王 旭1，謝 磊，張孔明1，何子述

(1.西南電子電信技術研究所，成都610041；2.電子科技大學 電子工程學院，成都611731)

1 引 言

跳頻是最常用的擴頻方式之一，應用廣泛，提高跳頻通信信號的無源定位性能具有重要的意義[1]。本文研究無源雙站對運動目標定位涉及的跳頻信號多普勒頻差估計問題，而關于雙站情況下利用到達時間差(Time Difference of Arrival，TDOA)和多普勒頻差(Frequency Difference of Arrival，FDOA)對運動輻射源目標進行無源定位的機理在相關文獻中已有論述[2-4]。

FDOA指某一運動目標相對于兩個定位站的多普勒頻率的差值。利用FDOA和TDOA可以實現目標定位、跟蹤等[5-8]。對于運動目標的FDOA和TDOA的聯合估計，常見的算法包括基于子空間的頻域高分辨時差測量算法[9]、基于盲波束形成的方法[10-11]和Hough變換[12]等，而這些算法往往涉及到自相關矩陣的求逆或者譜分解，計算量比較大。文獻[13-14]中提到基于最大似然估計的TDOA和FDOA估計方法，分別針對相干短脈沖信號和弱平穩(wěn)的數字通信信號，并且是基于單基站的情形。而針對跳頻信號，國內外有不少學者進行了研究。文獻[15]提出了一種基于跳頻信號特征提取參考頻率點處的相位差求TDOA。這種方法從原理上講借鑒了譜相關擬合相位的思路，估計精度較高，但要對相位解模糊，計算復雜。文獻[16]基于跳頻信號模型的特征，利用不同碼元之間的相位差分來估計TDOA。這種算法計算效率高，但要求對載波差的估計足夠精確，而該精度主要依賴于符號持續(xù)時間，往往單個符號的跳頻信號持續(xù)時間較短，導致對載波差的估計不準確，并且這種方法也存在相位模糊的問題需要解決。

對于一個運動目標在某時刻發(fā)出的跳頻脈沖串信號，可以認為在跳頻脈沖串信號持續(xù)時間內運動目標相對于各個定位站的徑向速度不變，但是由于各脈沖的載波頻率不同，一個定位站接收到的跳頻脈沖串信號中各個脈沖對應的多普勒頻率將不一致，兩個定位站各脈沖之間的多普勒頻差也將不同，為充分利用跳頻脈沖串中的信息量提高對跳頻信號的定位性能，本文提出了跳頻脈沖串信號的歸一化頻差最大似然估計算法，以跳頻脈沖中一個跳頻頻率的多普勒頻差為基準，利用所有跳頻脈沖信號對該基準多普勒頻差進行估計，隨著算法中使用的脈沖信號數量增多，基準多普勒頻差估計性能有明顯改善。該算法避開了矩陣的譜分解和求逆運算，運行速度較快。

2 基本原理

2.1 基于雙站的多普勒頻差估計算法

首先假定信號為確定性的，噪聲為白高斯噪聲，則兩個接收站接收到的信號可以表示為

(1)

式中：a為信號幅度常數，D1與D2分別表示信號源s[n]到達兩個接收站的傳播延遲，ω1與ω2分別表示兩個接收站接收信號的頻率，n為樣點序號，N為樣點總數。待估時差與多普勒頻差參數矢量定義為

θ=[D2,1,ω2,1]T。

(2)

式中：時差D2,1=D2-D1，多普勒頻差ω2,1=ω2-ω1。進而，接收信號可以等價地表示為

(3)

為了便于后續(xù)表述，首先定義觀測信號矢量：

(4)

由于信號是確定的，噪聲為復高斯白噪聲，則觀測矢量的均值滿足

μ(y)=E{y}=x。

(5)

式中：

(6)

x1和x2分別滿足

(7)

可見觀測矢量的均值與參數θ有關。相同假設下，觀測數據的協(xié)方差矩陣可以表示為

C=E{(y-E{y})(y-E{y})H}=

(8)

顯然，觀測數據協(xié)方差矩陣C與參數θ無關。為了實現對FDOA的估計，這里首先根據信號模型建立最大似然函數：

p(y;θD1,s(t))=

(9)

可以得到其最大似然估計為

(10)

(11)

式中：μ(θ)=[x1,x2]T需要估計未知信號s[n]，這里我們采用μ(θ)的估計來近似實現最大似然估計，也即

(12)

這里首先采用第一個接收站接收信號作為x1的估計，則μ(θ)的估計滿足

(13)

