(北京師范大學(xué)株洲附屬學(xué)校 湖南株洲 412000)
函數(shù)是數(shù)學(xué)中最為典型的一種關(guān)系,這種關(guān)系是一種對(duì)應(yīng)性的關(guān)系,主要表達(dá)的是,當(dāng)A隨著B(niǎo)的變化而變化,那么就可以說(shuō)A是B的函數(shù),但是具體的函數(shù)關(guān)系有很多,不同的函數(shù)之間的表達(dá)式也各不相同。如果我們想要正確的理解認(rèn)知這些概念,不僅要函數(shù)進(jìn)行表面性的理解,還要學(xué)會(huì)將函數(shù)的理論知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際的答題過(guò)程中進(jìn)一步的理解其內(nèi)在含義。回歸分析法就是一種解決函數(shù)問(wèn)題的最優(yōu)選擇。
根據(jù)函數(shù)和回歸方程的定義,可以看出二者雖然具有一定的差別,但是二者之間存在著很多相似點(diǎn)和聯(lián)系。函數(shù)是一種理想的關(guān)系模型,而回歸方程是一種非確定性的關(guān)系,存在隨機(jī)變量。想要在解決函數(shù)問(wèn)題時(shí)采用回歸方程,就要使用回歸分析法,這種方法主要是根據(jù)基礎(chǔ)數(shù)據(jù)求值,最后得到回歸方程。在進(jìn)行回歸分析中,首先要找到自變量和因變量,然后根據(jù)回歸方程進(jìn)行具體的分析。也就是說(shuō),在實(shí)際解決函數(shù)問(wèn)題時(shí),要根據(jù)問(wèn)題中所給出的具體數(shù)據(jù),畫(huà)出散點(diǎn)圖,然后區(qū)分自變量和因變量并且判斷二者是否具有相關(guān)性。通過(guò)上文的分析,可以看出回歸分析法具有以下幾個(gè)特點(diǎn),第一,回歸方程中兩個(gè)變量并不對(duì)等,分為自變量和因變量,具體要根據(jù)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行判斷。第二,根據(jù)回歸方程可以推導(dǎo)出因變量的估計(jì)值。第三,在不同關(guān)系的回歸方程中,不能進(jìn)行替換,方程之間相互獨(dú)立。
例:一家服裝廠有很多設(shè)備,想要對(duì)設(shè)備進(jìn)行管理,明確具體成本,因此將設(shè)備的使用年限設(shè)為x,并將設(shè)備需要支付的維修費(fèi)用設(shè)為y,根據(jù)服裝廠提供的資料,得到了如表1所示的X、Y數(shù)值:
表1 該服裝廠的X、Y數(shù)值
根據(jù)表1中的具體數(shù)值能夠確定在維修費(fèi)用y和使用年限x之間有著一定的關(guān)系,要求出二者之間的線性回歸方程,并且根據(jù)上述數(shù)據(jù)推導(dǎo)出,當(dāng)該服裝廠設(shè)備使用年限x=10時(shí),對(duì)應(yīng)的設(shè)備維修費(fèi)是多少[1]。
解:首先求出計(jì)算線性回歸方程所需要的具體函數(shù),首先,維修費(fèi)用y和使用年限x的平均數(shù),然后,要計(jì)算出xi2和xiyi的總和等數(shù)值,最后,根據(jù)y=bx+a的方式得到b和a。
將x=10帶入到該回歸方程中,就可以估算出當(dāng)該服裝廠設(shè)備使用年限x=10時(shí),對(duì)應(yīng)的設(shè)備維修費(fèi)y=12.38。在解答這一題目的過(guò)程中,首先通過(guò)具體的數(shù)據(jù)判斷出維修費(fèi)用y和使用年限x之間存在線性關(guān)系,在這的情況下,省略了檢驗(yàn)這一步驟,如果無(wú)法確定二者關(guān)系時(shí),就要進(jìn)行檢驗(yàn)工作,如果兩個(gè)變量之間沒(méi)有相關(guān)性關(guān)系,或者二者之間的關(guān)系并不顯著,那么回歸線性方程就是失去了作用,使用回歸線性方程所得到的結(jié)果也不是最優(yōu)解,因此可知,在使用回歸方程時(shí),必須要確定兩個(gè)變量之間的關(guān)系,以此可以更加準(zhǔn)確的解決具體問(wèn)題,并且提升解題效率。
