胥馨尹，寧少武

（1.中國工程物理研究院 總體工程研究所，四川 綿陽 621900；2.南京航空航天大學 航空宇航學院，江蘇 南京 210016）

1 引言

結構振動主動控制是相對于傳統被動控制來說的，它是匯集多門學科的綜合研究。其研究對象是由受控對象和控制結構組成的閉環(huán)系統，即主動振動控制系統，它通過附加的振動與原振動相抵消從而消除結構的振動。主動控制具有振動環(huán)境適應性強，控制低頻振動和聲輻射的效果良好，因而成為當前振動控制發(fā)展中的熱點，并在很多工程等領域得到了初步應用。

自適應濾波已廣泛應用到結構振動控制中，文獻[1]將窄帶的自適應前饋控制系統用于削弱整體結構的振動。文獻[2-3]將自適應算法用于控制寬帶結構的振動，在飛機壁板的主動控制試驗中降噪達到12dB，文獻[4]采用自適應濾波技術主動控制薄板模型的振動。但以上主動控制主要集中在頻域范圍內，頻域內結構的振動響應與結構固有頻率和激勵頻率有關，這將影響振動控制的實際應用。而在時域內對振動響應進行振動控制為實時控制，更貼近工程實際且有利于控制策略的實施。并將遞歸最小二乘算法的快速算法（QRD-LSL）應用到有源振動控制系統中，降低系統計算量，提高遞歸最小二乘算法的振動控制性能。

2 振動控制分析

考察均勻材料等截面四邊簡支矩形薄板，在外激勵源f（xf，yf，t）作用下，如果考慮阻尼，由振型函數 Wmn（x，y）的正交性，可得模態(tài)坐標q（t）表示的簡支板受迫振動微分方程為：

在實際工程中，激擾形式比較復雜，而次級控制源的數目是有限的，往往要求使結構振動的總能量控制為最小，若考慮令結構動能最小，由上述方程可知時域內結構的振動速度響應V（x，y，t），并將速度響應關于時間離散，簡化表示為脈沖響應矩陣的形式[5]：

式中：h（x，y，（t-τ））—速度脈沖響應矩陣。

由激勵力在xe處產生的速度Vep和控制力產生的速度Vec疊加得到總速度為：

振動控制的目標為使板的動能減小，通過減小簡支板上某點的速度來反應控制效果，這一控制效果點記為誤差信號點（xe，ye）。

3 振動控制系統建模

3.1 自適應濾波控制算法

為實施振動控制策略，使結構在時域內動能得以減小，運用基于自適應濾波算法的前饋控制系統，分別采用兩種不同自適應控制算法。首先采用濾波-X最小均方算法，其結構簡單，收斂速度受參考信號自相關矩陣特征值的分布情況的影響，當特征值分布較廣時，收斂速度就慢，因此該算法的適用范圍較窄[6]?；赒R分解的最小二乘格型自適應濾波算法（QRD-LSL）是一種遞歸最小二乘算法的快速算法，依靠QR分解中酉旋轉[7]。QRD-LSL濾波器結構和算法都很復雜，但運算特性良好，且易于實現。

設格型濾波器的階數為M，基于QR分解的最小二乘格型自適應濾波（QRD-LSL）算法分為角度歸一化前向預測、角度歸一化后向預測和角度歸一化聯合過程估計三部分[8]。

3.1.1 自適應前向預測

在不同時刻 n=1，2，…，階數各為 m=1，2，…，M 時，最小二乘格型前向預測器陣列方程為：

3.1 .2自適應后向預測陣列

在不同時刻 n=1，2，…，階數各為 m=1，2，…，M 時，最小二乘格型后向預測器陣列方程為：

3.1 .3聯合過程估計陣列

在不同時刻 n=1，2，…，階數各為 m=1，2，…，M+1 時，聯合過程估計陣列方程為：

式中：Θb，m-1（n-1）、Θf，m-1（n）、Θb，m-1（n）—酉旋轉矩陣。

如果主動振動控制系統的兩個控制環(huán)節(jié)都采用QRD-LSL濾波器，系統會變得異常復雜。因此用QRD-LSL濾波算法來實現決定濾波器特性系數的更新，而采用格型聯合過程估計器實現參考信號的濾波生成次級源信號。格型聯合過程估計器的參數有前向反射系數 kf，m（n），后向反射系數 kb，m（n）和 hm-1（n）聯合估計回歸參數。

以上振動主動控制系統的兩個部分，即QRD-LSL算法參數與格型聯合過程估計器，Haykin證明它們有如下關系[9]：

式（4）中 pf，m-1（n）與 m 階前向反射系數 kf，m（n）關系如下：

式（6）中 pm-1（n）與 m-1 階的聯合估計回歸參數 hm-1（n）關系如下：

于是將QRD-LSL濾波器結構算法與格型聯合過程估計器聯系起來了。

3.2 自適應振動控制系統

整個控制系統，如圖1所示。在簡支板上（xp，yp）作用激勵力fp，使板產生振動；把（xr，yr）處作為參考信號處，采集此處的速度Vr（t）作為格型聯合過程估計器的輸入；（xe，ye）為誤差信號處，用來得到經主動控制后此處的速度，從而反應控制效果；在（xc，yc）處作用控制力fc，以抵消激勵力產生的振動，利用自適應控制算法時時更新控制力fc的大小，使其達到更好的控制效果。

圖1 振動控制模型Fig.1 Vibration Control Model

圖2 基于QRD-LSL濾波算法的控制系統Fig.2 Control System based on QRD-LSL

利用QRD-LSL濾波算法進行有源振動控制系統，如圖2所示。將其應用到簡支板振動上，x（n）為參考信號，在板的控制中為參考信號處速度Vr（t）。將激勵力fn在誤差傳感器xe處產生的速度作為期望信號d（n）。