式中：F{y1,D2,1}表示將信號y1時移D2,1，可采用時延濾波器如sinc內插器[17-18]等實現；Φ(ω2,1)定義如下：

(14)

綜上，TDOA與FDOA估計為

‖Φ(ω2,1)F{y1,D2,1}‖2}。

(15)

在時延相對信號持續(xù)時間較小時，對于恒模信號可認為‖Φ(ω2,1)F{y1,D2,1}‖為常數，則

(16)

這里θ=[D2,1,ω2,1]T，信號y1的延遲形式為

F{y1,D2,1}=[y1[0-D2,1],y1[1-D2,1],…,y1[N-1-D2,1]]T，

(17)

其中每個元素可采用如下方式實現：

(18)

式中：K為內插器階數。值得注意的是，如果這里假定時差D2,1已知，則由式(16)得到頻差估計表達式：

(19)

進一步，如果時差為零，則

(20)

在更一般的情況下，時差是未知的，可以采用二維網格搜索的方法得到TDOA與FDOA的解。

網格搜索的步驟如下：

Step1 確定二維網格搜索精度，將搜索區(qū)域劃分為g1,g2,…,gG，G為網格數。

Step2 將第i個網格對應的向量gi賦值給未知參數θ，i初始化值為1。

Step4 將i+1賦值給i，也即i=i+1，并重復Step 2～4，直到i=G。

Step5 將c(θ)最大值對應的搜索網格值作為參數θ的估計輸出。

2.2 跳頻信號歸一化多普勒頻差最大似然估計算法

將上面的方法應用到跳頻脈沖信號形式，由于每個脈沖的載波頻率各不相同，所以每個脈沖的多普勒頻差也不同，于是可以將二維搜索目標函數可改寫為如下表達式：

(21)

式中：Np為脈沖信號個數，y1,i與y2,i分別表示兩路觀測量的第i個脈沖信號矢量，

αi=fc,i/fc。

(22)

式中：fc,i表示第i個脈沖的載波頻率，fc表示參考載波頻率。算法所估計出的FDOA也是在參考載波頻率下的FDOA，而利用該已知的參考頻率與估計得到的FDOA即可計算出目標的徑向速度差，或是直接使用下式估計TDOA與FDOA：

(23)

這里y1、y2與ΦΣ(ω2,1)由下面的定義式給出：

(24)

(25)

(26)

式中：y1,i與y2,i分別表示兩路觀測量的第i個脈沖信號矢量，對角矩陣Φ(αiω2,1)表示第i個脈沖對應的變頻矩陣，其定義與式(14)相似。

多普勒頻差估計的步驟如下：

Step1 讀取數據，包括脈沖數、采樣率、跳頻圖及中頻脈沖信號。

Step2 通過Hilbert變換將輸入中頻信號轉換為I/Q信號。

Step3 采樣復信號互相關時差估計方法測量信號到達兩個觀察站的到達時間差。通過網格搜索兩路復信號間的互相關峰值對應的時延即為兩路信號間的相對延遲(到達時間差)。

Step4 將兩路信號在時延上對齊(例如，第一路信號較第二路信號延遲了200個樣本點，則將第二路信號的前200個樣本點丟棄，同時將第一路信號的后200個樣本點丟棄，使得后面參與多普勒頻差估計的兩路信號的起始時刻相同)。

Step5 根據Step 4，重新確定第二路信號的跳頻序列。

Step6 根據脈沖周期將兩路信號分別存儲為矩陣形式，矩陣的每一列表示持續(xù)時間長度為一個脈沖周期的信號樣本序列。

Step7 跳變沿檢測完成符號同步，然后取出有用信號(復觀察信號)。

Step8 在Step 3中已經粗略估計了一個頻差，在預估頻差周圍進行兩次搜索多普勒頻差估計目標函數峰值，使結果更精確，當目標函數取得最大值時即得到雙站間的多普勒頻差估計結果。

Step9 由多普勒頻差計算目標徑向速度差。

3 雙站多普勒頻差估計仿真

為仿真兩個固定觀測站實現運動目標無源定位的多普勒頻差估計性能，假設觀測站1的坐標為(0,-10) km，觀測站2的坐標為(0,10) km。

設置跳頻信號頻率范圍為1～1.2 GHz，跳頻帶寬為200 MHz，跳頻的頻率間隔為5 MHz，隨機選取跳頻圖案產生300個跳頻脈沖信號，跳頻脈沖持續(xù)時間為10 μs，調制方式為MSK，符號率設為5 Mbit/s，瞬時帶寬為3.5 MHz。

