孫靜怡，張建國(guó)，彭文勝，邱繼偉，譚春林

(1.中國(guó)運(yùn)載火箭技術(shù)研究院，北京 100076; 2.北京航空航天大學(xué) 可靠性與系統(tǒng)工程學(xué)院, 北京 100191; 3.北京航空航天大學(xué) 可靠性與環(huán)境工程技術(shù)國(guó)防科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 北京 100191; 4.北京空間飛行器總體設(shè)計(jì)部, 北京 100094)

0 引言

工程中對(duì)機(jī)械產(chǎn)品進(jìn)行可靠性分析通常只能得到不確定性參數(shù)的分布區(qū)間[1]，當(dāng)機(jī)械產(chǎn)品的極限狀態(tài)函數(shù)無(wú)法用解析形式表達(dá)時(shí)，一般采用區(qū)間響應(yīng)面法進(jìn)行近似分析評(píng)估，例如：Sofi等[2]通過(guò)求解多項(xiàng)式響應(yīng)面間的比例建立適用于區(qū)間及隨機(jī)變量有限元分析的統(tǒng)一響應(yīng)面框架，在不同不確定性模型下比較結(jié)構(gòu)響應(yīng)的變異性；唐忠等[3]構(gòu)建了包含區(qū)間不確定性參數(shù)的二階多項(xiàng)式極限狀態(tài)函數(shù)代理模型，并提出一種基于偏彈性理論的可靠性分析方法。然而上述分析中的區(qū)間變量若在區(qū)間響應(yīng)面函數(shù)中多次出現(xiàn)，則會(huì)引發(fā)區(qū)間運(yùn)算結(jié)果擴(kuò)張，影響計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性。

針對(duì)這一問(wèn)題，LI等[4]利用區(qū)間參數(shù)的二階泰勒展開(kāi)信息建立“具有邊界約束的二次規(guī)劃”模型，并利用凸函數(shù)算法差異降低區(qū)間擴(kuò)張對(duì)結(jié)構(gòu)特征值分析的影響；WU等[5]將原函數(shù)展開(kāi)為chebyshev多項(xiàng)式后,再利用區(qū)間算法求解各單項(xiàng)式的值，最后求和計(jì)算原函數(shù)的擴(kuò)張區(qū)間；方圣恩等[6]基于泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式分別建立參數(shù)與響應(yīng)區(qū)間的函數(shù)關(guān)系，并通過(guò)構(gòu)建反演問(wèn)題分步識(shí)別參數(shù)區(qū)間，提高計(jì)算結(jié)果精度。上述研究均從改進(jìn)響應(yīng)面函數(shù)的角度出發(fā)，通過(guò)對(duì)函數(shù)進(jìn)行變形或替換抑制區(qū)間擴(kuò)張。然而該過(guò)程中由于函數(shù)關(guān)系復(fù)雜，導(dǎo)數(shù)求解困難等原因，在一定程度上增大了計(jì)算量。因此，相關(guān)研究者又提出一系列區(qū)間運(yùn)算的改進(jìn)算法，呂震宙等[7]通過(guò)比較變量邊界值與中心值的相對(duì)誤差，提出區(qū)間截?cái)喾ǎ籄lefeld 等[8]考慮所有輸入?yún)^(qū)間變量端點(diǎn)的組合形式，提出區(qū)間組合法；郭書(shū)祥等[9]結(jié)合有限元分析，提出區(qū)間有限元法及響應(yīng)的矩陣運(yùn)算方法；邱志平等[10-11]對(duì)參數(shù)區(qū)間的中點(diǎn)進(jìn)行泰勒展開(kāi)，提出區(qū)間參數(shù)攝動(dòng)法，并在分析區(qū)間有限元法不足的基礎(chǔ)上，基于Chebyshev正交多項(xiàng)式提出配點(diǎn)型區(qū)間有限元法。雖然上述方法已提高計(jì)算精度，但仍存在一定誤差，且隨著研究對(duì)象復(fù)雜程度的增加更為突出。仿射理論[12]處理不確定性問(wèn)題時(shí)，其運(yùn)算規(guī)則具有優(yōu)化性質(zhì)，計(jì)算結(jié)果精確，特別對(duì)長(zhǎng)計(jì)算鏈優(yōu)勢(shì)明顯。謝永強(qiáng)等[13]等在函數(shù)上下界計(jì)算中引入矩陣形式的仿射計(jì)算公式，提出一種改進(jìn)仿射算法，減小了不確定系統(tǒng)響應(yīng)界的分析誤差；Zou等[14]基于改進(jìn)的仿射算法，融合泰勒展開(kāi)提出泰勒—仿射算法(Taylor Affine Algorithm, TAA)用于分析計(jì)算結(jié)果的不確定性；姜潮等[15]利用仿射坐標(biāo)，將相關(guān)變量轉(zhuǎn)換為獨(dú)立變量，提出一種考慮相關(guān)性的概率—區(qū)間混合不確定性模型及結(jié)構(gòu)可靠性分析方法。目前，仿射理論已拓展至非概率可靠性領(lǐng)域，但多依賴(lài)于顯式極限狀態(tài)函數(shù)，限制了該方法的應(yīng)用。