例:某農(nóng)業(yè)科研所在對(duì)新品種大豆的發(fā)芽情況進(jìn)行研究時(shí)發(fā)現(xiàn),冬季晝夜溫差大小和新品種大豆的發(fā)芽數(shù)之間有著一定的關(guān)系,為了明確二者之間的關(guān)系,該農(nóng)業(yè)科研所進(jìn)行了研究,并且記錄了五天的數(shù)據(jù),包括每一天的晝夜溫差情況以及每天每100顆種子中的發(fā)芽數(shù),得到了如下資料:
表2 科研所的具體數(shù)據(jù)
解題思路:在五組數(shù)據(jù)中,借助其中三組數(shù)據(jù)求出線性回歸方程,在利用剩余兩組進(jìn)行檢驗(yàn),但是需要注意的是,在求解線性回歸方程之前,必須要判斷,用于檢驗(yàn)的兩組數(shù)據(jù)不是相鄰數(shù)據(jù)的概率,以此得到線性回歸方程的準(zhǔn)確性較高。
解:首先要求出兩組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰數(shù)據(jù)的概率,因?yàn)樵谖褰M數(shù)據(jù)中選出兩種數(shù)據(jù)的情況一種有十種,每種結(jié)果的出現(xiàn)的概率相同,那么抽到相鄰數(shù)據(jù)的情況有四種,因此兩組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰數(shù)據(jù)的概率為3/5。繼而分別求出發(fā)芽數(shù)y和溫差x的平均數(shù),分別為27和12,然后計(jì)算出xi2和xiyi的總和等數(shù)值,在此基礎(chǔ)上就可以求出二者之間的線性方程如下:
例:某工業(yè)車間為了提高生產(chǎn)產(chǎn)量,加快生產(chǎn)效率,展開(kāi)加工試驗(yàn),確定加工零件所需要花費(fèi)的時(shí)間,繼而確定工時(shí)定額,得到了十組試驗(yàn)數(shù)據(jù),要求根據(jù)數(shù)據(jù)內(nèi)容得到加工200個(gè)零件所需要花費(fèi)的時(shí)間[2]。經(jīng)過(guò)前兩道例題的分析可知,首先要通過(guò)給出的具體數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,判斷加工時(shí)間和零件數(shù)之間的關(guān)系,進(jìn)而求出具體的回歸線性方程,根據(jù)方程預(yù)測(cè)得出加工200個(gè)零件所需要花費(fèi)的時(shí)間,需要的內(nèi)容依舊為:y和x的平均數(shù),然后計(jì)算出xi2和xiyi的總和等數(shù)值,最后根據(jù)y=bx+a,得到b和a的數(shù)值。
綜上所述,通過(guò)本文對(duì)高中數(shù)學(xué)函數(shù)與回歸方程的詳細(xì)研究,基于函數(shù)和回歸方程的相關(guān)概念知識(shí),對(duì)二者之間的關(guān)系和作用有了簡(jiǎn)單的了解,并且將回歸方程應(yīng)用到了函數(shù)數(shù)學(xué)例題中,并且對(duì)題目詳細(xì)的計(jì)算,以此明確了回歸分析法對(duì)函數(shù)數(shù)學(xué)題目的作用。未來(lái),在遇到同類型的函數(shù)數(shù)學(xué)題目時(shí),我們也可以通過(guò)建設(shè)對(duì)應(yīng)回歸方程的方式進(jìn)行解答。但是,還需要進(jìn)一步提高我們的理論知識(shí)記憶能力和實(shí)際運(yùn)用能力。