陳濤 胡鑫 向中凡 李波 陳永忠

（1.成都產(chǎn)品質(zhì)量檢驗(yàn)研究院有限責(zé)任公司 2.西華大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院）

0 引言

目前，電動(dòng)汽車被視為替代燃油汽車的主要汽車類型。電動(dòng)汽車一般有電機(jī)集中驅(qū)動(dòng)和四輪獨(dú)立驅(qū)動(dòng)等方式。本文針對(duì)電動(dòng)汽車輪轂驅(qū)動(dòng)所采用的外轉(zhuǎn)子開關(guān)磁阻電機(jī)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模分析。

外轉(zhuǎn)子電機(jī)具有直接驅(qū)動(dòng)輪胎、減少齒輪箱、傳動(dòng)軸等優(yōu)點(diǎn)。開關(guān)磁阻電機(jī)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、成本低、控制靈活以及效率高等優(yōu)點(diǎn)[1]。外轉(zhuǎn)子開關(guān)磁阻電機(jī)采用雙凸極結(jié)構(gòu)，定、轉(zhuǎn)子均采用硅鋼片疊壓而成。與傳統(tǒng)內(nèi)轉(zhuǎn)子開關(guān)磁阻電機(jī)不同的是：外轉(zhuǎn)子開關(guān)磁阻電機(jī)采用內(nèi)定子-外轉(zhuǎn)子模式。正如文獻(xiàn)[2]中對(duì)外轉(zhuǎn)子開關(guān)磁阻電機(jī)所描述，將產(chǎn)生磁力線的主繞組布置在內(nèi)定子上面，磁力線通過氣隙、外轉(zhuǎn)子齒和外轉(zhuǎn)子磁軛與內(nèi)定子形成閉合磁路。

眾所周知，磁路可以由電感L來進(jìn)行描述，而電感主要取決于繞組匝數(shù)，磁路幾何形狀與尺寸，磁路材料的磁導(dǎo)率。在電磁能量轉(zhuǎn)換裝置中，氣隙將可動(dòng)磁路部分和其他部分分離。大多數(shù)情況下，因?yàn)殍F磁材料的磁導(dǎo)率高，磁路的磁阻Rm主要為氣隙的磁阻。因此，大多數(shù)能量?jī)?chǔ)存在氣隙中[3]。因此，外轉(zhuǎn)子開關(guān)磁阻電機(jī)的數(shù)學(xué)模型主要的目的是在外轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)選取其中一個(gè)瞬態(tài)，對(duì)氣隙磁導(dǎo)的分割求取，進(jìn)一步達(dá)到電感和電磁轉(zhuǎn)矩的求取分析。

文獻(xiàn)[4-5]提出了一種無軸承開關(guān)磁阻電機(jī)的數(shù)學(xué)模型，該數(shù)學(xué)模型主要內(nèi)容是基于直線磁路和新型橢圓磁路分割來分析氣隙磁導(dǎo)，保證了電機(jī)在最大電感位置電磁轉(zhuǎn)矩和電感的連續(xù)性。同時(shí)也描述了沿α和β方向徑向懸浮力之間的耦合關(guān)系。

本文通過磁路和氣隙的對(duì)比分析，外轉(zhuǎn)子開關(guān)磁阻電機(jī)的氣隙分割采用文獻(xiàn)[5]的分割方式，通過得到外轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)過程中電感與轉(zhuǎn)動(dòng)角的關(guān)系式，得到電磁轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)動(dòng)角的關(guān)系式。最后用Matlab進(jìn)行圖形描述，并計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)過程中的電磁轉(zhuǎn)矩。

1 外轉(zhuǎn)子開關(guān)磁阻電機(jī)的運(yùn)行原理

外轉(zhuǎn)子開關(guān)磁阻電機(jī)作為電動(dòng)汽車輪轂驅(qū)動(dòng)電機(jī)，需要減小轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)，因此本文以四相12/16結(jié)構(gòu)的外轉(zhuǎn)子開關(guān)磁阻電機(jī)為例，在忽略掉因電機(jī)在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中沿α和β方向的微弱位移，理想狀況下，圖1中是外轉(zhuǎn)子開關(guān)磁阻電機(jī)A相導(dǎo)通的原理圖，實(shí)線表示電機(jī)內(nèi)定子四極繞組電流ia產(chǎn)生的對(duì)稱四極磁通。從圖中可以看出，外轉(zhuǎn)子開關(guān)磁阻電機(jī)與內(nèi)轉(zhuǎn)子開關(guān)磁阻電機(jī)一樣，由麥克斯韋應(yīng)力理論可知，外轉(zhuǎn)子開關(guān)磁阻電機(jī)依然遵循最小磁阻原理。因此四極磁通中大部分磁力線在氣隙中是彎曲的，彎曲的磁力線中的切向磁力線產(chǎn)生使電機(jī)外轉(zhuǎn)子沿固定方向轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)矩，而切向磁力線所產(chǎn)生的力因方向相反而抵消掉[6]。

