杜福嘉 ，李愛愛 ，3，張志永

（1.中國科學(xué)院國家天文臺 南京天文光學(xué)技術(shù)研究所，江蘇 南京 210042；2.中國科學(xué)院 天文光學(xué)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 210042；3.中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049）

1 引言

為了獲得極佳的像質(zhì)，一般把望遠(yuǎn)鏡安裝到較高的空間進(jìn)行觀測。但是把望遠(yuǎn)鏡安裝到塔架上，動態(tài)風(fēng)載、彈性地基和塔架的剛性不足使望遠(yuǎn)鏡極易受外界干擾導(dǎo)致偏轉(zhuǎn)和振動，甚至產(chǎn)生共振，嚴(yán)重影響成像質(zhì)量。大型望遠(yuǎn)鏡振動頻率譜主要分布在低頻區(qū)的（0～30）Hz之間[1]，如果塔架的振動頻率非常接近望遠(yuǎn)鏡的共振頻率，對于望遠(yuǎn)鏡的精確跟蹤和成像質(zhì)量是極其有害的。因此，在望遠(yuǎn)鏡塔架的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和改進(jìn)設(shè)計(jì)階段，必須進(jìn)行有效的動態(tài)特性分析，而對望遠(yuǎn)鏡塔架系統(tǒng)進(jìn)行模態(tài)試驗(yàn)是分析其抗振性、穩(wěn)定性及動力學(xué)優(yōu)化設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。經(jīng)典的模態(tài)識別主要是依靠基于FFT的諧波頻譜分析方法，通過功率譜中的峰值頻率獲得固有頻率，但是這種方法比較難獲得阻尼比，此外，F(xiàn)FT譜分析因?yàn)樾孤┖蜄艡谛?yīng)會導(dǎo)致精度降低。為了更好辨識模態(tài)參數(shù)，目前多采用參數(shù)化的時(shí)域或頻域模態(tài)辨識方法。時(shí)域模態(tài)辨識方法主要有Ibrahim法、特征系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)算法（ERA）、LSCE算法。如Thite等應(yīng)用AR和ARMA算法建立齒輪嚙合振動信號的模型用于故障檢測和診斷[2]。文獻(xiàn)[3]使用LSCE和FDD算法提取振動篩的模態(tài)參數(shù)作為動力學(xué)修改的依據(jù)。文獻(xiàn)[4]用LSCE算法對汽車排氣管進(jìn)行試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析，得到其固有特性。在時(shí)域模態(tài)識別算法中，LSCE算法能直接得到結(jié)構(gòu)的模態(tài)頻率和模態(tài)阻尼，并能對數(shù)據(jù)進(jìn)行同步分析后對結(jié)構(gòu)做出整體估計(jì)，從而得到了廣泛的應(yīng)用。以三層望遠(yuǎn)鏡塔架為受控對象，以脈沖沖擊為激勵(lì)信號，采用單點(diǎn)激勵(lì)、多點(diǎn)拾振的方式，應(yīng)用LSCE算法提取望遠(yuǎn)鏡塔架的模態(tài)參數(shù)。并將試驗(yàn)結(jié)果與無參數(shù)化的試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析結(jié)果進(jìn)行對比，分析結(jié)果的準(zhǔn)確性，同時(shí)分析塔架的薄弱模態(tài)對塔架系統(tǒng)的影響，為塔架的設(shè)計(jì)和制造提出相應(yīng)的改進(jìn)意見。

2 LSCE算法理論分析

設(shè)系統(tǒng)為N階自由度的時(shí)不變系統(tǒng)，具有粘性阻尼，則由p點(diǎn)引起l點(diǎn)的頻響函數(shù)表達(dá)式[5]：

式中：Arlp、sr—第 r階模態(tài)留數(shù)和模態(tài)極點(diǎn)；*—共軛，對（1）式進(jìn)行逆傅里葉變換求得脈沖響應(yīng)函數(shù)為：

自回歸系數(shù)即Prony多項(xiàng)式的系數(shù)，求解線性方程（5）可得到自回歸系數(shù)的解αk，并代入（4）式可求得Prony多項(xiàng)式的根Vr，根據(jù)Vr可求得模態(tài)頻率ωr和模態(tài)阻尼比ξr。

