劉小妹，柯 林，于俊杰

（九江學(xué)院 理學(xué)院，江西九江 332005）

0 引言

灰色系統(tǒng)理論自1982年鄧聚龍創(chuàng)立以來(lái)，已廣泛應(yīng)用于社會(huì)的各個(gè)領(lǐng)域,灰色關(guān)聯(lián)分析是灰色系統(tǒng)理論研究的出發(fā)點(diǎn)，是灰色預(yù)測(cè)、聚類(lèi)與決策的基礎(chǔ)，其基本思想是根據(jù)序列曲線幾何形狀來(lái)判斷不同序列之間的聯(lián)系是否緊密，從而通過(guò)比較分析來(lái)度量系統(tǒng)多因素之間的關(guān)聯(lián)程度，并對(duì)其進(jìn)行關(guān)聯(lián)排序[1]。

灰色關(guān)聯(lián)分析是灰色系統(tǒng)理論中十分活躍的一個(gè)分支，自鄧聚龍?zhí)岢龌疑P(guān)聯(lián)分析理論以來(lái)，很多學(xué)者研究并構(gòu)造了大量的灰色關(guān)聯(lián)度模型[2-4]。然而現(xiàn)實(shí)中系統(tǒng)的行為較為復(fù)雜，多種特征相互依存，難以分割，形成多元序列形態(tài)。隨著數(shù)據(jù)采集、存儲(chǔ)和分析工具的不斷完善和發(fā)展，以矩陣為表現(xiàn)形式的多維系統(tǒng)特征數(shù)據(jù)不斷涌現(xiàn)[5-8]。目前基于行為矩陣的幾何描述方法將灰色關(guān)聯(lián)分析推廣到三維空間的模型并不多見(jiàn)[9,10]，具體有三維鄧氏關(guān)聯(lián)模型、三維絕對(duì)關(guān)聯(lián)模型和體積關(guān)聯(lián)模型。本文針對(duì)劉思峰（1991）的三維絕對(duì)關(guān)聯(lián)度模型在某些方面的不足，提出一些改進(jìn)。

1 預(yù)備知識(shí)

為便于進(jìn)行關(guān)聯(lián)度性能比較與分析，下面引用部分已有的三維灰色關(guān)聯(lián)度模型。

定義1[1]：設(shè)系統(tǒng)行為矩陣為：

X對(duì)應(yīng)的行為曲面為：

Z={Ax+By+C|x∈[i，i+1]，y∈[j，j+1]，i=1，2，…，m-1;j=1，2，…，n-1}，其中：

定義2[1]：設(shè)系統(tǒng)行為矩陣為X=(aij)m×n，D為矩陣算子 XD=(aijd)m×n，其中aijd=aij-ai1，則 D稱(chēng)為行為矩陣的始邊零化算子，XD稱(chēng)為 X的始邊零化像，且記

定義3[1]：設(shè)為系統(tǒng)中參考因素的行為矩陣，為系統(tǒng)中 L 個(gè)待比較特征因素的行為矩陣，其中：

定 義 4[1]：設(shè) 兩 個(gè) 系 統(tǒng) 行 為 矩 陣為同型矩陣，其始邊零化像為，則：

定義 5[9]：設(shè)行為矩陣 X=(ai，j)m×n的始邊零化像為，記則 稱(chēng)為行為矩陣的局部體積矩陣。

定義 6[9]：設(shè)為系統(tǒng)中參考因素的行為矩陣，，k=1，2，…，L 為系統(tǒng)中 L 個(gè)待比較特征因素的行為矩陣，局部體積矩陣分別為：

2 新的三維灰色絕對(duì)關(guān)聯(lián)度模型及其性質(zhì)

改進(jìn)的三維灰色絕對(duì)關(guān)聯(lián)度模型的基本思想是：依據(jù)行為矩陣之間變化的絕對(duì)體積差異來(lái)構(gòu)造一種新的矩陣絕對(duì)關(guān)聯(lián)度模型。具體建模如下：

