于卓熙，靳雨佳

（1.吉林財(cái)經(jīng)大學(xué) 管理科學(xué)與信息工程學(xué)院；2.吉林省互聯(lián)網(wǎng)金融重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長春 130117）

0 引言

多元線性回歸分析[1]是一種重要的數(shù)據(jù)分析方法，廣泛應(yīng)用于工業(yè)、農(nóng)業(yè)、醫(yī)學(xué)、社會調(diào)查、生物信息處理等領(lǐng)域。多元線性回歸分析的重點(diǎn)是參數(shù)估計(jì)問題。如今，解決參數(shù)估計(jì)問題最常用的方法是最小二乘法，但是由于該方法的計(jì)算過程復(fù)雜且程序不具有通用性，對于結(jié)構(gòu)復(fù)雜、規(guī)模較大等特征的數(shù)據(jù)具有一定的局限性。近些年，隨著遺傳算法、群智能技術(shù)的飛速發(fā)展，將智能優(yōu)化算法應(yīng)用于回歸模型的參數(shù)估計(jì)已經(jīng)越來越受到歡迎。劉錦萍等[2]應(yīng)用改進(jìn)的粒子群算法對多元線性回歸模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，通過測試實(shí)驗(yàn)表明，估計(jì)結(jié)果顯著提高；楊兆軍，楊川貴等[3]將粒子群算法和支持向量機(jī)結(jié)合，應(yīng)用于回歸模型的參數(shù)估計(jì)研究；張姣玲等[4]應(yīng)用人工蜂群算法估計(jì)多元線性回歸參數(shù)；彭宇文,郭莉莎等[5]將改進(jìn)的模擬退火算法應(yīng)用于線性和非線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)。然而，遺傳算法在編碼和解碼環(huán)節(jié)復(fù)雜繁瑣，在處理復(fù)雜數(shù)據(jù)時優(yōu)化效率會降低；粒子群優(yōu)化算法往往會由于初始化參數(shù)設(shè)定問題，使算法在尋優(yōu)過程中易陷入局部最優(yōu)解，而搜索不到全局最優(yōu)解。

針對人工魚群算法在尋優(yōu)過程中獲取精確解方面存在不足，本文通過對人工魚群算法的參數(shù)和魚群行為進(jìn)行改進(jìn)，將改進(jìn)的人工魚群算法應(yīng)用于回歸模型的參數(shù)估計(jì)中,并通過對比實(shí)驗(yàn)，表明改進(jìn)的算法有效、實(shí)用且簡單。

1 模型與算法介紹

1.1 多元線性回歸模型

在多元線性回歸分析中,對隨機(jī)變量y進(jìn)行預(yù)測時,往往有多個因素影響著其未來值的變化，當(dāng) y與x1，x2，…，xn(n≥1)之間基本存在線性關(guān)系時，需要用多元線性回歸法進(jìn)行預(yù)測。在n個自變量的情況下,多元線性回歸模型為：

其中，β0，β1，β2，…，βn是 n+1個待估參數(shù)。

1.2 人工魚群算法

人工魚群算法[6](Artificial Fish-swarm Algorithm，AFSA)是李曉磊等通過長期觀察魚的活動規(guī)律及特點(diǎn)，提出的動物自治體優(yōu)化方法，它是一種群智能的高效尋優(yōu)方法。

人工魚群的狀態(tài)可以用向量 Xi=(x1，x2，...，xn)表示，其中 xi(i=1，2，3，...，n)表示欲尋優(yōu)變量；人工魚當(dāng)前所在位置的食物濃度表示為Y=f(Xi)，其中Y為目標(biāo)函數(shù)；人工魚個體之間的距離表示為；Visual表示人工魚的感知范圍；Step表示人工魚移動的步長；δ表示擁擠因子。人工魚群算法的基本思想是選擇部分人工魚完成初始化操作，通過覓食行為、聚群行為和追尾行為不斷更新自己，以迭代的方式尋找最優(yōu)解。

2 改進(jìn)的人工魚群算法

2.1 算法參數(shù)的改進(jìn)

本文引入內(nèi)核函數(shù)對人工魚的視野和步長進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整[7]，無需對算法整體做大規(guī)模變動。具體方法是應(yīng)用內(nèi)核函數(shù)對時間參數(shù)進(jìn)行調(diào)整，分別帶入到下面視野和步長的函數(shù)中，對它們做動態(tài)性調(diào)整。