本文利用仿射理論提出一種區(qū)間仿射響應(yīng)面方法(Interval Affine Response Surface Method, IARSM)來(lái)抑制區(qū)間擴(kuò)張。該方法首先對(duì)區(qū)間參數(shù)進(jìn)行仿射變換，利用線(xiàn)性回歸得到區(qū)間仿射響應(yīng)面；然后，利用區(qū)間邊界的分割組合構(gòu)建響應(yīng)面更新及求解機(jī)制，進(jìn)一步提高基于區(qū)間仿射響應(yīng)面的非概率可靠性指標(biāo)計(jì)算精度。

1 區(qū)間擴(kuò)張問(wèn)題及仿射理論

1.1 非概率可靠性指標(biāo)求解中的區(qū)間擴(kuò)張問(wèn)題

不確定性參數(shù)可用區(qū)間變量X=[XL,XR]表示，XL，XR分別為區(qū)間變量的下界和上界。對(duì)于含有k個(gè)區(qū)間參數(shù)的機(jī)械產(chǎn)品，極限狀態(tài)函數(shù)的一般形式為

M=g(X)=g(X1,X2,…,Xk)。

(1)

(2)

(3)

當(dāng)極限狀態(tài)函數(shù)M為X各分量的連續(xù)函數(shù)時(shí)，其值域也為區(qū)間變量，記為M=[ML,MR]。非概率可靠性指標(biāo)

(4)

式中Mc及Mr分別為極限狀態(tài)函數(shù)響應(yīng)區(qū)間的均值和離差。

若η>1，表明產(chǎn)品處于安全狀態(tài)，且η值越大，安全程度越高；若η<0，則表明產(chǎn)品失效；若η∈[0,1]，則表明產(chǎn)品存在失效危險(xiǎn)。

實(shí)值極限狀態(tài)函數(shù)f(x)定義為從實(shí)數(shù)集Rn映射到R，其對(duì)應(yīng)的區(qū)間極限狀態(tài)函數(shù)g(X)(IR→IR)為包含函數(shù)在其定義域區(qū)間X上所有映射的“外殼”[17]，滿(mǎn)足

g(X)=[{f(x)|x∈X}]。

(5)

通常情況下，由區(qū)間函數(shù)計(jì)算結(jié)果組成的外殼并不唯一，區(qū)間函數(shù)的結(jié)果比實(shí)際結(jié)果的范圍更大：

?g(X)。

(6)

(7)

如圖1所示，相比于實(shí)值極限狀態(tài)函數(shù)f(X)，在相同的定義域內(nèi)，g(X)的值域區(qū)間寬度增大，利用該結(jié)論求解得到的非概率可靠性指標(biāo)為

(8)

由式(7)和式(8)可知，計(jì)算得出的可靠性指標(biāo)η′中含有誤差項(xiàng)ω(E(X))，導(dǎo)致非概率可靠性指標(biāo)的計(jì)算結(jié)果精度下降，喪失實(shí)用價(jià)值。

1.2 仿射理論

不確定性參數(shù)Y的仿射形式可表示為[18]

[Y]=y0+y1ε1+y2ε2+…+ynεn。

(9)

