)對CEEMDAN分解后的含噪IMF分量進行濾波處理，需合理給定式(10)中α的取值。為此，對α從0開始按照步長為0.05循環(huán)計算使用改進閾值去噪后的信噪比，繪制曲線如圖5所示?？梢钥闯?，α取值為0.5時信噪比最佳。

圖5 改進閾值函數(shù)參數(shù)與去噪后信噪比的關(guān)系Fig.5 Relationship between improved threshold function parameter and SNR after de-noising

為了與本文方法的去噪效果進行對比，本文還對實驗數(shù)據(jù)分別使用了小波分析、EMD、EEMD、CEEMDAN和CEEMD閾值濾波方法進行去噪處理。其中EMD、EEMD、CEEMDAN使用的是強制去噪處理，即使用相關(guān)系數(shù)法在判斷出噪聲層數(shù)后，直接舍去噪聲分量進行重構(gòu)以獲得去噪后信號；小波分析法使用的是軟閾值處理方式，設(shè)置的小波基函數(shù)和分解級數(shù)分別為sym 3和7；CEEMD閾值濾波方法采用文獻[11]所示方法，其中隨機噪聲參數(shù)H設(shè)置為0.7。去噪后的評價指標(biāo)對比如表2所示。

從表2中可以看出，本文所提出的CEEMDAN改進閾值濾波方法在去噪后其信噪比明顯最大，同時其均方根誤差明顯最小，表明該去噪方法最優(yōu)；而在強制去噪方法中，CEEMDAN方法也要優(yōu)于EEMD和EMD方法，表明了其具有更好的信噪分離效果；CEEMD閾值濾波方法的去噪效果也要明顯劣于本文方法；而在本文的小波參數(shù)設(shè)置下，小波分析法去噪效果最差。本文方法相對于其余五種去噪方法，其信噪比普遍提高了至少約3.9 dB，均方根誤差普遍降低了至少約36%。

表2 各種方法的去噪評價指標(biāo)對比Tab.2 Comparison of de-noising evaluation indexes of various methods

為了對比軟、硬閾值函數(shù)與本文所提改進閾值函數(shù)去噪的性能，本文還給出了CEEMDAN分解后，使用三種閾值函數(shù)進行去噪的指標(biāo)，如表3所示。

表3 三種閾值函數(shù)的去噪評價指標(biāo)對比Tab.3 Comparison of de-noising evaluation indexes of three threshold functions

從表3可以看出，采用本文所提出的改進閾值濾波去噪的效果要明顯優(yōu)于軟閾值和硬閾值的去噪效果，其信噪比分別提升了4.1335 dB、3.1347 dB，均方根誤差分別降低了37.9%、30.3%；對比軟、硬閾值的去噪效果，硬閾值稍優(yōu)。采用CEEMDAN結(jié)合軟、硬、改進閾值去噪的結(jié)果如圖6～8所示。

圖6 CEEMDAN軟閾值去噪結(jié)果Fig.6 CEEMDAN soft threshold de-noising result

圖7 CEEMDAN硬閾值去噪結(jié)果Fig.7 CEEMDAN hard threshold de-noising result

圖8 CEEMDAN改進閾值去噪結(jié)果Fig.8 CEEMDAN improved threshold de-noising result

對比圖6、圖7、圖8可以看出，本文所提方法的去噪圖形在硬閾值和軟閾值去噪圖形間得到了明顯的折衷。另外由于改進閾值函數(shù)中考慮了微小有效成分的貢獻，使得所提方法的去噪性能得到顯著改善，充分表明了本文所提方法的有效性。

4 結(jié) 論

本文在考慮到 CEEMDAN方法能夠?qū)π盘栠M行有效完備分解的基礎(chǔ)上，提出了一種基于改進閾值函數(shù)的 CEEMDAN濾波去噪模型。該模型通過借鑒EMD閾值設(shè)置方法，對CEEMDAN分解后的含噪IMF分量使用改進閾值函數(shù)進行濾波處理，并進而對處理后的含噪分量與有效分量進行重構(gòu)以得到去噪后的信號。通過對實際MEMS陀螺輸出信號進行詳細的去噪分析，結(jié)果表明本文所提模型在去噪性能上要明顯優(yōu)于CEEMDAN、EEMD、EMD強制去噪方法、CEEMD閾值濾波方法和小波分析方法。另外使用改進閾值函數(shù)后的去噪性能要顯著優(yōu)于軟、硬閾值函數(shù)處理后的去噪性能。這也充分驗證了本文所提模型應(yīng)用于MEMS陀螺信號去噪中具有的可行性和優(yōu)越性。