其中，Visualmax為最大視野，Stepmax為最大步長。設(shè)定算法運(yùn)行初期人工魚的視野和步長最大，使算法在運(yùn)行初期能夠快速收斂，突破局部極值的限制。算法在運(yùn)行過程中，K(x)逐漸減小，直到趨于零，此時，視野和步長均為最小值，使算法在運(yùn)行后期能夠獲取到全局精確解。

2.2 聚群行為的改進(jìn)

對魚群的聚群行為進(jìn)行改進(jìn)[8]，設(shè)定Xi(t)為魚群的當(dāng)前狀態(tài)，第i條人工魚代表一個可行解向量Xi，Xi=，nf為人工魚視野內(nèi)的同伴數(shù)量，Xc(t)表示魚群的中心位置。若f(Xc(t))·nf＜δ·f(Xi(t))，則意味著人工魚鄰域內(nèi)同伴魚群中心食物濃度較高且擁擠度較低，人工魚向全局最優(yōu)位置Xbest和伙伴的中心位置的向量和的方向前進(jìn)一個步長；若f(Xc(t))·nf＞δ·f(Xi(t))，則人工魚執(zhí)行覓食行為，表達(dá)式如下所示：

2.3 人工魚個體與適應(yīng)度函數(shù)定義

利用改進(jìn)的人工魚群算法進(jìn)行多元線性回歸參數(shù)估計(jì)[9]。把多元線性回歸模型中的一組參數(shù)看作一條人工魚,種群中的每一條人工魚代表模型估計(jì)問題中的一個候選解,第i條人工魚Xi表示為

應(yīng)用適應(yīng)度函數(shù)來評價(jià)種群中的每條人工魚，定義如下：

對適應(yīng)度函數(shù)求極值，可以得到一組參數(shù)估計(jì)量，即為最優(yōu)解。

2.4 改進(jìn)的人工魚群算法步驟

應(yīng)用改進(jìn)的人工魚群算法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的主要步驟流程圖如圖1所示[10]：

圖1 改進(jìn)的人工魚群算法流程圖

3 仿真實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

為了驗(yàn)證本文提出的改進(jìn)的人工魚群算法在多元線性回歸模型參數(shù)估計(jì)中的應(yīng)用，選取了表1中所示的數(shù)據(jù)，已知變量y，受變量x1，x2和R2的影響，建立多元線性回歸模型如下：

表1 參數(shù)估計(jì)的數(shù)據(jù)

表2是改進(jìn)的人工魚群算法，人工魚群算法和最小二乘法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的對比結(jié)果，包括線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)值，殘差平方和，最優(yōu)解和運(yùn)行時間。

表2 算法參數(shù)估計(jì)對比結(jié)果

從表2可以看出，應(yīng)用改進(jìn)的人工魚群算法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的結(jié)果優(yōu)于人工魚群算法和最小二乘法的結(jié)果，而且在尋找最優(yōu)值上有所提高，加快了運(yùn)行時間。

應(yīng)用人工魚群算法和改進(jìn)的人工魚群算法得到的一次典型實(shí)驗(yàn)曲線分別如圖2和圖3所示。

圖2 人工魚群算法的典型實(shí)驗(yàn)曲線

圖3 改進(jìn)的人工魚群算法的典型實(shí)驗(yàn)曲線

從圖2和圖3的對比來看，使用人工魚群算法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)時在124.588處陷入到局部最優(yōu)解。然而，改進(jìn)的人工魚群算法能夠突破局部極值，搜索到全局最優(yōu)解。

4 結(jié)束語

針對人工魚群算法在獲取精確解時的局限性，本文首先對算法參數(shù)做出了改進(jìn)，并利用改進(jìn)的人工魚群算法對多元線性回歸模型的參數(shù)進(jìn)行了估計(jì)，通過與人工魚群算法和最小二乘法的參數(shù)估計(jì)結(jié)果進(jìn)行對比，應(yīng)用改進(jìn)的人工魚群算法得到的參數(shù)估計(jì)結(jié)果和運(yùn)行時間都有所提高，而且改進(jìn)的算法運(yùn)行時間短這一優(yōu)勢會隨著參數(shù)個數(shù)的增加而越發(fā)明顯，可以將此方法推廣到對一般回歸模型的參數(shù)估計(jì)中，本文提出的改進(jìn)的人工魚群算法為回歸分析中參數(shù)估計(jì)問題提供了一種新的有效解決方法。