楊 昆

（1.興義民族師范學(xué)院， 貴州 興義 562400 2.貴州省人工智能與醫(yī)學(xué)診斷重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 貴州 興義 562400）

1 引言

追蹤重建重離子碰撞的整個(gè)動(dòng)力學(xué)演化過程的方法，這種方法稱為輸運(yùn)理論（Transport Theory）。中能重離子反應(yīng)的反應(yīng)機(jī)制非常復(fù)雜，模擬中能重離子碰撞的動(dòng)力學(xué)演化過程本質(zhì)上是處理一個(gè)在強(qiáng)相互作用和庫侖場下的有限量子多體體系的動(dòng)力學(xué)過程，發(fā)展這種輸運(yùn)理論有助于理解同位旋自由度和相關(guān)的物理量——同位旋矢量勢、核介質(zhì)內(nèi)同位旋相關(guān)的核-核（NN）截面和泡利阻塞等。量子多體體系的演化是一個(gè)十分復(fù)雜的過程，尤其是在費(fèi)米能區(qū)重離子碰撞處于兩體碰撞占主導(dǎo)的高能重離子碰撞和以平均場耗散和泡利阻塞效應(yīng)占主導(dǎo)的低能重離子碰撞的過渡區(qū)域。任何想要描述中能重離子碰撞的理論模型都必須同時(shí)考慮到兩體碰撞、平均場和泡利不相容原理的作用，解決起來比較困難。

在過去的二十年里，中能重離子核反應(yīng)半經(jīng)典微觀輸運(yùn)模型的發(fā)展取得了重要的進(jìn)展。這些半經(jīng)典微觀輸運(yùn)模型主要有兩類，Boltzmann-Uehling-Ulenbeck（BUU/VUU）模型[1]以及量子分子動(dòng)力學(xué)（QMD）模型。[2-4]

BUU模型的理論基礎(chǔ)可追溯到描寫稀薄氣體粒子相空間分布函數(shù)隨時(shí)間演化的Boltzmann積分微分方程，[5]后來由 Nordheim、[6]Vehling和Uhlenbeck[7]等人在考慮量子效應(yīng)后對碰撞項(xiàng)做出了修正，還有一個(gè)修正來自于Vlasov[8]提出的漂移項(xiàng)。BUU模型綜合考慮了碰撞項(xiàng)和平均場效應(yīng)，通過數(shù)值求解BUU方程模擬核-核碰撞的時(shí)空演化。然而，BUU模型丟失了核子間的關(guān)聯(lián)和漲落，無法研究多體可觀測量，特別是無法處理中能重離子碰撞中十分重要的多重碎裂現(xiàn)象和團(tuán)簇的形成。

由于BUU在計(jì)算多體觀察量時(shí)存在著上述困難，人們基于經(jīng)典分子動(dòng)力學(xué)（CMD）方法，通過考慮了測不準(zhǔn)原理和泡利阻塞原理而發(fā)展了能夠處理碎片形成問題的量子分子動(dòng)力學(xué)（QMD）模型，每一個(gè)核子不再被看作點(diǎn)粒子，而是采用坐標(biāo)和動(dòng)量空間中具有有限寬度的高斯波包來描述。QMD模擬計(jì)算每次碰撞事件中N每個(gè)核子的運(yùn)動(dòng)軌跡，觀察的物理量則按事件進(jìn)行統(tǒng)計(jì)平均，從而保留了部分漲落和多體效應(yīng)。

近年來QMD模型又有了很大的發(fā)展，比如考慮了核子反對稱化而發(fā)展的反對稱化分子動(dòng)力學(xué)模型（AMD）。[9]AMD類似于QMD模型。在分子動(dòng)力學(xué)模型中核子的空間波函數(shù)采用高斯波包描述，復(fù)雜的量子多體體系采用相空間分布函數(shù)方法處理得到系統(tǒng)的密度和動(dòng)量分布，計(jì)算核子位置和動(dòng)量的波包中心服從的正則方程模擬反應(yīng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)演化過程。AMD模型與傳統(tǒng)的QMD模型相比，最根本的區(qū)別在于對描述每個(gè)核子的高斯波包進(jìn)行了反對稱化的處理，本質(zhì)上引入了Pauli不相容原理，從而避免由于人為檢查碰撞事件的Pauli阻塞而引入的誤差。另外，通過考慮波包的彌散（Diffuse）和收縮（Shrink）效應(yīng)[10]而引入了塊之間的關(guān)聯(lián)，使得AMD/DS給出的重碎片多重性的分布更加合理，更有利于描述多重碎裂過程。

