張書(shū)赫 邵夢(mèng) 周金華

(安徽醫(yī)科大學(xué)生物醫(yī)學(xué)工程系,合肥 230032)

(2018年5月8日收到;2018年9月29日收到修改稿)

1 引 言

隨著激光技術(shù)的發(fā)展與波前調(diào)制技術(shù)的進(jìn)步,越來(lái)越多具有新奇性質(zhì)的光場(chǎng)呈現(xiàn)在人們眼前.例如厄米-高斯光束,它的橫截面光斑分布為矩形矩陣狀;拉蓋爾-高斯光束攜帶軌道角動(dòng)量,強(qiáng)聚焦后能使被俘獲物體產(chǎn)生規(guī)則的旋轉(zhuǎn)[1];無(wú)衍射光束[2]的光斑強(qiáng)度與大小在較長(zhǎng)的傳輸范圍內(nèi)保持不變;自加速光束[3,4]的主瓣光斑在均勻介質(zhì)中沿著曲線傳播.在這些新奇的光束中,結(jié)構(gòu)光束(包括最經(jīng)典的三類(lèi)結(jié)構(gòu)光束為厄米-高斯光束、拉蓋爾-高斯光束以及Ince-高斯光束[5,6])由于具有復(fù)雜的相位信息與光強(qiáng)分布被廣泛應(yīng)用于信息傳遞[7]、顯微成像[8,9]或微粒操縱[10?12]等領(lǐng)域,促進(jìn)了相應(yīng)領(lǐng)域技術(shù)的發(fā)展.

在不同坐標(biāo)系下赫姆霍茲波動(dòng)方程在一定的邊界和近似條件[6](如傍軸近似,緩變近似等)的特解[13],對(duì)應(yīng)為結(jié)構(gòu)光束.從設(shè)計(jì)激光器的角度分析,對(duì)于某一光學(xué)諧振腔而言,選取解方程的坐標(biāo)系即選擇光學(xué)諧振腔鏡面的幾何形狀[14],赫姆霍茲方程相對(duì)應(yīng)的解就為該光學(xué)諧振腔能穩(wěn)定生成的光束.例如矩形曲面反射鏡的諧振腔能獲得厄米-高斯光束及其高階模式,而在圓形曲面反射鏡下能獲得拉蓋爾-高斯光束及其高階模式[15].

從幾何光學(xué)的角度來(lái)分析,光線在諧振腔的兩個(gè)鏡面之間穩(wěn)定的往復(fù)反射,可以等效為某質(zhì)點(diǎn)在曲面反彈板之間的往返反彈.若將質(zhì)點(diǎn)在兩個(gè)反彈板的往復(fù)運(yùn)動(dòng)向中間平面進(jìn)行投影,其投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)呈現(xiàn)為二維的簡(jiǎn)諧振動(dòng),而這個(gè)運(yùn)動(dòng)軌跡的形狀為橢圓[16].考慮到龐加萊球面上的點(diǎn)可以描述單位圓內(nèi)的橢圓,2017年Alonso和Dennis[16]提出了光線龐加萊球法設(shè)計(jì)復(fù)雜結(jié)構(gòu)光束的一般方法.該方法可再現(xiàn)厄米-高斯光束與拉蓋爾-高斯光束,并給出這些光束的光線表征與光場(chǎng)沿光線的傳輸方式[17]以及設(shè)計(jì)一些其他的結(jié)構(gòu)光束.光線龐加萊球法給研究結(jié)構(gòu)光束的設(shè)計(jì)與傳輸提供了新穎的、可視化的方案.

本文運(yùn)用光線龐加萊球法結(jié)合梅花曲線設(shè)計(jì)了一系列結(jié)構(gòu)光束,并展示了這些光束在束腰面的光場(chǎng)復(fù)振幅分布以及該類(lèi)光束在一定條件下退化為拉蓋爾-高斯光束以及局部無(wú)衍射光束[16](因?yàn)檎嬲臒o(wú)衍射光束,例如貝塞爾光束、馬蒂厄光束和Airy光束等,都具有無(wú)限的能量,以保證光強(qiáng)在傳播無(wú)限遠(yuǎn)的距離內(nèi)都不發(fā)散.而文中的光束光強(qiáng)分布均被限制在光束的外焦散線內(nèi),只能在一定的傳播范圍內(nèi)保證無(wú)衍射的特性,故稱(chēng)為局部無(wú)衍射光束).最后本文采用角譜衍射[18]展示這些結(jié)構(gòu)光束在真空中的傳輸特性,包括光束的自修復(fù)特性以及無(wú)衍射特性,并采用光線追跡對(duì)這些性質(zhì)予以解釋.