其中三元函數(shù) f(x，y，z)的構(gòu)造見(jiàn)本定理的證明過(guò)程。

證明：這里詳細(xì)證明ΔSp，由于dxdy

Zp={Ax+By+C|x∈[i，i+1]，y∈[j，j+1]，i=1，2，…，m-1;j=1，2，…，n-1}，其中：

當(dāng)i+j≤x+y≤i+j+1時(shí)，

當(dāng)i+j+1≤x+y≤i+j+2時(shí)，

于是：

這里：

則有：

而

這樣就將所有的積分都可以轉(zhuǎn)化為(0，1)區(qū)間的積分，大大簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程。

z=所表示的行為曲面即位于xoy坐標(biāo)面的上面，也位于xoy坐標(biāo)面的下面，行為曲面的邊界既與x軸上的(0，1)區(qū)間相交，也與y軸上的(0，1)區(qū)間相交，計(jì)算過(guò)程如下：

z=所表示的行為曲面即位于xoy坐標(biāo)面的上面，也位于xoy坐標(biāo)面的下面，行為曲面的邊界僅僅與y軸上的(0，1)區(qū)間相交，不與x軸上的(0，1)區(qū)間相交，計(jì)算過(guò)程如下：

z=所表示的行為曲面即位于xoy坐標(biāo)面的上面，也位于xoy坐標(biāo)面的下面，行為曲面的邊界僅僅與x軸上的(0，1)區(qū)間相交，不與y軸上的(0，1)區(qū)間相交，計(jì)算過(guò)程如下：

z=所表示的行為曲面即位于xoy坐標(biāo)面的上面，也位于xoy坐標(biāo)面的下面，行為曲面的邊界僅僅與y軸上的(0，1)區(qū)間相交，不與x軸上的(0，1)區(qū)間相交，計(jì)算過(guò)程及結(jié)果同情形（3）。

z=所表示的行為曲面即位于xoy坐標(biāo)面的上面，也位于xoy坐標(biāo)面的下面，行為曲面的邊界僅僅與x軸上的(0，1)區(qū)間相交，不與y軸上的(0，1)區(qū)間相交，計(jì)算過(guò)程及結(jié)果同情形（4）。

z=所表示的行為曲面即位于xoy坐標(biāo)面的上面，也位于xoy坐標(biāo)面的下面，行為曲面的邊界與x軸上的(0，1)區(qū)間和y軸上的(0，1)區(qū)間均不相交，而與xoy坐標(biāo)面內(nèi)的斜邊x+y=1相交，計(jì)算過(guò)程及結(jié)果同情形（3）或者情形（4）。

于是，引入三元函數(shù)f(x，y，z)如下：

那么有：

類(lèi)似可證明 ΔSq，Δ(Sp，Sq)。

（1）（規(guī)范性，平移不變性）0＜εpq≤1 ；εpq=1?Xp=Xq+c

證明 ：從定 義出發(fā)，εpq=1?Δ(Sp，Sq)=0 ，由 于得到：

即ai，j-ai，1=bi，j-bi，1,ai，j=bi，j+ai，1-bi，1Xp=Xq+c,c=ai，1-bi，1,證畢。

另一方面，由定理1立即得到下列性質(zhì)：

（2）εpq=εqp

（3）εpq關(guān)于Sp單調(diào)遞增，關(guān)于Sq單調(diào)遞增，關(guān)于Δ(Sp，Sq)單調(diào)遞減。

（4）εpq∈(0.5，1]

3 關(guān)聯(lián)度性能比較

下面通過(guò)具體的矩陣數(shù)據(jù)將現(xiàn)有的一些三維灰色關(guān)聯(lián)度模型和本文提出的三維灰色絕對(duì)關(guān)聯(lián)度模型進(jìn)行性能比較。

設(shè)矩陣數(shù)據(jù)序列如下：

由matlab程序設(shè)計(jì)計(jì)算得到表1：

表1 模型對(duì)比結(jié)果

從矩陣數(shù)據(jù)序列看到，X1、X2與X0之間的幾何發(fā)展趨勢(shì)并非完全相同，但是原三維絕對(duì)關(guān)聯(lián)度值ε01和ε02都等于1，體積關(guān)聯(lián)度值ε02也等于1，這與實(shí)際情況不符，出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因是原三維絕對(duì)關(guān)聯(lián)度模型和體積關(guān)聯(lián)度模型都出現(xiàn)了正負(fù)抵消的情況，原三維絕對(duì)關(guān)聯(lián)度模型不僅在局部上會(huì)抵消，在整體上也會(huì)出現(xiàn)抵消；而體積關(guān)聯(lián)度模型雖然避免了整體上的抵消情況，但在局部上的抵消情形并未考慮進(jìn)去。本文的關(guān)聯(lián)度模型則不會(huì)出現(xiàn)任何正負(fù)抵消的情況，較為真實(shí)地反映了矩陣序列之間的關(guān)聯(lián)程度。