式中：y0為仿射形式的中心值；εi(i=1,2,3,…,n)為噪聲元，εi的值未知，范圍在[-1,1]之間，當(dāng)ε1=ε2=…=εn=±1時(shí)，Y取得最大和最小值；yi為浮點(diǎn)實(shí)數(shù)，決定了噪聲元的大小。因此，可得[Y]的區(qū)間形式為

(10)

區(qū)間參數(shù)X=[XL,XR]對(duì)應(yīng)的仿射形式為

(11)

對(duì)于[A]=a0+a1ε1+a2ε2+…+anεn和[B]=b0+b1ε1+b2ε2+…+bnεn兩個(gè)仿射形式的變量，運(yùn)算規(guī)則定義為：

[A]±[B]=(a0±b0)+(a1±b1)ε1+

(a2±b2)ε2+…+(an±bn)εn;

(12)

(13)

式中εk為乘法運(yùn)算中產(chǎn)生的新噪聲元。

2 區(qū)間仿射響應(yīng)面方法

2.1 區(qū)間仿射響應(yīng)面建模

基于變量為區(qū)間參數(shù)的多項(xiàng)式響應(yīng)面模型為：

(14)

式中：Xi為區(qū)間變量；β0,βi,βii(i=1,2,…,k)為待定常系數(shù)。

對(duì)式(14)中的區(qū)間參數(shù)進(jìn)行仿射變換：

(15)

(16)

式中：

(17)

(18)

(19)

(20)

對(duì)比式(14)和式(16)可知，響應(yīng)面函數(shù)轉(zhuǎn)化由2k+1個(gè)不同的噪聲元構(gòu)成的線(xiàn)性函數(shù)，所有變量在響應(yīng)面函數(shù)中僅出現(xiàn)一次，因此可有效抑制區(qū)間擴(kuò)張。

區(qū)間仿射響應(yīng)面模型中共有2k+1個(gè)待定系數(shù)λ。因此，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況選擇合適的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，在自變量取值范圍內(nèi)選取2k+1個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，實(shí)驗(yàn)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的噪聲元大小為

(21)

式中xi為選取的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，xi∈Xi。

利用仿真分析得到產(chǎn)品實(shí)驗(yàn)點(diǎn)處的響應(yīng)值gi，與對(duì)應(yīng)噪聲元向量形成構(gòu)建區(qū)間仿射響應(yīng)面的樣本集{εi,gi}(i=1,2,…,2k+1)，在此基礎(chǔ)上，通過(guò)線(xiàn)性回歸的方法依據(jù)式(22)求解待定系數(shù)：

λ=(P(ε)T·P(ε))-1·P(ε)T·

[g(ε1),g(ε2),…,g(εn)]T。

(22)

式中：λ=(a0,…,ai)為多項(xiàng)式待定系數(shù)，P(·)為參數(shù)矢量矩陣。

基于該模型，得到在所求解區(qū)間范圍內(nèi)，響應(yīng)面輸出的響應(yīng)區(qū)間[g]及對(duì)應(yīng)的非概率可靠性指標(biāo)η[g]：

(23)

(24)

2.2 基于IARSM的非概率可靠性分析方法

為獲得更為準(zhǔn)確的響應(yīng)面計(jì)算結(jié)果，本文借鑒區(qū)間分割法的區(qū)間邊界組合思想[19]，建立模型更新及求解機(jī)制，并利用輸出響應(yīng)求解非概率可靠性指標(biāo)。

模型更新及求解機(jī)制的主要思想是將區(qū)間自變量Xi劃分為寬度相等的Nd個(gè)子區(qū)間，其中第j(j=1,2,…,Nd)個(gè)子區(qū)間的范圍為

(25)

構(gòu)建子區(qū)間IARSM求解響應(yīng)，搜索全局最優(yōu)值作為輸出，實(shí)現(xiàn)響應(yīng)面迭代更新。尋優(yōu)過(guò)程的優(yōu)化模型為：

min/max [g(ε)]。

s.t.