2 光線龐加萊球法構(gòu)建梅花形結(jié)構(gòu)光束

2.1 龐加萊球與橢圓光線軌道

如圖1所示,龐加萊單位球面上任意一點(diǎn)由經(jīng)度角φ與緯度角θ共同確定.不同于以往龐加萊球描述偏振態(tài)的關(guān)系,這里僅取其球面上點(diǎn)的方位角與瓊斯向量v的關(guān)系為[16]

每一個(gè)瓊斯向量v可確定唯一一個(gè)實(shí)空間內(nèi)斜橢圓的參數(shù)方程Q(τ)=(Qx,Qy)以及從Q點(diǎn)出發(fā)的光線的橫向方向向量(x和y方向)P(τ)=(Px,Py),即

其中0 6 τ 6 2π;Q0為非負(fù)實(shí)數(shù),決定了光束束腰寬度,其值越大光束束腰越寬;P0為非負(fù)實(shí)數(shù),決定了光線偏離z軸的程度,其值越大光線偏離z軸角度越大.光線從橢圓上以Q(τ)為起點(diǎn),以方向[P(τ),1]傳播(在傍軸條件下有|P(τ)|? 1).這樣均勻介質(zhì)下光線方程(ray equation)就可以寫(xiě)為Q+zP.將這些光線方程結(jié)合文獻(xiàn)[17]中光線構(gòu)建光場(chǎng)的理論,能構(gòu)建光束在三維空間中的光場(chǎng)分布.雖然該方法直接計(jì)算三維光場(chǎng)分布較為復(fù)雜,但是它經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化后可以推導(dǎo)出光束在束腰平面內(nèi)的光場(chǎng)分布公式(見(jiàn)第2.3節(jié)(9)式),并且光束在真空中傳輸后的光場(chǎng)可以通過(guò)衍射理論計(jì)算得到,故本文采用光線龐加萊球法計(jì)算光束束腰面的光場(chǎng)分布,并結(jié)合角譜衍射理論計(jì)算光束的三維光場(chǎng)分布.

理論上龐加萊球面的任意一組曲線都可以用來(lái)構(gòu)建對(duì)應(yīng)的光場(chǎng),而直接分析三維曲線較為復(fù)雜.為了簡(jiǎn)化分析,我們只考慮位于龐加萊球上半球面的曲線.將該曲線投影到z=0平面(赤道平面),這樣龐加萊球面的曲線與其赤道平面的投影曲線成為唯一的對(duì)應(yīng)關(guān)系——在z=0平面上有且僅有一條曲線與龐加萊球面上已知曲線形狀對(duì)應(yīng).研究龐加萊球面上三維曲線的問(wèn)題從而簡(jiǎn)化為研究赤道平面的單位圓(Poincaré equatorial disk,PED)內(nèi)二維曲線問(wèn)題.

圖1 龐加萊球面上點(diǎn)與實(shí)空間中橢圓的對(duì)應(yīng)關(guān)系 (a)龐加萊球面上的點(diǎn)由經(jīng)度角φ與緯度角θ共同確定;(b)實(shí)空間內(nèi)橢圓的參數(shù),可通過(guò)(1)式與(2a)式由龐加萊球面上的點(diǎn)來(lái)確定(參考視頻mov1.avi)Fig.1.Relationship between an Ellipse in real space and a point on the Poincaré sphere:(a)The location of a point on Poincaré sphere is determined by longitude φ and latitude θ;(b)the parameter of an ellipse in real space can be described by a point on Poincaré sphere given by Eq.(1)and Eq.(2a)(see also mov1.avi).