2 AMD模型

發(fā)展AMD模型最初的想法來自于完全反對稱化描述所有描述核子的高斯波包，這樣便能自然地處理Pauli不相容原理。波包質(zhì)心隨時(shí)間的演化可以從時(shí)間相關(guān)的變分原理導(dǎo)出，中能重離子碰撞的動(dòng)力學(xué)過程就是量子多體系統(tǒng)隨時(shí)間 的演化過程。反應(yīng)道的量子分支則由動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的隨機(jī)性加以處理。在AMD中不僅考慮了核子-核子碰撞效應(yīng)，還考慮了平均場中單粒子波函數(shù)的波包分裂。下面對AMD模型進(jìn)行簡要描述，具體細(xì)節(jié)請參閱文獻(xiàn)。[9]

在AMD中，A-核子系統(tǒng)的波函數(shù)由包A個(gè)高斯波包的Slater行列式描述：

由于AMD中波函數(shù)反對稱化，波包矩心不再具有物理坐標(biāo)的意義。即使相同自旋和同位旋的兩個(gè)波包在相空間中非常接近，也不能說它們表示的兩個(gè)核子在相空間中占據(jù)同一位置，因?yàn)楹俗颖仨氉詣?dòng)地遵從Pauli不相容原理。只有矩心采用了物理坐標(biāo)時(shí)，用高斯波包來描述核子才近似有效。在t=t0時(shí)刻具有真實(shí)物理坐標(biāo)ri和動(dòng)量pi的第i個(gè)核子在相空間中的密度分布可表示為：

總單體分布函數(shù)便為所有的fi求和。由相空間中密度分布函數(shù)可以得到系統(tǒng)的密度分布及其動(dòng)量分布。

3 中能重離子碰撞核反應(yīng)過程模擬

AMD常被用于模擬中能重離子反應(yīng)動(dòng)力學(xué)過程。應(yīng)用AMD理論計(jì)算的許多觀察量，如輕粒子和中等質(zhì)量碎片的多重性、能譜和角分布等，都與實(shí)驗(yàn)符合得很好[14-18]。AMD模擬重離子核反應(yīng)動(dòng)力學(xué)步驟包括初始化彈核、靶核和核子-核子的演化，根據(jù)AMD演化結(jié)果提取的每個(gè)核子的相空間分布。

3.1 AMD初始化

AMD理論模擬的第一步是初始化彈核和靶核。首先利用Skyrme-Hartree-Fock方法給出彈核與靶核的核子密度分布，利用Monta Caro隨機(jī)抽樣方法分別抽樣得到彈核與靶核的核子空間坐標(biāo)，并通過4π空間立體角抽樣核子坐標(biāo)的方向。然后基于抽樣得到的原子核密度分布，由費(fèi)米氣體模型計(jì)算得到費(fèi)米動(dòng)量kF，利用Monta Caro方法從[0,kF]進(jìn)行隨機(jī)均勻抽樣便得到核子動(dòng)量的模，核子動(dòng)量方向亦由4π空間立體角均勻抽樣。最后通過摩擦冷卻AMD波函數(shù)演化到的方法2000fm/c獲得每一時(shí)刻核子的狀態(tài)。摩擦冷卻波函數(shù)后得到的核子狀態(tài)經(jīng)Lorentz變化轉(zhuǎn)換到實(shí)驗(yàn)室系后，可得到由核子及其坐標(biāo)、動(dòng)量和自旋為內(nèi)容的初始核子表。

采用摩擦冷卻方法，對彈核64Ni和靶核112Sn分別進(jìn)行初始化。初始化后需要檢查演化得到的初始核的真實(shí)性和穩(wěn)定性?；鶓B(tài)初始核的真實(shí)性一般是通過比較理論計(jì)算與實(shí)驗(yàn)測量的結(jié)合能和電荷半徑等加以證實(shí)，而穩(wěn)定性則是觀察原子核內(nèi)核子的相空間分布并結(jié)合電荷半徑、平均結(jié)合能等隨時(shí)間的演化加以檢驗(yàn)。下面以靶核112Sn為例加以說明。