εi∈[-1,1]，i=1,2,…,k;

εi+k∈[0,1],i=1,2,…,k。

(26)

隨著Nd的增大，對(duì)于任意xi∈Xi,均有Xij與其對(duì)應(yīng)，且{f(x),x∈Xij}→g(Xij)，實(shí)值極限狀態(tài)函數(shù)的解區(qū)間與區(qū)間極限狀態(tài)函數(shù)趨于一致，進(jìn)一步減小ω(E(X))。

基于IARSM進(jìn)行非概率可靠性分析的步驟如下：

步驟1根據(jù)目標(biāo)產(chǎn)品性能及特點(diǎn)建立可靠性極限狀態(tài)函數(shù)的一般形式，識(shí)別函數(shù)中的區(qū)間變量X=(X1,X2,…,Xk)。

步驟3激活響應(yīng)面更新及求解機(jī)制，對(duì)響應(yīng)面輸出結(jié)果進(jìn)行迭代更新：

(1)根據(jù)精度要求，設(shè)定收斂條件ζ，置d=1。

(2)分解Xi的給定區(qū)間，形成寬度相等的Nd個(gè)子空間Wt={R1,R2,…,RNd}，Nd=int(1.5Nd-1)(一般情況下，首次區(qū)間劃分個(gè)數(shù)為函數(shù)區(qū)間變量個(gè)數(shù)k，即N1=k)。

(5)選取第j1，j2個(gè)區(qū)間進(jìn)行局部?jī)?yōu)化，得到該子區(qū)間上的最大、最小值g(d)j1,g(d)j2。

(27)

基于IARSM進(jìn)行非概率可靠性分析的流程圖如圖2所示。

3 案例分析

3.1 數(shù)值案例

根據(jù)材料力學(xué)知識(shí)可知，懸臂梁的撓度f(wàn)與所給參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式為

(28)

將M,a的取值區(qū)間代入式(28)，運(yùn)用區(qū)間運(yùn)算

求得f=[1.312 5,7.031 5] mm。

下面，將該結(jié)構(gòu)作為“黑盒”，運(yùn)用本文方法求解響應(yīng)區(qū)間。依據(jù)式(16)，構(gòu)建撓度f(wàn)的初始區(qū)間仿射響應(yīng)面

f=f0+f1ε1+f2ε2+f3ε3+f4ε4。

(29)

式中fi(i=0,1,…,4)為待求未知量。

采用中心復(fù)合設(shè)計(jì)法，在M,a的區(qū)間范圍內(nèi)抽取9組實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，并利用機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)自動(dòng)分析(Automatic Dynamic Analysis of Mechanical Systems, ADAMS)系統(tǒng)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析。實(shí)驗(yàn)點(diǎn)集合仿真結(jié)果如表1所示。

表1 運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真結(jié)果

依據(jù)式(17)和式(21)可得實(shí)驗(yàn)點(diǎn)集合所對(duì)應(yīng)的噪聲元矩陣

對(duì)噪聲元矩陣及懸臂梁的撓度進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，得到搖桿角位移的區(qū)間仿射響應(yīng)面

[f]=3.500 0+1.468 8ε1+0.437 5ε2+

0.000 1ε3-0.109 4ε4。

(30)

如圖4所示，利用該響應(yīng)面求得撓度f(wàn)的初始響應(yīng)區(qū)間f=[1.484 2,5.406 3]。

激活I(lǐng)ARSM更新及求解機(jī)制，對(duì)輸入?yún)^(qū)間變量進(jìn)行區(qū)間劃分，并設(shè)定收斂條件ζ=0.01。經(jīng)過(guò)6次迭代后，ζ=0.008 9<0.01，結(jié)果收斂，響應(yīng)面最終輸出的響應(yīng)區(qū)間f=[1.574 0,5.314 2]。

為驗(yàn)證響應(yīng)面的計(jì)算結(jié)果精度，本文利用基于區(qū)間分析的Monte Carlo方法[20]進(jìn)行仿真求解，并將該結(jié)果作為基準(zhǔn)，定義區(qū)間寬度的相對(duì)誤差

(31)

式中：ω(gMC)為利用蒙特卡洛方法求得的真實(shí)響應(yīng)區(qū)間寬度，ω(g)為利用其他方法求得的響應(yīng)區(qū)間寬度。

同時(shí)，將區(qū)間仿射響應(yīng)面法同區(qū)間運(yùn)算、區(qū)間截?cái)喾?、區(qū)間組合法進(jìn)行對(duì)比，計(jì)算結(jié)果如表2所示。