圖1 外轉(zhuǎn)子開關(guān)磁阻電機(jī)運(yùn)行原理

2 外轉(zhuǎn)子開關(guān)磁阻電機(jī)的數(shù)學(xué)模型

2.1 數(shù)學(xué)模型設(shè)定條件

電機(jī)的數(shù)學(xué)模型是對(duì)電機(jī)理論分析最重要的一個(gè)環(huán)節(jié)，本文將在內(nèi)轉(zhuǎn)子開關(guān)磁阻電機(jī)的磁場(chǎng)分析的基礎(chǔ)上，對(duì)外轉(zhuǎn)子開關(guān)磁阻電機(jī)的氣隙磁路進(jìn)行分割，推導(dǎo)出適用于求取外轉(zhuǎn)子開關(guān)磁阻電機(jī)氣隙磁導(dǎo)的計(jì)算方法。然后根據(jù)氣隙磁導(dǎo)求取電感和電磁轉(zhuǎn)矩表達(dá)式，達(dá)到數(shù)學(xué)建模的目的。因此，在本次數(shù)學(xué)模型中，12/8三相外轉(zhuǎn)子開關(guān)磁阻電機(jī)采用有軸承結(jié)構(gòu)，三相輪流導(dǎo)通。以圖1中的A相繞組進(jìn)行分析，與氣隙長(zhǎng)度相比，忽略外轉(zhuǎn)子的徑向位移；忽略定子交鏈轉(zhuǎn)子槽底的磁通；定義外轉(zhuǎn)子與定子極正對(duì)時(shí)的角度為0度，此時(shí)邊緣磁通為0；忽略實(shí)際電機(jī)中出現(xiàn)的磁飽和現(xiàn)象以及漏磁通；外轉(zhuǎn)子順時(shí)針旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角為正。

2.2 電感表達(dá)式的求取

圖2 A相外轉(zhuǎn)子開關(guān)磁阻電機(jī)等效磁路圖

文獻(xiàn)[4]提供了一組求取某一相繞組電感的表達(dá)式：

Lma就是相繞組的自感，P=P1+P2+P3+P4。

在本文中討論外轉(zhuǎn)子開關(guān)磁阻電機(jī)時(shí)，由于忽略外轉(zhuǎn)子的徑向位移，因此，氣隙長(zhǎng)度不受外轉(zhuǎn)子徑向影響，所以氣隙磁導(dǎo)P1、P2、P3、P4相等。在內(nèi)定子主繞組自感遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于互感，因此互感可以忽略不計(jì)[7]，所以僅需要計(jì)算內(nèi)定子繞組上的自感。由式（1）簡(jiǎn)化為：

2.3 外轉(zhuǎn)子開關(guān)磁阻電機(jī)的氣隙磁導(dǎo)

根據(jù)對(duì)外轉(zhuǎn)子開關(guān)磁阻電機(jī)的有限元分析而產(chǎn)生的磁力線分布圖，內(nèi)定子繞組產(chǎn)生的氣隙磁路的邊緣磁力線接近于橢圓[2,8]。因此本文以圖1中畫出磁感線的A相繞組為例，對(duì)其中一個(gè)繞組按照橢圓進(jìn)行磁路分割。如圖3所示，該氣隙磁導(dǎo)分為三部分組成：外轉(zhuǎn)子與內(nèi)定子之間重疊部分氣隙磁導(dǎo)為Pc和邊緣磁路產(chǎn)生的氣隙磁導(dǎo)Pa和Pb。由于磁路分割的對(duì)稱性，Pa與Pb近似相等，即A相的P1滿足下列公式：

圖3 A相一繞組的氣隙磁路分割

將A相一繞組分割如圖3所示的三部分，從外轉(zhuǎn)子開關(guān)磁阻電機(jī)磁路有限元分析[7]和無軸承內(nèi)轉(zhuǎn)子磁路分布的對(duì)比分析，外轉(zhuǎn)子開關(guān)磁阻電機(jī)的橢圓磁力線的短半軸位于外轉(zhuǎn)子齒上，長(zhǎng)為t，而長(zhǎng)半軸位于內(nèi)定子齒上，長(zhǎng)度為ε+kt。磁路系數(shù)k是轉(zhuǎn)角θ和氣隙相關(guān)的函數(shù)[5]，可以表示為：

前面提到，有軸承外轉(zhuǎn)子開關(guān)磁阻電機(jī)中，電機(jī)外轉(zhuǎn)子徑向位移忽略不計(jì)，即理想狀態(tài)下，分析外轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)角度與氣隙磁導(dǎo)的關(guān)系，如圖4所示，θ2表示電機(jī)外轉(zhuǎn)子與內(nèi)定子轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)重疊角度的一半，而θ則表示外轉(zhuǎn)子與內(nèi)定子中心所形成的未重合的部分的夾角。