初始核112Sn的結(jié)合能和均方根電荷半徑隨時(shí)間的演化如圖1所示。左圖所示的比結(jié)合能在200fm/c時(shí)刻后便不再劇烈變化，保持在8.3MeV/A左右，并與實(shí)驗(yàn)測量值8.51367MeV/A[19]相近。右圖所示的均方根電荷半徑在100fm/c時(shí)刻后也沒有明顯的變化，保持在4.5fm左右，與實(shí)驗(yàn)測量值4.5943±0.0018fm[20]非常接近。可見AMD采用的摩擦冷卻方法演化得到的初始核基態(tài)的性質(zhì)（結(jié)合能和均方根電荷半徑）與實(shí)驗(yàn)測量值符合很好，且在0-2000fm/c寬時(shí)間尺度內(nèi)均沒有明顯的變化，說明該初始化原子核穩(wěn)定，可以作為中能核-核碰撞的靶核甚至是低能時(shí)形成復(fù)合核的初始核。研究發(fā)現(xiàn)，初始化核質(zhì)量數(shù)越大，其結(jié)合能和均方根電荷半徑隨時(shí)間的漲落越小，這反映了越大的原子核其平均場效應(yīng)越強(qiáng)。

圖1 AMD理論演化的初始核112Sn的比結(jié)合能和均方根電荷半徑隨時(shí)間的演化

初始化后還需要編寫程序檢查初始化原子核的相空間分布，圖2給出了90fm/c時(shí)刻112Sn原子核坐標(biāo)空間中核子的分布。從圖中可以看出，所有核子都很穩(wěn)定地結(jié)合在一起，也沒有粒子蒸發(fā)和大塊團(tuán)簇產(chǎn)生，分布比較合理。

圖2 坐標(biāo)空間中112Sn原子核的核子分布

綜合考慮原子核比結(jié)合能和均方根電荷半徑，本研究將其與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)很接近且粒子相空間分布比較合理的6個(gè)原子核作為初始核，在一定程度上比選取一個(gè)原子核作為初始核包含進(jìn)了更多的漲落。當(dāng)然，在彈核和靶核形成初始系統(tǒng)時(shí)，它們內(nèi)部核子在碰撞初態(tài)時(shí)的方向是隨機(jī)選取的。即使是相同的初始狀態(tài)，由于量子力學(xué)的概率本質(zhì)，核子-核子碰撞具有隨機(jī)性，因而系統(tǒng)演化的終態(tài)亦不相同。

3.2 AMD動(dòng)力學(xué)演化

在構(gòu)建系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)演化初始狀態(tài)的時(shí)候，因?yàn)榭紤]到彈核和靶核之間的庫侖相互作用，會(huì)根據(jù)碰撞參數(shù)和入射靶核的能量而把兩個(gè)近似基態(tài)的碰撞核放在一定遠(yuǎn)的地方，如相距15fm處。碰撞參數(shù)范圍包括0-12fm，基本上涵蓋了從中心碰撞到外圍周邊碰撞的所有核反應(yīng)類型。

AMD采用時(shí)間步長法模擬中能重離子核-核碰撞，始終逐個(gè)地對每一個(gè)核子進(jìn)行演化和跟蹤。在步長為的時(shí)間內(nèi)所有的核子在相互作用勢下按照各自一定的軌跡運(yùn)動(dòng)，結(jié)束時(shí)則按照一定的演化規(guī)律進(jìn)行動(dòng)力學(xué)演化，反復(fù)執(zhí)行該過程直至動(dòng)力學(xué)過程結(jié)束。本研究模擬了40AMeV64Zn+112Sn系統(tǒng)。采用了標(biāo)準(zhǔn)的Gogny相互作用。AMD計(jì)算考慮了庫侖相互作用的影響。波包寬度選取V=0.16fm-2。通過AMD計(jì)算后，得到了每一次核反應(yīng)事件中每一步長內(nèi)所有核子的位置、空間立體角、動(dòng)量、能量和自旋構(gòu)成的粒子表。根據(jù)粒子表，可以編寫程序構(gòu)造成碎片。