4 實(shí)例分析

Robot Execution Failure（REF）數(shù)據(jù)是小規(guī)模多元時(shí)間序列挖掘中常用的測(cè)試數(shù)據(jù)集，它是采用六個(gè)傳感器對(duì)產(chǎn)生故障的Robot進(jìn)行15次連續(xù)采樣得到的狀態(tài)數(shù)據(jù)矩陣，該數(shù)據(jù)分為五個(gè)子數(shù)據(jù)集，每個(gè)子數(shù)據(jù)集包含Robot在不同狀態(tài)下的若干個(gè)數(shù)據(jù)矩陣。為進(jìn)行數(shù)據(jù)矩陣之間的關(guān)聯(lián)性分析，從http://kdd.ics.uci.edu/databases/robotfailure/robotfailure.html中選取數(shù)據(jù)集作為測(cè)試對(duì)象。現(xiàn)以第一個(gè)子數(shù)據(jù)集LP1為選取對(duì)象，LP1中含88個(gè)6×15階矩陣，分別由21個(gè)normal狀態(tài)、17個(gè)collision狀態(tài)、17個(gè)fr-collision狀態(tài)和33個(gè)obstruction狀態(tài)組成。為體現(xiàn)三維絕對(duì)關(guān)聯(lián)度模型的準(zhǔn)確性，在選取數(shù)據(jù)時(shí)有針對(duì)性地選取，正常狀態(tài)中選取數(shù)據(jù)波動(dòng)明顯的行為矩陣，而碰撞狀態(tài)、前端碰撞狀態(tài)和阻擋狀態(tài)中則選擇數(shù)據(jù)相對(duì)平穩(wěn)的行為矩陣。記X0、X1、X2、X3為正常狀態(tài)對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)矩陣，X4為碰撞狀態(tài)對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)矩陣，X5為前端碰撞狀態(tài)對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)矩陣，X6為阻擋狀態(tài)對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)矩陣。且設(shè)X0為系統(tǒng)特征行為矩陣，X1、X2、X3、X4、X5、X6為相關(guān)因素行為矩陣，現(xiàn)分別計(jì)算X1、X2、X3、X4、X5、X6與X0之間的三維灰色絕對(duì)關(guān)聯(lián)度值。X0、X1、X2、X3、X4、X5、X6的數(shù)據(jù)矩陣如下：

由matlab程序設(shè)計(jì)計(jì)算得到表2：

表2 三維絕對(duì)關(guān)聯(lián)度對(duì)比結(jié)果

事實(shí)上，正常狀態(tài)與正常狀態(tài)之間的關(guān)聯(lián)程度一定要強(qiáng)于正常狀態(tài)與異常狀態(tài)之間的關(guān)聯(lián)程度，即X1、X2、X3與X0之間的三維絕對(duì)關(guān)聯(lián)度值一定要大于X4、X5、X6與X0之間的三維絕對(duì)關(guān)聯(lián)度值，所以本文的三維絕對(duì)關(guān)聯(lián)度模型分析結(jié)果與樣本對(duì)應(yīng)的狀態(tài)相吻合，較好地區(qū)分了正常狀態(tài)與異常狀態(tài)。而原三維絕對(duì)關(guān)聯(lián)度模型的分析結(jié)果則出現(xiàn)了錯(cuò)誤，X6為阻擋狀態(tài)對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)矩陣，X0、X3為正常狀態(tài)對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)矩陣，但是ε06卻大于ε03，錯(cuò)誤原因也是原三維絕對(duì)關(guān)聯(lián)度模型在計(jì)算過(guò)程中出現(xiàn)了正負(fù)抵消的情況。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文根據(jù)劉思峰在1991年提出的三維灰色絕對(duì)關(guān)聯(lián)度模型，提出了新的三維灰色絕對(duì)關(guān)聯(lián)度模型，詳細(xì)地研究了新模型的算法和性質(zhì)。本文既保持了劉思峰提出的三維灰色絕對(duì)關(guān)聯(lián)度模型的優(yōu)點(diǎn)，又修正了原模型在處理一類(lèi)（震蕩）矩陣數(shù)據(jù)時(shí)出現(xiàn)與實(shí)際不相符的錯(cuò)誤情形。最后，通過(guò)分析Robot Execution Failure(REF)部分?jǐn)?shù)據(jù)矩陣之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系，說(shuō)明本文的三維灰色絕對(duì)關(guān)聯(lián)度模型能較好地應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)影響因素方面的三維關(guān)聯(lián)分析，并且易于在計(jì)算機(jī)上操作。