丁朝華， 裴志成， 趙 穎， 肖景林

(內(nèi)蒙古民族大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院， 內(nèi)蒙古 通遼 028043)

1 引 言

石墨烯是一種新型材料，在光學(xué)、電學(xué)、力學(xué)和熱學(xué)方面擁有很多優(yōu)異的特性，具有良好的電子遷移率和生物相容性。石墨烯的電催化性能及其在生物器件方面有廣泛的應(yīng)用前景，可以被應(yīng)用在液晶顯示、超級電容器、太陽能電池和光子傳感器等諸多方面。由于石墨烯的奇特性質(zhì)和潛在的巨大應(yīng)用前景，使其迅速成為凝聚態(tài)物理研究熱點(diǎn)。近年來的一些實(shí)驗(yàn)揭示了石墨烯材料的光電和輸運(yùn)性質(zhì)會受極化子效應(yīng)的影響,而石墨烯中極化子性質(zhì)受外部磁場和不同襯底材料的影響。Stauber等[1]應(yīng)用LLP變分方法基于兩次連續(xù)的幺正變換研究了石墨烯體系中載流子與體縱光學(xué)聲子耦合的手征極化子的性質(zhì)，同時在近期實(shí)驗(yàn)[2-5]中發(fā)現(xiàn)，在強(qiáng)磁場的作用下石墨烯中的朗道零能級的分裂(即能帶的出現(xiàn))導(dǎo)致異常的量子霍爾平臺的出現(xiàn)，其中電子-聲子相互作用導(dǎo)致的微小帶隙的機(jī)制與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)是最接近的。Li和Wang等[6-7]采用變分法研究了磁場對石墨烯中強(qiáng)耦合形變勢型極化子性質(zhì)的影響，研究結(jié)果發(fā)現(xiàn)了這種極化子態(tài)導(dǎo)致的朗道零能級分裂。但到目前為止關(guān)于對石墨烯中弱耦合極化子性質(zhì)研究的文獻(xiàn)還很少見，本文作者[8-10]曾用線性組合算符和變分法研究了石墨烯中電子與表面聲學(xué)聲子(LA聲子)強(qiáng)耦合下極化子性質(zhì)的磁場效應(yīng)問題，而且得出的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果[11]相近。本文運(yùn)用線性組合算符和Pekar變分法研究了電子與表面光學(xué)聲子(SO聲子)弱耦合下磁場對石墨烯中極化子性質(zhì)的影響。

2 理論計算

取單層石墨烯的面為x,y平面，假設(shè)電子在石墨烯內(nèi)運(yùn)動，系統(tǒng)位于垂直于平面的均勻磁場(磁場強(qiáng)度為B)中，考慮到電子與表面光學(xué)聲子(SO聲子)相互作用，則該電子晶格耦合體系的哈密頓量為[12]：

(1)

對哈密頓量式(1)進(jìn)行下列幺正變換[13]：

(2)

再對電子動量和坐標(biāo)引入線性組合算符[14]：

(3)

(4)

在有限低溫的條件下，均勻磁場下體系的基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)波函數(shù)可分別寫為

(5)

(6)

式(4)的哈密頓量取體系基態(tài)式(5)和第一激發(fā)態(tài)式(6)的期待值，然后再利用對變分參量變分的變分法得到體系的基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)能量分別為

E0=〈ψ0H′ψ0〉=

(7)

E1=〈ψ1H′ψ1〉=

因此體系的結(jié)合能為

ΔE=E1±E0，

(9)

則體系極化子的躍遷頻率為

(10)

3 結(jié)果與討論

選用文獻(xiàn)[15]的參數(shù)(VF=106m·s-1，ρ=7.5×10-7kg·m-2，ν=2×104m·s-1，D=50 eV)進(jìn)行數(shù)值計算，來討論電子與表面光學(xué)聲子弱耦合情況下磁場對石墨烯中極化子的基態(tài)能量E0、第一激發(fā)態(tài)能量E1和躍遷頻率ω的影響。數(shù)值計算結(jié)果如圖1～6所示。

圖1為德拜截止波數(shù)kd分別取1.5×108,2.0×108，3.0×108m-1時，電子與表面光學(xué)聲子弱相互作用情況下石墨烯中極化子的基態(tài)能量E0隨磁場強(qiáng)度B的變化關(guān)系。從圖中可以觀察出：極化子的基態(tài)能量E0隨磁場強(qiáng)度B的變化曲線分裂為對稱的兩條，在磁場較弱時E0的絕對值是B的增函數(shù)，并逐漸趨于一個穩(wěn)定的值，同時E0的絕對值也隨kd的增加而增大。產(chǎn)生上述現(xiàn)象的原因如下：因?yàn)槭┧赜械木€性狄拉克能帶結(jié)構(gòu)，使能級在n=0這個軌道位置具有一個性質(zhì)，即在磁場作用下，當(dāng)費(fèi)米能級位于n=0這個軌道能級的右側(cè)時，n=0的朗道能級變成電子與空穴的共享軌道，二者又因?yàn)長orenz效應(yīng)分別與體系的聲子相互作用，引起相互作用能的絕對值相等但正負(fù)相反。