求解線性方程組（7）得到測試點(diǎn)的留數(shù)向量，對各個(gè)測試點(diǎn)均做上述識別，得到留數(shù)列陣Ar，對Ar進(jìn)行歸一化，便可得到振型系數(shù)列陣φr。LSCE算法中的Prony多項(xiàng)式使用AR模型，其難點(diǎn)就是如何確定AR模型的階數(shù)。階數(shù)少則有些模態(tài)無法識別，而階數(shù)過高，則會出現(xiàn)虛假模態(tài)。穩(wěn)態(tài)圖（Stabilizationdiagram）作為鑒別虛假模態(tài)的方法之一，是基于物理特征隨模型階次增大保持穩(wěn)定，而虛假特征則具有不確定性?？蓪⒄鎸?shí)物理極點(diǎn)與計(jì)算極點(diǎn)（包括數(shù)據(jù)處理和噪聲引入的極點(diǎn)）區(qū)分開，具有廣泛的適用性[6-7]。最小二乘復(fù)指數(shù)法流程圖，如圖1所示。

圖1 最小二乘復(fù)指數(shù)法流程圖Fig.1 Flow Chart of Least Square Complex Exponential Method

3 試驗(yàn)系統(tǒng)介紹

試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析是通過在結(jié)構(gòu)上人為施加激勵(lì)，同時(shí)測量其響應(yīng)，通過輸入輸出數(shù)據(jù)識別出系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)，目的是得到結(jié)構(gòu)的模態(tài)頻率、模態(tài)阻尼和振型，為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的振動分析、結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)提供依據(jù)[8]。望遠(yuǎn)鏡塔架是一個(gè)三層鋼框架結(jié)構(gòu)，跨度450mm，一層、二層、三層高分別是0.57m、0.47m、0.47m。質(zhì)量均為31.8kg。材料選用Q235A鋼，其彈性模量為2.1E11Pa，泊松比為0.3，密度為7.85g/cm3。通過螺栓把塔架固定到地面上，以實(shí)際安裝約束情況進(jìn)行分析。試驗(yàn)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，如圖2（a）所示。圖中m、c、k分別是各層的質(zhì)量、阻尼和剛度。在三層塔架上共安裝了6個(gè)加速度傳感器，#1～#6是加速度傳感器的安裝位置。數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)中激勵(lì)信號使用086D20壓電型力錘，可以通過更換不同錘頭激起不同的頻譜范圍，加速度傳感器使用壓電型單自由度（DOF，degree-of-freedom）393B04和393B05，采用UEI公司的AI-211卡進(jìn)行多通道數(shù)據(jù)采集，采樣頻率為1024Hz，頻率分辨率0.125Hz。加速度傳感器和位移傳感器的實(shí)際安裝情況，如圖 2（b）所示。

圖2 試驗(yàn)系統(tǒng)圖Fig.2 Diagram of Experimental System

塔架系統(tǒng)不同測試點(diǎn)的加速度響應(yīng)曲線，如圖3所示。敲擊點(diǎn)不同，則各響應(yīng)點(diǎn)振幅的趨勢有所不同。6個(gè)加速度的頻率響應(yīng)曲線，如圖4所示。從頻率響應(yīng)曲線可以看出，各測試點(diǎn)的頻響函數(shù)具有很好的一致性。加速度功率譜累積分布函數(shù)，如圖5所示。從中可以看出，加速度頻譜的能量主要分布在（0～70）Hz內(nèi)，并且在頻率51Hz處的模態(tài)幅值大于其它模態(tài)處的幅值，因此該頻率為塔架結(jié)構(gòu)的薄弱模態(tài)，即塔架結(jié)構(gòu)在該頻率處受到激勵(lì)時(shí)容易產(chǎn)生劇烈振動，所以在進(jìn)行結(jié)構(gòu)動態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)重點(diǎn)考慮[9-11]，此外，塔架的實(shí)測最低頻率只有9Hz左右，處于風(fēng)載和機(jī)電系統(tǒng)控制帶寬內(nèi)。因此，需要提高整個(gè)結(jié)構(gòu)的剛度以提高低階共振頻率。

圖3 不同測試點(diǎn)的加速度時(shí)程曲線Fig.3 Acceleration Time History Curves of Different Test Points

圖4 #1～#6加速度頻率響應(yīng)曲線Fig.4 Acceleration Frequency Response Curve at Test Points 1～6