表2 計(jì)算結(jié)果對(duì)比表

由表2可知，利用式(28)進(jìn)行區(qū)間運(yùn)算所得的結(jié)果產(chǎn)生區(qū)間擴(kuò)張，寬度相對(duì)誤差達(dá)55.36%，而本文所提出的區(qū)間仿射響應(yīng)面法經(jīng)過(guò)更新后得到的響應(yīng)區(qū)間在分布范圍上接近真實(shí)值，寬度相對(duì)誤差僅為1.60%，相比之下，對(duì)區(qū)間擴(kuò)張的抑制程度較高。由式(7)和式(8)可知，基于該方法求解出的非概率可靠性指標(biāo)中，誤差項(xiàng)ω(E(X))=0.059 0，比區(qū)間運(yùn)算中的ω(E(X))=2.037 8小。因此，區(qū)間仿射響應(yīng)面法對(duì)區(qū)間擴(kuò)張問(wèn)題處理效果較好，計(jì)算得出的非概率可靠性指標(biāo)結(jié)果精度較高。

依據(jù)傳統(tǒng)應(yīng)力—強(qiáng)度干涉模型，構(gòu)建懸臂梁極限狀態(tài)函數(shù)的區(qū)間仿射響應(yīng)面

(32)

基于該響應(yīng)面求解非概率可靠性指標(biāo)

(33)

由計(jì)算結(jié)果可知，η≈0.376 8<1。因此，在不確定參數(shù)區(qū)間范圍內(nèi)，懸臂梁存在失效危險(xiǎn)。

3.2 工程案例

諧波減速器是一種以薄殼彈性變形為理論基礎(chǔ)的新型機(jī)械傳動(dòng)裝置，主要由波發(fā)生器、柔輪、剛輪3部分組成。諧波齒輪傳動(dòng)是在波發(fā)生器作用下，迫使柔輪產(chǎn)生變形，并與剛輪相互作用而達(dá)到傳動(dòng)目的，如圖5所示。

傳動(dòng)誤差是衡量諧波減速器傳動(dòng)精度的重要指標(biāo)之一。雖然減速器傳動(dòng)誤差可通過(guò)理論計(jì)算確定，但由于影響因素較多且函數(shù)關(guān)系復(fù)雜，理論計(jì)算結(jié)果精度較低且計(jì)算量巨大。同時(shí)，目前諧波減速器的傳動(dòng)誤差大多僅考慮由部件加工、裝配引發(fā)的靜態(tài)誤差，未考慮高頻情況下柔輪柔性和機(jī)構(gòu)摩擦引起的滯回誤差對(duì)傳動(dòng)精度的影響。因此，本文利用所提方法對(duì)電機(jī)不同轉(zhuǎn)速下諧波減速器的傳動(dòng)誤差進(jìn)行分析。

首先，分析波發(fā)生器輸入角為50°時(shí)，諧波減速器在兩種情況下的傳動(dòng)誤差。諧波減速器的傳動(dòng)誤差定義為在一定轉(zhuǎn)速條件下柔輪理想輸出位置和實(shí)際輸出位置之差Δθ,

(34)

式中：θm為波發(fā)生器輸入角位置，θl為柔輪輸出角位置，N為諧波減速比。

利用ADAMS構(gòu)建諧波減速器虛擬樣機(jī)，如圖6所示，模型中影響傳動(dòng)精度的確定性參數(shù)設(shè)定如表3所示。

表3 諧波減速器動(dòng)力學(xué)模型確定性參數(shù)

3.2.1 低頻情況(電機(jī)轉(zhuǎn)速為1 r/min)

此時(shí)傳動(dòng)誤差主要為靜態(tài)誤差θp，影響靜態(tài)誤差的各項(xiàng)不確定因素及取值情況如表4所示。

表4 諧波減速器靜態(tài)誤差不確定參數(shù)

選用BBD(Box-Behnken)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)法對(duì)以上參數(shù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)并仿真，傳動(dòng)誤差Δθp的區(qū)間仿射響應(yīng)面

[Δθp]=θm/N-[θl]=50/90-0.559 06+

5.23×10-5ε1-8.13×10-5ε2+3.31×10-5ε3-

1.82×10-4ε4-4.36×10-5ε5+1.34×10-5ε6+

5.62×10-5ε7-3.78×10-5ε8+

5.61×10-5ε9+3.25×10-5ε10。

(35)