2.2 梅花曲線作為PED路徑

選取梅花曲線作為龐加萊球面空間曲線在PED內(nèi)的投影路徑,單位圓內(nèi)的梅花曲線可以由心形線改寫(xiě)而來(lái)[19],其參數(shù)方程為

參數(shù)0 6 η 6 2π;非負(fù)整數(shù)b為花瓣數(shù);無(wú)量綱參數(shù)a控制梅花填充PED單位圓的程度,a越大,曲線越趨向于單位圓.圖2(a)展示了PED單位圓內(nèi)a=b=3的三瓣梅花曲線,該曲線為圖2(b)中龐加萊球面上空間曲線在PED上的投影.根據(jù)幾何關(guān)系,龐加萊球面點(diǎn)的經(jīng)度角φ與緯度角θ表示為η的參數(shù)方程,即

值得注意的是,并非所有由(3)式描述的梅花形PED路徑都能適于構(gòu)建光場(chǎng).為了構(gòu)建合理的結(jié)構(gòu)光場(chǎng),參數(shù)Q0和P0需要滿(mǎn)足第一個(gè)量子化條件[16]

其中N為非負(fù)整數(shù);k=2π/λ為光波數(shù),λ為光波長(zhǎng).該量子化條件限制Q0和P0只能選取為分立值.以基模高斯光束束腰半徑ω0為參考,Q0可表示為

王某某在網(wǎng)上看到快遞已被程瀚簽收后，便打電話過(guò)去要錢(qián)，誰(shuí)知被程瀚態(tài)度強(qiáng)硬地拒絕。坐過(guò)牢的李某某覺(jué)得情況不對(duì)勁，便讓王某某趕緊丟掉手機(jī)，自己也逃往千里之外的內(nèi)蒙古鄂爾多斯。

圖2 PED路徑與龐加萊球面上三維曲線的關(guān)系 (a)PED內(nèi)的投影為梅花曲線;(b)龐加萊球面曲線,該曲線所包絡(luò)的龐加萊球面上的曲面面積為?,它在PED內(nèi)的投影即是(a)中的PED路徑Fig.2.Relationship between Plum blossom PED path and a spatial curve on the Poincaré sphere:(a)A plumblossom curve PED path;(b)a space curve(colorful)lays on the Poincaré sphere,the area of sphere surface within the colorful curve is ?.The PED path in Fig.2(a)is the projection of the colorful space curve on Poincaré sphere.

根據(jù)(6)式和光束束腰半徑ω0就可得到Q0的值,進(jìn)一步通過(guò)(5)式獲得P0的值.此外,龐加萊球面上三維曲線所包圍的球面部分的曲面面積?為關(guān)于a和b的函數(shù).則第二個(gè)量子化條件為[16]

由于(2)式確定的橢圓尺寸依賴(lài)于Q0的大小,為了統(tǒng)一表示,這里令Q0=Q/Q0將坐標(biāo)系歸一化,使橢圓均被歸一化到同一單位圓內(nèi),這個(gè)單位圓也被稱(chēng)為物理盤(pán)(physical disk).至此,PED上每一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于龐加萊球上半球面上唯一的點(diǎn),并對(duì)應(yīng)于物理盤(pán)上唯一的一個(gè)橢圓.

如圖3所示,圖3(a1)中PED內(nèi)一條三瓣梅花曲線c,過(guò)曲線c上每一點(diǎn)可找到與c外切且與單位圓內(nèi)切的圓(圖3(a1)中青色小圓),記這些圓的圓心為t1;此外還能找到與c內(nèi)切且與單位圓內(nèi)切的圓(圖3(a1)中粉色小圓),記這些圓的圓心為t2.t1與t2的坐標(biāo)可以通過(guò)數(shù)值求解的方法獲得,根據(jù)中軸線的定義可知t1與t2即為PED曲線與單位圓的中軸線[20].圖3(a2)為完整相切曲線.在物理盤(pán)上,根據(jù)坐標(biāo)變換

可以將PED內(nèi)t1與t2的點(diǎn)分別映射到物理盤(pán)內(nèi)的q1與q2,如圖3(b1)所示(為清晰展示,圖3(b1)僅繪出q1與q2曲線中一部分,完整的曲線見(jiàn)圖3(b2)).q1與q2構(gòu)成了歸一化尺寸橢圓Q0=Q/Q0的外包絡(luò)與內(nèi)包絡(luò),乘以系數(shù)Q0后,就構(gòu)成了實(shí)空間光束束腰面的焦散線,見(jiàn)圖3(b2).外焦散線(藍(lán)色曲線)決定了光束光斑圖樣的包絡(luò)(例如厄米-高斯光束的矩形光斑陣對(duì)應(yīng)了矩形外焦散線),內(nèi)焦散線(洋紅色曲線)決定了光束內(nèi)部光斑較亮區(qū)域的位置.此外,擁有內(nèi)焦散線的光束還具有一定的自修復(fù)特性[21].

