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        基于小波樹和互補分解的CS-MRI重建算法

        2018-12-20 01:56:56朱金秀楊語晨吳文霞
        計算機技術(shù)與發(fā)展 2018年12期
        關(guān)鍵詞:樹結(jié)構(gòu)未知量于小波

        裴 穎,朱金秀,楊語晨,吳文霞

        (1.河海大學 物聯(lián)網(wǎng)工程學院,江蘇 常州 213022;2.南通河海大學 海洋與近海工程研究院,江蘇 南通 226300)

        0 引 言

        核磁共振成像(magnetic resonance imaging,MRI)是醫(yī)學成像,應(yīng)用廣泛。目前MRI應(yīng)用的關(guān)鍵在于快速成像。Nyquist采樣定理需兩倍帶寬,不符合實際應(yīng)用[1],現(xiàn)常用方法是在壓縮感知(compressed sensing,CS)[2-3]框架下,從欠采樣k空間中重建MRI數(shù)據(jù),能有效減少采樣時間,達到快速成像的目的。

        關(guān)于CS-MRI重建算法的研究有很多。例如,Lusting等[4]利用全變分(total variation,TV)和小波構(gòu)建目標函數(shù),提出共軛梯度算法(CG),但重建時間有待提高;FISTA算法[5]通過計算更合適的起始點以加快收斂速度;TVCMRI[6]、RecPF[7]和FCSA[8]算法利用算子分割、變量分割思想求解聯(lián)合正則算子,提高重建速度和質(zhì)量;文獻[9]利用圖像在頻域的特性優(yōu)化測量矩陣并提出迭代加權(quán)算法,提高了重建精度;文獻[2,10]利用MR圖像低秩特性進行奇異值分解,但過程過于復雜;文獻[11-12]提出結(jié)構(gòu)稀疏理論,圖像不僅在小波域有稀疏性,其小波稀疏系數(shù)也有特定的四叉樹結(jié)構(gòu),在此基礎(chǔ)上文獻[13]提出YALL1算法,利用小波樹結(jié)構(gòu)稀疏代替小波稀疏構(gòu)建目標函數(shù),以提高圖像稀疏度;文獻[14]提出WaTMRI算法,聯(lián)合小波樹結(jié)構(gòu)稀疏和小波稀疏分別擁有的結(jié)構(gòu)稀疏和稀疏性,聯(lián)合改善圖像質(zhì)量;Park等[15]提出互補分解,將完整圖像分為平滑和殘差兩個分量,僅將平滑分量用于TV,殘差分量用于1范數(shù),以解決全變分導致的細節(jié)過平滑問題;文獻[16]利用貪婪算法提高重建速度,但需要確定圖像稀疏度,缺乏實際性;文獻[17]基于p范數(shù)構(gòu)建重建算法,計算較為復雜。

        重建算法常用小波稀疏和TV構(gòu)建目標函數(shù),但TV會在濾除噪聲的同時平滑圖像的邊緣紋理信息。因此,文中提出一種基于小波樹和互補分解的CS-MRI(MRI based on complementary dual decomposition and wavelet tree sparsity,DualWaTMRI)重建算法,利用互補分解抑制TV造成的細節(jié)過平滑問題,小波樹結(jié)構(gòu)稀疏用于補充小波稀疏的先驗信息,并與同類重建算法進行了對比。

        1 基于小波樹和互補分解的CS-MRI重建算法

        基于小波樹和互補分解的CS-MRI重建算法系統(tǒng)框架如圖1所示。首先欠采樣輸入數(shù)據(jù)得到測量值b,將其傅里葉逆變換預處理生成初始重構(gòu)圖像,再對其互補分解,生成初始殘差分量和平滑分量,分別進行TV和1范數(shù)處理,同時利用結(jié)構(gòu)化稀疏理論[13],對整幅圖像進行小波樹結(jié)構(gòu)稀疏處理,最后與最小二乘擬合共同構(gòu)建目標函數(shù)。同時,提出DualWaTMRI重構(gòu)算法進行求解,分別得到重構(gòu)的殘差分量和平滑分量,由兩分量疊加組成最終的重建圖像。