激活模型更新機(jī)制，經(jīng)7次迭代后，傳動(dòng)誤差區(qū)間滿(mǎn)足收斂條件Δθp=[-0.003 90,-0.002 92]。此時(shí)，傳動(dòng)誤差主要來(lái)源于靜態(tài)誤差，為進(jìn)一步研究滯回誤差對(duì)傳動(dòng)誤差的影響，利用本文方法對(duì)高頻情況下諧波減速器的傳動(dòng)誤差進(jìn)行分析。

3.2.2 高頻情況(電機(jī)轉(zhuǎn)速為100 r/min)

此時(shí)傳動(dòng)誤差受靜態(tài)誤差和滯動(dòng)誤差共同影響，進(jìn)行傳動(dòng)誤差分析時(shí)，需同時(shí)考慮表4和表5中的不確定因素。選取所有區(qū)間變量均取中值的樣本點(diǎn)帶入模型進(jìn)行仿真，傳動(dòng)誤差變化情況如圖7所示。

表5 諧波減速器滯動(dòng)誤差不確定參數(shù)

利用本文方法構(gòu)建區(qū)間仿射響應(yīng)面,求解傳動(dòng)誤差θ：

[Δθ]=θm/N-[θl]=50/90-0.560 15+

4.19×10-5ε1-5.35×10-5ε2+2.92×10-5ε3-

1.21×10-4ε4-3.84×10-5ε5+5.11×10-5

ε6-4.43×10-5ε7-1.83×10-5ε8+3.59×10-5

ε9+3.72×10-5ε10+6.30×10-6ε11+

3.86×10-5ε12-3.38×10-5ε13-2.81×10-6ε14+

8.32×10-5ε15-3.75×10-6ε16+3.26×10-6ε17+

2.81×10-6ε18-1.39×10-5ε19+4.76×10-5ε20。

(36)

激活模型更新機(jī)制，經(jīng)12次迭代后，傳動(dòng)誤差區(qū)間滿(mǎn)足收斂條件Δθ=[-0.005 07°,-0.003 89°]。

由圖7可以看出，諧波減速器開(kāi)始運(yùn)行時(shí)，由于電機(jī)起步運(yùn)行不穩(wěn)，導(dǎo)致傳動(dòng)精度及靜態(tài)精度波動(dòng)較大;隨著電機(jī)逐漸穩(wěn)定，兩類(lèi)誤差均呈周期性波動(dòng)。同時(shí)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，傳動(dòng)誤差均大于靜態(tài)誤差，多出的部分即為滯回誤差對(duì)傳動(dòng)誤差的影響。利用本文方法得出的誤差區(qū)間也印證了上述結(jié)果。誤差結(jié)果的符號(hào)表示誤差方向，絕對(duì)值為誤差大小。對(duì)比兩誤差區(qū)間中的最大傳動(dòng)誤差，綜合考慮靜態(tài)誤差及滯回誤差的傳動(dòng)誤差(0.005 07°)比僅考慮靜態(tài)誤差時(shí)(0.003 90°)大0.001 17°，相比增加23.1%，因此在對(duì)諧波減速器進(jìn)行傳動(dòng)誤差分析時(shí)，有必要考慮柔性和摩擦的影響。

將本文方法與ADAMS進(jìn)行聯(lián)合仿真計(jì)算，得出電機(jī)穩(wěn)定后，諧波減速器周期性傳動(dòng)誤差帶，如圖8所示。

由圖8可知，諧波減速器在循環(huán)周期內(nèi)的傳動(dòng)誤差區(qū)間為[-0.018 76°,0.017 98°]，根據(jù)設(shè)計(jì)要求，諧波減速器的傳動(dòng)誤差閾值為0.02°，此時(shí)η=1.109 9，滿(mǎn)足可靠性要求。

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文方法的計(jì)算精度，利用如圖9所示的諧波減速器運(yùn)動(dòng)精度測(cè)試平臺(tái)對(duì)不同電機(jī)轉(zhuǎn)速時(shí)的傳動(dòng)誤差進(jìn)行測(cè)試，并與本文計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較。平臺(tái)采用恒溫箱封閉，電機(jī)輸入端與諧波減速器輸出端分別連有角速度和角度傳感器，測(cè)定輸入和輸出端的角速度與角位置。對(duì)比結(jié)果如表6所示。