圖3 PED內(nèi)曲線每個(gè)點(diǎn)構(gòu)成物理盤(pán)內(nèi)的橢圓(a1)PED內(nèi)梅花曲線路徑以及兩中軸線t1與t2的一部分;(b1)物理盤(pán)上的橢圓以及q1和q2的曲線一部分;(a2)完整的t1(深藍(lán)色)與t2(洋紅色)曲線;(b2)完整的q1與q2曲線,他們分別構(gòu)成橢圓的外與內(nèi)包絡(luò)線,對(duì)應(yīng)于光束的外與內(nèi)焦散線(參考視頻mov2.avi)Fig.3.Each point in PED path corresponds to an ellipse in physical disk:(a1)Plum blossom PED path and parts of medial axes t1and t2;(b1)ellipses in physical disk and parts of q1and q2curves;(a2)full path of t1(deep blue)and t2(magenta);(b2)full path of q1and q2,q1and q2are ellipses’envelope curves,q1is the outer curve and q2is inner curve.They represent outer caustic and inner caustic of beam,respectively(See also mov2.avi).

當(dāng)選取滿(mǎn)足(5)和(7)式兩個(gè)量子化條件的參數(shù)Q0,P0,a和b后,便可確定t1與t2或q1與q2的路徑.

2.3 束腰面上光場(chǎng)計(jì)算

結(jié)構(gòu)光束的束腰面上光場(chǎng)復(fù)振幅分布可由(9)式確定[16],

(11)式中上標(biāo)T表示向量轉(zhuǎn)置.此外(9)式中UN代表每個(gè)橢圓的光場(chǎng)貢獻(xiàn),其計(jì)算式為

其中HN為N階厄米多項(xiàng)式.

(9)式的物理意義可以理解為“束腰面上的光場(chǎng)視作每個(gè)橢圓軌道的光場(chǎng)乘以對(duì)應(yīng)的相位延遲后的干涉疊加”[16].對(duì)于滿(mǎn)足第二個(gè)量子化條件(7)式的不同的曲線參數(shù)a和b,當(dāng)選取合適的參數(shù)Q0和P0后就可以得到一個(gè)對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)光束束腰面光場(chǎng)分布.從(4)—(9)式可以發(fā)現(xiàn),參數(shù)Q0與P0只影響光束的束腰大小與光線方向,而梅花曲線參數(shù)a與b決定了光場(chǎng)分布圖樣.當(dāng)花瓣數(shù)b預(yù)先確定后,只需要計(jì)算滿(mǎn)足(7)式的參數(shù)a,即計(jì)算整個(gè)束腰面上的光場(chǎng)分布.本文將展示b=0與b=1兩個(gè)特殊花瓣數(shù)下的結(jié)構(gòu)光場(chǎng)以及一個(gè)花瓣數(shù)為b=5情況下的結(jié)構(gòu)光場(chǎng).

3 梅花結(jié)構(gòu)光束的傳輸特性

在下列計(jì)算中均選取N=45,n=15,λ=1.064μm和ω0=10μm(Q0≈ 67.82μm)的光束參數(shù).光束瑞利距離zR=πω20/λ≈295.26μm.

3.1 b=0的結(jié)構(gòu)光束

當(dāng)b=0時(shí)梅花曲線(3)式退化為半徑等于[a/(1+a)]2的圓方程,此時(shí)滿(mǎn)足(7)式的參數(shù)a≈35.82.由梅花曲線構(gòu)建的結(jié)構(gòu)光束如圖4所示.在圖4(a)中,PED路徑為圓形,其兩個(gè)中軸線t1與t2同樣為圓形.圖4(b)展示了從PED路徑對(duì)應(yīng)到物理盤(pán)后的橢圓及其內(nèi)外焦散線的結(jié)構(gòu)分布.可見(jiàn)用于構(gòu)建該光束的橢圓形狀相同,只是旋轉(zhuǎn)的角度不同.其內(nèi)焦散線與外焦散線分別對(duì)應(yīng)于洋紅色以及深藍(lán)色曲線.根據(jù)(9)式構(gòu)建得到光強(qiáng)分布(圖4(c))與相位分布(圖4(d)),可以證明該光束即為拉蓋爾-高斯光束[16].由于選擇參數(shù)N=45,n=15,則光束對(duì)應(yīng)的徑向量子數(shù)p=n=15,角向量子數(shù)l=N?2n=15,符合拉蓋爾-高斯光束的波動(dòng)方程公式所計(jì)算的結(jié)果.