AMD演化結(jié)果如圖3所示，這是一次典型的碰撞事件，展示了系統(tǒng)密度隨時(shí)間的演化。其中第一行為炮彈核和靶核的核子密度投影到反應(yīng)平面上隨時(shí)間的演化圖，而第二、三行分別是投影到反應(yīng)平面的質(zhì)子和中子密度隨時(shí)間的演化圖。隨著反應(yīng)的進(jìn)行，炮彈核和靶核相互穿透，在t～50fm/c反應(yīng)時(shí)刻完全重疊，之后系統(tǒng)開始膨脹并經(jīng)歷多重碎裂過程。這里的多重碎裂與統(tǒng)計(jì)多重碎裂的描述有些不同，統(tǒng)計(jì)多重碎裂中系統(tǒng)膨脹和碎片形成均處于較低的Freeze-out密度。AMD模擬中大約在80fm/c左右發(fā)射核子。

圖3 40AMeV 64Zn+112Sn反應(yīng)系統(tǒng)的密度投影到反應(yīng)平面（x-z平面，z是束流方向）上隨時(shí)間的演化。反應(yīng)時(shí)間從0fm/c到200fm/c，彈核和靶核相距15fm的時(shí)刻作為時(shí)間零點(diǎn)。第一行是炮彈核和靶核的密度，第二、三行分別是中子和質(zhì)子的密度。等高線的標(biāo)度為線性的，最小的獨(dú)立的圈代表核子。本次反應(yīng)的碰撞參數(shù)為3.97fm，觀察的區(qū)域大小為10fm×10fm。

從圖3模擬結(jié)果可以看出，中能重離子碰撞的物理圖像可用火球模型來表征。其中炮彈和靶核重疊區(qū)域的核子經(jīng)歷激烈的核子-核子相互作用，稱為中速（NN）源。而重疊部分以外的核子不再經(jīng)歷激烈的相互作用，這部分稱為類彈（PLF）源和類靶（TLF）源。NN源部分的演化是十分復(fù)雜的。在動(dòng)力學(xué)演化早期，其被壓縮形成熱致密 核系統(tǒng)，核子-核子發(fā)生硬碰撞。在動(dòng)力學(xué)演化后期，高溫高密的復(fù)合核將膨脹到極低密度，并經(jīng)由多重碎裂過程分解，形成碎片或團(tuán)簇。經(jīng)歷碰撞后的PLF源僅受到較小的擾動(dòng)，并以接近0.9倍炮彈的速度出射。它仍然是冷的，以至于能產(chǎn)生相當(dāng)大的碎片。從N/Z比值來看，PLF的比值和炮彈的比值相近，因而可用于產(chǎn)生豐中子源。TLF源同樣也是冷的，碰撞后的速度約為0.1倍炮彈速度。PLF和TLF均是受激發(fā)的源，激發(fā)能可能來源于附加的表面能以及進(jìn)入它們的少數(shù)核子的動(dòng)能，這個(gè)能量并不按體積均勻分布，所以它們只能分裂為一個(gè)或幾個(gè)重碎片和若干核子。三個(gè)源（NN、PLF、TLF源）的性質(zhì)都具有強(qiáng)的碰撞參數(shù)依賴性，小碰撞參數(shù)表示碰撞程度激烈，而對于大碰撞參數(shù)碰撞程度則緩和一些。

4 結(jié)果討論

反對稱化分子動(dòng)力學(xué)（AMD）模型采用反對稱化的高斯波包來描述核子，可以自然地引入Pauli不相容原理，求解量子多體系統(tǒng)隨時(shí)間的演化可用于模擬中能重離子動(dòng)力學(xué)過程。本研究采用隨機(jī)摩擦冷卻方式演化獲得64Zn彈核和112Sn靶核的基態(tài)原子核分布，其結(jié)合能和均方根電荷半徑與實(shí)驗(yàn)值保持一致。并對40AMeV64Zn+112Sn系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)過程進(jìn)去模擬，獲得演化過程系統(tǒng)的密度分布，觀察到了演化中NN、TLF、PLF三個(gè)源的動(dòng)力學(xué)過程。結(jié)果顯示，AMD模型可以較好地重現(xiàn)中能重離子核反應(yīng)動(dòng)力學(xué)過程，可應(yīng)用于核物質(zhì)對稱能、液氣相變等前沿可以研究。