圖4 A相一繞組氣隙與定、轉(zhuǎn)子間數(shù)量關(guān)系

在圖4中，滿足如下幾何關(guān)系：

由圖3可以看出，將電機(jī)外轉(zhuǎn)子與內(nèi)定子之間重合的部分磁路近似于直線磁路，則這一部分的氣隙磁導(dǎo)Pc滿足下列表達(dá)式：

式中，h為外轉(zhuǎn)子電機(jī)中內(nèi)定子軸向內(nèi)定子鐵心長(zhǎng)度；μ0為空氣中的磁導(dǎo)率；r為外轉(zhuǎn)子內(nèi)徑。

上述Pa=Pb，因此dPa的截面積ds可以近似表示為：

表示兩平行面磁路長(zhǎng)度，而由于Pa和Pb部分是橢圓部分，因此引入橢圓周長(zhǎng)計(jì)算公式求得

將式（7）帶入式（8）可得氣隙磁導(dǎo)Pa和Pb部分。

由式（10）和式（3）可得：

由式（11）可得外轉(zhuǎn)子開關(guān)磁阻電機(jī)的電感表達(dá)式：

2.4 外轉(zhuǎn)子開關(guān)磁阻電機(jī)的數(shù)學(xué)模型計(jì)算理論電磁轉(zhuǎn)矩

開關(guān)磁阻電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩的求取一般采用虛功原理，大多數(shù)能量?jī)?chǔ)存在氣隙中。因此，電磁轉(zhuǎn)矩必然與氣隙磁場(chǎng)儲(chǔ)能有關(guān)，作用在外轉(zhuǎn)子上面的電磁轉(zhuǎn)矩可由氣隙磁場(chǎng)儲(chǔ)能W對(duì)θ求偏導(dǎo)，進(jìn)行近似計(jì)算[3]。

由于忽略電機(jī)內(nèi)定子繞組互感，因此A相繞組齒極下面氣隙磁場(chǎng)能量為W為：

綜合式（10）和式（11）可以得到：

由式（12）可得：當(dāng)θ≥0時(shí)，

當(dāng)θ＜0時(shí)，

得到外轉(zhuǎn)子開關(guān)磁阻電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩的公式：

當(dāng)θ≥0時(shí)，

當(dāng)θ＜0時(shí)，

對(duì)于A相瞬間電磁轉(zhuǎn)矩在一個(gè)開通周期內(nèi)的平均電磁轉(zhuǎn)矩為：

3 外轉(zhuǎn)子開關(guān)磁阻電機(jī)數(shù)學(xué)模型輸出

本實(shí)驗(yàn)通過普通開關(guān)磁阻電機(jī)推演，得到電機(jī)外轉(zhuǎn)子外徑為262mm。參考開關(guān)磁阻電機(jī)相關(guān)參數(shù)設(shè)計(jì)[9]。外轉(zhuǎn)子部分減去軛高和齒高，外轉(zhuǎn)子內(nèi)徑為198mm，內(nèi)定子外徑為197mm。氣隙長(zhǎng)度為0.5mm。為了與Ansoft Maxwell2D靜態(tài)場(chǎng)仿真結(jié)果對(duì)比，內(nèi)定子鐵心長(zhǎng)度設(shè)置為1m。繞組匝數(shù)為27匝。因此，利用Matlab中的m函數(shù)對(duì)外轉(zhuǎn)子開關(guān)磁阻電機(jī)中A相繞組導(dǎo)通時(shí)產(chǎn)生的電感進(jìn)行計(jì)算所得到的結(jié)果如圖5、6所示。

4 結(jié)束語(yǔ)

由于外轉(zhuǎn)子開關(guān)磁阻電機(jī)某一相繞組導(dǎo)通時(shí)磁路的有限元分析，與無軸承開關(guān)磁阻電機(jī)的磁路有限元分析相似，因此引用無軸承開關(guān)磁阻電機(jī)分割磁路的方法，對(duì)外轉(zhuǎn)子開關(guān)磁阻電機(jī)進(jìn)行磁路分割，該方法能夠很好地計(jì)算外轉(zhuǎn)子開關(guān)磁阻電機(jī)理想狀況下的氣隙磁導(dǎo)，解決外轉(zhuǎn)子開關(guān)磁阻電機(jī)電感和電磁轉(zhuǎn)矩?zé)o公式化問題，還精確地得出外轉(zhuǎn)子開關(guān)磁阻電機(jī)在理想狀態(tài)下具有相對(duì)恒定的電磁轉(zhuǎn)矩。為外轉(zhuǎn)子開關(guān)磁阻電機(jī)實(shí)際設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。

圖5 A相導(dǎo)通時(shí)，電感La隨角度θ的變化曲線

圖6 Maxwell2D靜態(tài)場(chǎng)電感曲線仿真結(jié)果