圖4 b=0梅花曲線構(gòu)建的結(jié)構(gòu)光場(chǎng) (a)PED內(nèi)梅花曲線變?yōu)閳A,t1與t2為同心圓;(b)物理盤(pán)上橢圓的分布;(c),(d)分別為(9)式構(gòu)建得到的光束束腰上光強(qiáng)與相位分布,該光束同時(shí)也是軌道量子數(shù)l=15、徑向量子數(shù)p=15的拉蓋爾-高斯光束Fig.4.A structured beam with b=0:(a)The Plumblossom curve turns into circle.Medial axes t1and t2are concentric circles;(b)ellipses in physical disk;(c)the intensity pattern;(d)the phase pattern.This is also known as a Laguerre-Gaussian beam with l=15 and p=15.

3.2 b=1的結(jié)構(gòu)光束

當(dāng)b=1時(shí),a≈27.42,梅花形結(jié)構(gòu)光束如圖5所示.梅花曲線(3)式退化為圖5(a)中的心形線.由于此時(shí)(3)式中參數(shù)a的值相對(duì)正弦部分很大,且正弦部分變化緩慢,故心形線趨向于一個(gè)圓.中軸線t1近似為一個(gè)離心率很小的橢圓,中軸線t2集中在單位圓的圓心附近,近似為一個(gè)點(diǎn).其光束外焦散線q1近似為離心率很小的橢圓,內(nèi)焦散線q2匯聚至兩個(gè)點(diǎn)如圖5(b)所示.光束光強(qiáng)分布在內(nèi)焦散線附近明顯處于峰值,如圖5(c)所示.由于光線與這兩條焦散線相切,光波沿著這兩條三維內(nèi)焦散線相干疊加,使得光束具有局部無(wú)衍射特性.

圖5 b=1時(shí)梅花曲線構(gòu)建的光束 (a)PED路徑為緊貼單位圓的心形線;(b)物理盤(pán)內(nèi)橢圓及其焦散線分布情況;(c),(d)光束束腰面上的光強(qiáng)與相位分布;注意到光強(qiáng)在內(nèi)焦散線附近變強(qiáng)Fig.5.Structured beam with b=1:(a)The plumblossom curve is turned to be a heart curve;(b)ellipses in physical disk,the inner caustic is then concentrating to two points which make beam having nondiffraction feature;(c)intensity pattern;(d)phase pattern.Noticed that the intensity near the caustic becomes stronger.

我們采用角譜衍射計(jì)算圖5構(gòu)建的光束在yoz面上傳播的光強(qiáng)分布,并使用光線的起點(diǎn)與終點(diǎn)兩個(gè)端點(diǎn)表示光束在xoy面上的光線分布,以此來(lái)演示光束的自修復(fù)性質(zhì).如圖6所示,在圖6(a1)的兩個(gè)焦散線處的光斑光強(qiáng)在一定范圍內(nèi)保持不變.在束腰面上,光線的起點(diǎn)與傳輸方向由(2)式確定.圖6(a2)為光束束腰平面內(nèi)光線傳播的起點(diǎn)分布,圖中使用深藍(lán)色點(diǎn)表示處于光束內(nèi)部的光線端點(diǎn),由內(nèi)向外逐漸變綠.由于光線是傾斜的,隨著光束傳輸至z=500μm處,如圖6(a3)所示,內(nèi)部光線逐漸轉(zhuǎn)移到光束外部,而光束外部的光線逐漸轉(zhuǎn)移到光束內(nèi)部,正是這種光線的轉(zhuǎn)移使得光束出現(xiàn)了自修復(fù)的特性.視頻mov3.avi展示了光線的轉(zhuǎn)移過(guò)程.當(dāng)遮擋住光束中心位置時(shí)(遮擋半徑r<30μm),如圖6(b1)所示,隨著光束的傳輸,光束中心的光斑逐漸恢復(fù).這一被遮擋的光束空間傳播過(guò)程用光線表征,如圖6(b2)與圖6(b3)所示.當(dāng)遮擋住中心的光線(圖6(b2)),隨著光束的傳輸,有來(lái)自周?chē)墓饩€填補(bǔ)中心光線的空缺(圖6(b3)),使光束自我修復(fù).當(dāng)遮擋住光束周?chē)沫h(huán)形區(qū)域(r>30μm),如圖6(c1)所示.由于此時(shí)遮擋區(qū)域與圖6(b1)的遮擋區(qū)域互補(bǔ),故圖6(c1)的光場(chǎng)與圖6(b1)的光場(chǎng)滿(mǎn)足巴比涅原理[22],即圖6(c1)的光場(chǎng)與圖6(b1)的光場(chǎng)疊加和等于圖6(a1)的光場(chǎng)分布.圖6(c1)中被遮擋光束的光線表征如圖6(c2)與圖6(c3)所示.注意到圖6(c2)與圖6(b2)以及圖6(c3)與圖6(b3)的光線分布也是互補(bǔ)的.與圖6(b2)相反,圖6(c3)中間部分的光線沒(méi)有被遮擋,隨著這些光線傳播到z=500μm,光線分布逐漸由內(nèi)部轉(zhuǎn)移到外部,如圖6(c3)所示.由于內(nèi)部光線減少,光束內(nèi)部的光強(qiáng)也減弱了.此外由于光束發(fā)散,光線密度減弱導(dǎo)致光強(qiáng)下降.