電機(jī)轉(zhuǎn)速/(r·min-1)計(jì)算值/(°)真實(shí)值/(°)區(qū)間寬度差值/(°)寬度相對(duì)誤差/%1[-0.019 85,0.018 13][-0.019 15,0.018 11]0.000 721.893[-0.018 64,0.019 14][-0.017 55,0.019 11]0.001 121.975[-0.017 00,0.020 04][-0.016 27,0.020 01]0.000 772.0710[-0.019 39,0.020 27][-0.018 46,0.020 24]0.000 962.4250[-0.019 42,0.018 30][-0.018 83,0.018 27]0.000 621.63100[-0.018 76,0.017 98][-0.018 22,0.017 96]0.000 561.52150[-0.017 95,0.017 89][-0.017 43,0.017 87]0.000 541.51

通過(guò)表中數(shù)據(jù)可以看出，兩種情況下，實(shí)驗(yàn)得到的誤差值與計(jì)算結(jié)果均比較接近，寬度相對(duì)誤差在1.5%～2.5%范圍內(nèi)，考慮到相關(guān)參數(shù)的不確定性，相對(duì)誤差在接受范圍之內(nèi)，由此可見(jiàn)本文方法求解精度滿(mǎn)足工程要求。根據(jù)上述結(jié)果求解諧波減速器正常運(yùn)行條件下隨電機(jī)轉(zhuǎn)速變化的可靠性指標(biāo)，如圖10所示。

由圖10可知，兩條曲線(xiàn)吻合度較高，可靠性指標(biāo)—轉(zhuǎn)速曲線(xiàn)呈先下降再上升的趨勢(shì)，主要是由于相同環(huán)境條件下，諧波減速器可靠性指標(biāo)與磨損量有關(guān)，磨損量與接觸載荷比和轉(zhuǎn)速的乘積成正比。當(dāng)轉(zhuǎn)速小于10 r/min時(shí)，隨著轉(zhuǎn)速的升高，接觸載荷比下降的速率較大，但接觸載荷比和轉(zhuǎn)速的乘積卻逐漸增大，因此磨損量增大導(dǎo)致可靠性指標(biāo)下降;當(dāng)轉(zhuǎn)速大于10 r/min時(shí)，隨著轉(zhuǎn)速的升高，接觸載荷比減小較慢，尤其當(dāng)轉(zhuǎn)速大于100 r/min時(shí)，接觸載荷比已趨于0，接觸載荷和轉(zhuǎn)速的乘積逐漸減小，因此可靠性指標(biāo)上升。根據(jù)傳動(dòng)精度可靠性指標(biāo)在工作空間內(nèi)的變化趨勢(shì)，設(shè)計(jì)者應(yīng)在設(shè)計(jì)期間考慮柔輪柔性和摩擦對(duì)傳動(dòng)精度的影響，同時(shí)根據(jù)任務(wù)需求合理選擇電機(jī)轉(zhuǎn)速，控制傳動(dòng)誤差在可接受范圍內(nèi)，從而提高諧波減速器的傳動(dòng)精度。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)機(jī)械產(chǎn)品非概率可靠性分析中區(qū)間運(yùn)算引發(fā)的區(qū)間擴(kuò)張，提出的區(qū)間仿射響應(yīng)面方法，有效地抑制了區(qū)間擴(kuò)張，解決了以下問(wèn)題：

(1)將仿射理論與區(qū)間響應(yīng)面法相結(jié)合，構(gòu)建區(qū)間仿射響應(yīng)面模型，有效抑制區(qū)間運(yùn)算中的區(qū)間擴(kuò)張問(wèn)題。

(2)通過(guò)區(qū)間邊界的分割組合建立模型更新和求解機(jī)制，提高了響應(yīng)面的計(jì)算精度。

(3)經(jīng)案例驗(yàn)證，該方法可解決傳統(tǒng)機(jī)械產(chǎn)品可靠性分析中無(wú)解析極限狀態(tài)函數(shù)的問(wèn)題，具有通用性。

為使本文提出的方法應(yīng)用更廣，未來(lái)可將該方法拓展至可靠性設(shè)計(jì)、優(yōu)化等領(lǐng)域。