圖5 加速度功率累積分布函數(shù)Fig.5 Cumulative Disturbance RMS of Acceleration

4 LSCE算法的辨識結(jié)果

為了確定LSCE算法的階數(shù)，首先求得穩(wěn)態(tài)圖。LSCE法得到的穩(wěn)態(tài)圖，如圖6所示。圖中曲線為所有頻響函數(shù)之和，左邊縱坐標(biāo)表示頻響函數(shù)的幅值，右邊縱坐標(biāo)表示求解的數(shù)學(xué)模型的階次，水平軸表示極點(diǎn)頻率。只有穩(wěn)定的注有“s”的頻率才可確定是真實(shí)的模態(tài)頻率。圖中符號“o”表示從某階數(shù)學(xué)模型開始出現(xiàn)極點(diǎn)，符號“v”表示只留數(shù)不變。基于LSCE法模態(tài)參數(shù)的辨識結(jié)果，如表1所示?？梢钥闯觯浑A和二階兩個(gè)模態(tài)的阻尼比較大，而三階和四階尤其是四階模態(tài)的阻尼比小于0.5%，當(dāng)阻尼小時(shí)會使振幅大、衰減慢、輻射噪聲強(qiáng)度也大[3]。在該頻率下，塔架結(jié)構(gòu)在受到激勵(lì)時(shí)容易產(chǎn)生劇烈振動，與無參數(shù)化試驗(yàn)?zāi)B(tài)的分析結(jié)果一致，此外，在振動抑制設(shè)計(jì)中，在此頻率范圍內(nèi)增加阻尼可以顯著降低總體的響應(yīng)。

圖6 LSCE法模態(tài)穩(wěn)態(tài)圖Fig.6 The Stabilization Diagram of LSCE

表1 LSCE算法識別的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)Tab.1 Structural Modal Parameters Identification Based on LSCE Algorithm

本研究主要關(guān)心低頻段的模態(tài)參數(shù)。從穩(wěn)態(tài)圖可以看出，當(dāng)模型迭代階次分別為56階、38階時(shí)第二、三階模態(tài)才被識別出來，說明為選擇正確的模態(tài)階數(shù)，LSCE算法需進(jìn)行多次假定識別才能確定正確的模態(tài)階數(shù)，計(jì)算量比較大。

為了驗(yàn)證LSCE算法的準(zhǔn)確性，特把LSCE算法得到的模態(tài)頻率和通過無參數(shù)化模態(tài)得到的模態(tài)頻率進(jìn)行了對比，具體的對比結(jié)果，如表2所示。從中可以看出，兩種方法得到模態(tài)頻率最大誤差為4.4%，從而證實(shí)了LSCE算法的正確性。

表2 LSCE算法和無參數(shù)化試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析的模態(tài)頻率對比Tab.2 Modal Frequency Comparison Between LSCE Algorithm and Non-Parametric Modal Analysis

模態(tài)振型的結(jié)果可以通過模態(tài)置信判據(jù)（Modal Assurance Criterion，MAC）來評估。MAC值表征的是兩個(gè)模態(tài)向量的相關(guān)程度，若MAC越接近1，則表明這兩個(gè)模態(tài)向量近似同一模態(tài)。不同模態(tài)振型之間具有正交性，它們之間是非相關(guān)的所以MAC值近似為0。兩個(gè)不同模態(tài)的MAC值可以由式（8）表示。

式中：r、s—各階模態(tài)的階次；｛φ｝—模態(tài)振型；*—共軛。

因而，同一模型中一組模態(tài)振型的MAC值組成了一個(gè)對角矩陣，對角元素近似為1，而非對角元素近似為0。LSCE算法估計(jì)的前4階模態(tài)振型的MAC圖，如圖7所示?？梢钥闯瞿B(tài)振型具有很好的正交性，且前四階中相鄰模態(tài)的MAC值均小于0.22，則振型相互獨(dú)立，這說明在（0～70）Hz頻帶內(nèi)至少有4個(gè)獨(dú)立的模態(tài)。

圖7 LSCE法前四階MAC圖Fig.7 The First Four Orders’MAC Diagram of LSCE

5 結(jié)論

（1）塔架對望遠(yuǎn)鏡的像質(zhì)影響很大，通過無參數(shù)化模態(tài)試驗(yàn)分析和基于LSCE算法的分析結(jié)果從兩個(gè)方面分別獲取了望遠(yuǎn)鏡塔架系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)，對比了兩種方法得到的結(jié)果，表明LSCE算法能夠更好地識別模態(tài)參數(shù)，具有較好的適應(yīng)性。（2）塔架的一階頻率為9.376Hz，處于風(fēng)載影響的頻率范圍，因此需要增加塔架的剛度，提高一階自振頻率。根據(jù)加速度功率譜累積分布函數(shù)，脈沖激勵(lì)下塔架的響應(yīng)能量主要集中在51Hz這個(gè)頻率處，該頻率為塔架結(jié)構(gòu)的薄弱模態(tài)，在進(jìn)行結(jié)構(gòu)動態(tài)優(yōu)化和振動抑制時(shí)應(yīng)重點(diǎn)考慮。（3）通過MAC表明前四階模態(tài)振型間相互獨(dú)立，證明在（0～70）Hz內(nèi)至少有4個(gè)獨(dú)立的模態(tài)。