圖6 b=1時(shí)結(jié)構(gòu)光束的局部無(wú)衍射與自修復(fù)特性 (a1),(b1),(c1)光束在真空中傳輸yoz截面的光強(qiáng)分布圖,(a1)無(wú)遮擋,光線演化過(guò)程參考視頻mov3.avi;(b1)遮擋r<30μm的圓形區(qū)域;(c1)遮擋r>30μm的區(qū)域;(a2),(b2),(c2)與(a3),(b3),(c3)分別為xoy面上光線端點(diǎn)在z=0與z=500μm處的分布圖;光線的分布演化直觀地解釋了光束的自修復(fù)特性Fig.6.Non-diffraction and self-healing properties of structured beam with b=1.(a1),(b1),(c1)Are intensity patterns of light beams(in vaccum)in yoz plane:(a1)not blocked,see also mov3.avi;(b1)r<30μm is blocked,the intensity pattern gradually heals under beam propagating;(c1)r>30μm is blocked.(a2),(b2),(c2)and(a3),(b3),(c3)Are ray distribution of beam in z=0 and z=500μm plane,respectively.The evolution of ray distribution gives an intuitionistic explanation of self-healing process.

從光線的角度來(lái)看,光束的中心部分的自修復(fù)特性是由來(lái)自外部的光線填補(bǔ)所產(chǎn)生的.當(dāng)遮擋了光束周?chē)鷧^(qū)域后,光束失去了自修復(fù)能力.其他擁有內(nèi)焦散線的光束都可以用這種光線的方式來(lái)解釋其自修復(fù)特性[16].

3.3 b=5的結(jié)構(gòu)光束

選取b=5,a≈27.42,該結(jié)構(gòu)光束見(jiàn)圖7.PED路徑如圖7(a)所示,梅花曲線為五瓣梅花形.其光束焦散線如圖7(b),外焦散線構(gòu)成光束的輪廓,內(nèi)焦散線呈十角星狀使光束具有較強(qiáng)的自修復(fù)能力.光束束腰面光強(qiáng)如圖7(c),洋紅色曲線為內(nèi)焦散線,藍(lán)色曲線為外焦散線,由于干涉形成了10個(gè)主瓣的強(qiáng)度分布.相位分布見(jiàn)圖7(d),光束相位隨方位角變化,則光束具有相位渦旋,其光子攜帶軌道角動(dòng)量.

圖7 b=5的結(jié)構(gòu)光束 (a)PED內(nèi)的五瓣梅花曲線,t1和t2曲線分別由深藍(lán)色與洋紅色標(biāo)出;(b)物理盤(pán)內(nèi)橢圓分布及其十角星包絡(luò)線;(c),(d)分別為光場(chǎng)束腰面的光強(qiáng)與相位分布;光強(qiáng)在內(nèi)焦散線附近變強(qiáng)Fig.7.Structured beam with b=5:(a)PED path is a fivepetal plum-blossom curve,t1is deep blue,and t2,magenta;(b)ellipses in the physical disk and their inner envelope curves,which form a decagonal star structure;(c)the intensity pattern;(d)the phase pattern.The intensity near the caustic becomes stronger.