        圖1 算法系統(tǒng)框架

        1.1 基于小波樹和互補分解的目標函數(shù)

        1.1.1 小波樹

        1.1.2 互補分解

        考慮到對整幅圖像進行TV處理會同時平滑噪聲和圖像的細節(jié)信息,引入互補分解模型[13],將MR圖像看成是平滑分量和殘差分量的疊加:

        x=L+S

        (1)

        其中,x表示MR圖像;L表示灰度值緩慢變化的平滑分量,一般代表圖像背景信息;S表示灰度值快速變化的殘差分量,一般代表圖像中前景信息。

        為避免TV過平滑圖像,僅對L進行TV處理,S進行小波稀疏處理。文中利用邊緣檢測算子Sobel[18]對圖像進行互補分解,令初始殘差分量S0為分解得到的邊緣信息,初始平滑分量L0為0。Sobel算子通過核與像素值做卷積和運算,選取合適的閾值提取邊緣信息,閾值計算方法為T=μ*255,其中μ是閾值比。

        1.1.3 目標函數(shù)

        綜合互補分解和小波樹結(jié)構(gòu)稀疏的優(yōu)勢,提出基于小波樹和互補分解的CS-MRI重建算法,構(gòu)建目標函數(shù)如下:

        α‖L‖TV+β(‖φS‖1+

        (2)

        其中,L,S分別是平滑和殘差分量;A是測量矩陣;b是測量值;φ是小波稀疏基;ζ是小波樹形分組的集合;g表示其中一組;α和β是調(diào)優(yōu)參數(shù),用于平衡所占比重。式2中第一項最小二乘擬合項用于保證重建圖像的準確度,第二項平滑分量的TV項用于抑制噪聲,避免圖像過平滑,第三項殘差分量的1范數(shù)用于保證小波稀疏,第四項小波樹結(jié)構(gòu)稀疏項用于保證圖像的結(jié)構(gòu)稀疏性。這四個正則項相互補充,增加圖像先驗信息,提高算法的魯棒性。

        1.2 DualWaTMRI重構(gòu)算法

        針對式2中的L和S兩個未知量,利用交替最小化方法構(gòu)建DualWaTMRI重構(gòu)算法進行求解,將目標函數(shù)分為L子問題(此時S為固定值)和S子問題(此時L為固定值),同時將這兩個子問題交替迭代,最后重建圖像x即是求解得到的L和S值之和。

        1.2.1L子問題求解

        求解L子問題時,假設(shè)S為固定值,則最小化求解時可省略常數(shù)項。L子問題公式表示如下:

        (3)

        為簡便求解小波樹結(jié)構(gòu)稀疏正則項,令zp=GφL,其中G是ζ的二值矩陣[15],式3改為:

        (4)

        其中,λ是調(diào)優(yōu)參數(shù);ζ中共有s組g,gi表示第i組g,即第i個具有父子依賴性的小波系數(shù)組,i=1,2,…,s。式4中亦包含zp和L兩個未知量,采用交替最小化進一步細化:

        (1)L子問題中zp未知量按gi分組求解:

        β‖zpgi‖2)

        (5)

        上式可采用分組軟閾值法求解,令rpi=(GφL)gi:

        i=1,2,…,s

        (6)

        由上式求解zpgi值,將其按位置線性組合生成zp。

        (2)L子問題中L未知量求解公式如下:

        其中,zp值由式6解得。式7可采用FISTA[5]算法求解得到L值。

        1.2.2S子問題求解

        與L子問題類似,求解未知量S時假設(shè)L為固定值,求解公式如下:

        (8)

        同樣的,令zr=GφS,上式更新為:

        (9)

        (1)未知量zr可通過分組軟閾值法得到,令rri=(GφS)gi,求解公式為:

        i=1,2,…,s

        (10)

        (2)未知量S求解公式如下:

        (11)

        上式亦可采用FISTA方法求解。

        1.2.3 重建算法總結(jié)

        針對目標函數(shù),利用交替最小化將函數(shù)分為兩個子問題求解,結(jié)合上述重建步驟構(gòu)建算法DualWaTMRI,該算法重建步驟總結(jié)如下:

        輸入:最大迭代次數(shù)N,k空間測量值b,閾值比μ。

        步驟1:初始化。

        步驟1.1:對b進行傅里葉逆變換預處理,生成初始圖像x0;

        步驟1.2:對x0取合適的閾值μ互補分解得到初始殘差分量S0;

        步驟1.3:令初始平滑分量L0=0,n為迭代次數(shù),初始化n=1,ρ=1/Lf。

        步驟2:交替最小化求解。

        步驟2.1:求解L子問題:給定Sn-1,結(jié)合Ln-1求解式5得到zp值,將zp值代入式7求解Ln;

        步驟2.2:求解S子問題:給定Ln,結(jié)合Sn-1求解式10得到zr值,將zr值代入式11求解Sn;

        步驟2.3:令n=n+1,判斷n是否等于N,若不等于,回到步驟2.1,否則跳到步驟2.4;

        步驟2.4:重建圖像是平滑分量和殘差分量的疊加:x=L+S(此時L=Ln,S=Sn)。

        2 實驗結(jié)果與分析

        對Chest,Heart,Brain和Shoulder等四幅標準MRI圖像進行實驗。將DualWaTMRI與CG[4]、TVCMRI[6]、FCSA[8]和WaTMRI[15]算法進行比較。根據(jù)經(jīng)驗設(shè)α=0.02,β=3.5e-2,λ=β/2,Lf=1。同時選小波為稀疏基,偽高斯[6]為采樣模板,測量矩陣為采樣模板下的部分傅里葉矩陣。結(jié)果如表1所示。

        表1 四幅MR圖像進行重建時的PSNR結(jié)果 dB

        2.1 實驗參數(shù):閾值比μ的選取

        對DualWaTMRI算法進行仿真,閾值比μ取值從0到1,結(jié)果如圖2所示。

        從圖2可看出,在μ取值為0.05~0.20時,SNR值急劇上升,在μ大于0.20時,SNR值稍有減少,最后趨于平緩。可以得出,在DualWaTMRI算法互補分解模型中μ取值0.16。

        圖2 仿真結(jié)果對比

        2.2 重構(gòu)性能的比較

        將MR圖像分別通過CG、TVCMRI、FCSA、WaTMRI和DualWaTMRI等算法進行仿真,結(jié)果分別如圖3、4和表1所示。

        圖3 四幅MR圖像的SNR比較

        圖4 四幅MR圖像的t比較

        圖3和圖4給出了四幅MR圖像通過不同算法得到的仿真結(jié)果折線圖(SNR和t)。表1給出了SNR具體值。從圖3和表1中可以看出,四幅MR圖像通過DualWaTMRI算法得到的信噪比最高,比WaTMRI算法分別高出約1.69 dB、0.63 dB、0.60 dB和1.70 dB,更優(yōu)于其他算法。但圖4中DualWaTMRI算法上升趨勢最慢,表明重建時間長,這是由于目標函數(shù)中有兩個未知量,需要交替求解,因此文中算法通過犧牲少量計算時間,達到增加信噪比的目的。

        綜上,DualWaTMRI算法與同類CS-MRI算法相比,雖然由于先驗信息豐富導致圖像的重建時間有所增加,但重建圖像的質(zhì)量有一定改善。

        3 結(jié)束語

        為改善TV造成的圖像細節(jié)模糊問題,引入互補分解模型,與小波樹結(jié)構(gòu)稀疏相結(jié)合,提出一種基于小波樹和互補分解的CS-MRI重建算法。利用互補分解模型將MR圖像分為平滑和殘差兩個分量,僅將平滑分量用于TV,殘差分量用于1范數(shù),利用兩個分量各自的特性,很好地保留了圖像的細節(jié)信息,同時利用樹結(jié)構(gòu)稀疏特性,豐富圖像的先驗信息,使得在同等數(shù)目的掃描數(shù)據(jù)下,能得到更好的重建圖像,或者只需更少的掃描數(shù)據(jù),就能獲得同等質(zhì)量的重建圖像。實驗結(jié)果表明,與現(xiàn)有的基于整幅圖像全變分、基于小波樹的算法相比,該算法以部分運算時間為代價很好地改善了MR圖像的重建質(zhì)量。

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