其中，hw為濾波器的系數，由前一時刻參考信號處的速度和濾波器系數來更新當前時刻的控制力，從而對激勵力產生的振動進行時時抵消。次級通路傳遞函數為hs=h˙ec，h?s是次級通路hs的估計，這里假設h?s=hs=h˙ec。

4 仿真計算分析

計算分析的模型為四邊簡支薄板，初級源和次級源均采用單點激勵。板的物理參數，如表1所示。在所有仿真實驗中，采樣頻率為128Hz，采樣點數600。

表1 計算模型物理參數Tab.1 Parameters of Calculation Model

在仿真研究過程中分別使用兩種不同的信源：

振動源 1：E force=sin400πt

振動源由單一正弦波構成。

振動源 2：E force=awgn（sin400πt，15）

振動源由一正弦波和信噪比為15的白噪聲組成。

為驗證振動的衰減水平，定義如下性能指標：

4.1 FxQRD-LSL算法中相關參數的影響

FxQRD-LSL算法的參數有濾波器階數M和初始化值δ，這里采用的振動源1和2。選取初始化值δ為10000，考慮濾波器階數的影響。對于振動源1階數取為4，6，8，16，32。當振動源為單一正弦波時FxQRD-LSL算法不同階數時振動衰減指標R，如圖3所示。從圖中可以看出當濾波器從4階增加到6階后振動衰減水平指標R明顯降低，從6階到8階系統的振動控制效果也有所增強但不如從4階增加到6階那么明顯。繼續(xù)增加濾波器階數，從16階到32階振動衰減水平指標R降低量很小?？梢钥闯鰧τ贔xQRD-LSL算法，隨著其濾波器階數的增大振動控制效果越好，但增加到一定階數，振動的控制效果不再明顯，而濾波器階數過大會導致系統的計算復雜度增加。因此太大或者太小都難以得到最佳的控制效果，為了的得到最佳的振動控制效果，應適當合理選取濾波器階數。當振動源為加入白噪聲的正弦波時FxQRD-LSL算法不同階數的振動衰減指標R，如圖4所示。從圖中可以得出對于不同的振動源，濾波器階數增加對控制效果的影響是一樣的。對于FxQRD-LSL算法中的參數初始化值δ和遺忘因子在算法中不能輕易改變，否則會導致系統不穩(wěn)定，控制發(fā)散的情況。

圖 3 FxQRD-LSL算法不同階數時振動衰減水平指標R（振動源1）Fig.3 Different Orders of Vibration Attenuation Index R（Vibration Source 1）

圖4 FxQRD-LSL算法不同階數時振動衰減水平指標R（振動源2）Fig.4 Different Orders of Vibration Attenuation Index R（Vibration Source 2）

4.2 不同算法的控制效果

對FxQRD-LSL算法和FxLMS算法的控制效果進行對比分析。兩種算法中控制器相關參數的選取列表，如表2所示。

表2 控制濾波器階數和步長因子等相關參數Tab.2 Control Filter Order and Step Size Factor.etc

圖5 兩種算法的殘余振動速度對比（振動源1）Fig.5 Contrast with Residual Vibration Velocity（Vibration Source 1）

兩種算法控制振動源一和二得到的殘余振速對比，如圖5、圖6所示。兩種算法控制振動源一和二得到的振動衰減水平指標對比，如圖7、圖8所示。從圖5和6可以看出FxQRD-LSL算法振動控制能力更強，控制振動的衰減速度更快，衰減幅度更大，且FxQRD-LSL算法對單一振源的控制效果優(yōu)于復合振源。從圖7和8可以看出FxQRD-LSL算法與FxLMS算法相比它的振動衰減水平更快更多。FxQRD-LSL算法是FxRLS算法的的快速算法，它的復雜度與FxLMS算法相同都是階的[10]，M為自適應濾波器階數，較FxRLS算法的M2階有很大程度的提高，但計算量略大于FxLMS算法。綜合以上幾幅圖及算法的復雜度，可以看出FxQRD-LSL算法振動控制能力更強，與FxLMS算法相比它有快的收斂速度和小的穩(wěn)態(tài)誤差，性能優(yōu)于FxLMS算法。

圖6 兩種算法的殘余振動速度對比（振動源2）Fig.6 Contrast with Residual Vibration Velocity（Vibration Source 2）

圖7 兩種算法的振動衰減水平指標R對比（振動源1）Fig.7 Contrast with Vibration Attenuation Index R（Vibration Source 1）

圖8 兩種算法的振動衰減水平指標R對比（振動源2）Fig.8 Contrast with Vibration Attenuation Index R（Vibration Source 2）

5 結論

在時域中分析零初始狀態(tài)下激勵引起的簡支辦的振動響應，采用QRD-LSL自適應濾波算法建立簡支板振動主動控制模型。QRD-LSL算法是一種快速的最小二乘算法，具有最小二乘算法穩(wěn)態(tài)誤差小，收斂快的特性，且有近似為M階的計算復雜度，因此該算法的計算效率很高。仿真結果表明，應選擇適當的濾波器階數而達到良好的振動控制效果，階數過少，控制效果不佳，階數太大，效果沒有明顯提高但計算量增加。當控制力作用位置接近激勵力時，控制效果較好，控制力位置對控制效果影響很大，需進一步研究。與濾波-x最小均方算法對比表明，將格型聯合過程估計器結構和QRD-LSL自適應濾波算法相結合建立的振動主動控制系統具有收斂速度快、穩(wěn)態(tài)誤差小、計算量較小等特點。