圖8 5瓣梅花曲線構(gòu)建光場(chǎng)的自修復(fù)特性 (a1),(a2)為光束在無(wú)遮擋的情況下傳輸;(b1),(b2)遮擋光束中心r<30μm的區(qū)域;(c1),(c2)遮擋r>20μm 后的光場(chǎng)傳輸情況Fig.8.Self-healing property of structured beam with b=5:(a1),(a2)Non-blocked;(b1),(b2)r<30μm is blocked;(c1),(c2)r>20μm is blocked.(a2),(c2)demonstrate the self-healing property of this beam.

光束的自修復(fù)特性如圖8所示.圖8(a1)表示光束在束腰面的光場(chǎng)分布,這里使用光束束腰面最大光強(qiáng)歸一化光束光強(qiáng)分布.隨著光束傳播一個(gè)瑞利距離后,光束發(fā)散使得光強(qiáng)明顯減弱(圖8(a2)).當(dāng)束腰面中心部分被遮擋后如圖8(b1),光強(qiáng)分布中心被遮擋了,在光束傳播一個(gè)瑞利距離后如圖8(b2),由于自修復(fù)性質(zhì),光束中心圖案重新出現(xiàn),而光束周?chē)糠钟捎谥行牡恼趽踔饾u減弱.當(dāng)束腰面光束中心外部被遮擋后如圖8(c1)所示,由于光束周?chē)徽趽?只留下中心光斑.光束傳播一段距離后,如圖8(c2)所示,周?chē)墓馐鴺邮揭廊荒茏孕迯?fù).而由于光束周?chē)徽趽?使得光束中心逐漸消失,同圖6(c3)的分析.由于圖8(c2)的光強(qiáng)較弱,為了方便讀者觀察并沒(méi)有做歸一化光強(qiáng)處理.

4 結(jié) 論

光線龐加萊球法結(jié)合復(fù)雜的幾何曲線能設(shè)計(jì)出形態(tài)各異的結(jié)構(gòu)光束,這類(lèi)光束具有復(fù)雜的幾何外形與焦散線結(jié)構(gòu),擁有一些新奇的傳輸特性,例如自修復(fù)特性、局部無(wú)衍射特性等.清晰的焦散線形狀使人們能夠更直觀地觀察光束的光斑分布以及預(yù)測(cè)光束在傳輸過(guò)程中的演化.此外光線龐加萊球法還給出了光束的光線描述,賦予了光束自修復(fù)性或無(wú)衍射性質(zhì)的幾何光學(xué)解釋,使光束的這些特殊性質(zhì)變得更加直觀.焦散線與光線的幾何關(guān)系[23]使得人們能可視化地設(shè)計(jì)具有這些特殊性質(zhì)的光束[4,21].由于這些光線均是在實(shí)數(shù)三維空間傳輸,滿(mǎn)足幾何光線光場(chǎng)的傳輸規(guī)則[24].在均勻介質(zhì)中光線沿著(2)式光線方向直線傳播,并可以結(jié)合四元數(shù)[25]等空間光線追蹤的方法來(lái)表征光束經(jīng)過(guò)一階光學(xué)元件,例如ABCD矩陣之后的變換.在非均勻介質(zhì)下人們亦可通過(guò)光線方程以及程函方程(eikonal equation)[13]來(lái)描述光束在非均勻介質(zhì)中的傳輸過(guò)程.對(duì)于光束經(jīng)過(guò)衍射元件,可結(jié)合幾何光學(xué)衍射理論[26,27]計(jì)算衍射光場(chǎng).

本文僅僅展示了使用梅花曲線設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)光場(chǎng).由于光線龐加萊球法幾乎可以使用任意滿(mǎn)足量子化條件((5)和(7)式)的PED路徑進(jìn)行結(jié)構(gòu)光場(chǎng)的設(shè)計(jì),除了梅花曲線還可以選擇其他更加復(fù)雜的二維曲線作為PED路徑以此設(shè)計(jì)出光場(chǎng)與相位更加復(fù)雜的結(jié)構(gòu)光束.這類(lèi)具有復(fù)雜的光強(qiáng)與相位結(jié)構(gòu)的光束,在激光俘獲與信息傳輸上有潛在的應(yīng)用價(jià)值.由于光線龐加萊球法構(gòu)建出結(jié)構(gòu)光束束腰面上的復(fù)振幅(振幅與相位)分布,人們可以在4f系統(tǒng)中使用空間光調(diào)制器生成這類(lèi)光束,這將為實(shí)際應(yīng)用提供極大的便利.