仿真工具為Matlab 2013，電腦主要配置:Intel(R) Pentium(R) G630 @2.70 GHz CPU，4 GB RAM。

3.1 不同輸入脈沖個數下的仿真

該仿真分析算法所使用的脈沖數量與多普勒頻差估計性能的關系，并與基于子空間算法進行對比分析。假設目標坐標為(215，24) km，目標的速度向量為(257，86)m/s，通過矢量運算，可以計算得到目標到觀測站1的徑向速度267.278 6 m/s，目標到觀測站2的徑向速度為262.045 0 m/s，實際徑向速度差為-5.233 5 m/s。設定信噪比為10 dB。

根據上述仿真參數，仿真數據存在41個跳頻頻點，設置參考載波頻率fc為1 GHz，則式(21)的αi取值為(1.000，1.005，1.010，1.015，…，1.200)，按照歸一化多普勒頻差最大似然估計的9個步驟估計出多普勒頻差。圖1和圖2給出了不同輸入脈沖個數下分別進行100次獨立試驗，通過公式

(27)

得到的多普勒頻差估計RMSE，然后比較RMSE及運行時間與所使用的脈沖個數的關系。

仿真基于子空間算法時，分別在每一個跳頻頻點上估計出對應的多普勒頻差，然后由式(22)換算成參考載波頻率1 GHz上的頻差，可得到41個多普勒頻差，取平均值得到最終的參考載波頻率多普勒頻差估計值。

圖1 雙站下多普勒頻差估計均方根誤差與脈沖個數間關系Fig.1 The relationships between MSE of Doppler frequency estimation and the number of pulse on double-base situation

從圖1中可以得到以下結論：

(1)當所使用的脈沖數越來越多的時候，多普勒頻差估計的均方根誤差越來越小，這說明脈沖數越多為多普勒頻差估計提供的信息量越大；

(2)當脈沖數量較少時(比如少于100個脈沖)，歸一化多普勒頻差最大似然估計算法好于基于子空間的算法，這主要是式(21)使用了不同跳頻頻點的所有脈沖信號對參考載波頻率上的多普勒頻差進行估計，而基于子空間算法是在不同跳頻頻點上分別估計出相應的多普勒頻差，可以認為歸一化多普勒頻差最大似然估計算法具有全局最優(yōu)性；

(3)當脈沖數量達到一定數量后(比如200個脈沖)，算法所用脈沖數量的增加對性能的改善不明顯，這對實際工程中選取脈沖數量具有指導意義。

圖2給出了所提算法與文獻[7]中所提算法的效率的比較，可以看出在使用脈沖數量大于200時，所提算法效率逐漸提升，當脈沖數量為240時，效率提升在30%以上。因為文獻[7]中所提基于子空間的算法涉及到自相關矩陣的譜分解，會帶來較大的計算量，而所提基于最大似然估計的算法避開了這些計算。

圖2 所提算法與基于子空間的算法效率比較Fig.2 The efficiency comparison between the proposed algorithm and the subspace algorithm

3.2 不同SNR下的仿真

在不同SNR下分別進行200次獨立試驗，圖3給出了多普勒頻差估計RMSE與速度差估計RMSE仿真結果。仿真中采用128個脈沖數據進行一次多普勒測量，觀測站位置設置與前面雙站仿真案例相同。目標位置坐標(220,30) km，目標速度(-228,-186)m/s，仿真了SNR為[0∶2∶20]dB時的估計精度。

圖3 雙站下多普勒頻差及速度差估計精度與SNR間關系Fig.3 The relationship between the accuracy of Doppler frequency difference estimation and velocity difference estimation and SNR on double-base situation

對于雙站仿真，圖中仿真結果與預計結果接近，隨著SNR的增大，估計的均方根誤差越來越小。

4 結束語

本文針對兩個觀測站估計跳頻脈沖信號多普勒頻差問題，先構造一個關于FDOA的似然函數，然后用網格搜索的辦法找到使似然函數最大的頻差。從仿真結果可以看出，這種方法具有很高精度，充分利用了跳頻脈沖串中不同頻率的多普勒頻差信息提高了對速度差的估計性能；隨著利用的跳頻脈沖數量增多估計性能越高，并且基于這種多輪搜索的算法與基于子空間的算法相比較在使用脈沖數較多時效率提升較為明顯。在后續(xù)研究中，一方面應考慮對所提算法的實現過程進行進一步優(yōu)化，提高執(zhí)行效率；另一方面，在三站以上的多站定位系統(tǒng)中，應研究利用所有接收站的接收信號實現對多個FDOA的估計算法，提升FDOA估計精度用于更精確的目標定位。