圖2表示當(dāng)磁場強(qiáng)度B分別為10，20，30 T時，石墨烯中弱耦合極化子的基態(tài)能量E0與德拜截止波數(shù)kd的關(guān)系曲線，由圖中可以看出：在磁場B影響下，E0隨kd的變化曲線也分裂成對稱的兩條，E0的絕對值是德拜截止波數(shù)kd的增函數(shù)，最后趨于一個穩(wěn)定的值保持不變，這個結(jié)果與實(shí)驗(yàn)[16]結(jié)果符合。

圖1 E0隨B的變化曲線

圖2 E0隨kd的變化曲線

圖3反映了德拜截止波數(shù)kd取不同值時石墨烯中弱耦合極化子的第一激發(fā)態(tài)能量E1隨磁場強(qiáng)度B的變化曲線，由圖3可知第一激發(fā)態(tài)能量E1隨著磁場強(qiáng)度B的增強(qiáng)而增大。

圖3 E1隨B的變化曲線

圖4為磁場強(qiáng)度分別取B=10，20，30 T的情況下石墨烯中弱耦合極化子的第一激發(fā)態(tài)能量E1隨德拜截止波數(shù)kd變化的依賴關(guān)系。由圖可見，磁場較大時(圖4中磁場強(qiáng)度稍大的兩條曲線)，極化子的第一激發(fā)態(tài)能量E1都是隨德拜截止波數(shù)kd的增加而增大，最后會達(dá)到一個穩(wěn)定的值；而磁場較弱時德拜截止波數(shù)kd對第一激發(fā)態(tài)能量E1的影響較弱。這是因?yàn)槭┎牧现械淖孕蛙壍乐g存在相互作用，并且自旋的影響會與磁場的強(qiáng)弱有關(guān)：磁場越強(qiáng)時，自旋的影響越強(qiáng)，E1隨kd的變化很明顯；而磁場較弱時，自旋的影響也越弱，E1幾乎不隨德拜截止波數(shù)kd的變化而變化。

圖4 E1隨kd的變化曲線

圖5給出了在考慮電子與表面光學(xué)聲子弱耦合情況下石墨烯中極化子的躍遷頻率ω在德拜截止波數(shù)kd取不同值時與磁場強(qiáng)度B之間的依賴關(guān)系。從圖5可以看出，弱耦合極化子的躍遷頻率是磁場強(qiáng)度的增函數(shù)。

圖5 ω隨B的變化曲線

圖6反映了在考慮電子與表面光學(xué)聲子弱耦合情況下石墨烯中極化子的躍遷頻率ω在磁場強(qiáng)度B取不同值時與德拜截止波數(shù)kd之間的依賴關(guān)系。從圖中可以觀察出：當(dāng)磁場稍強(qiáng)時，躍遷頻率ω會隨著德拜截止波數(shù)kd的增大先逐漸加快，然后會達(dá)到一個穩(wěn)定的值。而當(dāng)磁場稍弱時，躍遷頻率ω先隨德拜截止波數(shù)kd的增大而增強(qiáng)并達(dá)到最大值，然后變成德拜截止波數(shù)的減函數(shù)，最后也趨于一個穩(wěn)定的值。原因與圖4的相同。

圖6 ω隨kd的變化曲線

4 結(jié) 論

在考慮電子與表面光學(xué)聲子(SO聲子)弱耦合情況下，本文采用線性組合算符和Pekar變分法研究了磁場對石墨烯中極化子的基態(tài)能量E0、第一激發(fā)態(tài)能量E1和躍遷頻率ω的影響。數(shù)值計算結(jié)果表明，在德拜截止波數(shù)kd取定值時，弱耦合極化子基態(tài)能量E0隨磁場強(qiáng)度B變化的曲線會分裂成對稱的兩條；極化子的第一激發(fā)態(tài)能量E1和躍遷頻率ω均隨磁場B的增強(qiáng)而增加，并且E1和ω隨磁場強(qiáng)度B變化的曲線也不會分裂。磁場強(qiáng)度B取定值時，基態(tài)能量E0隨德拜截止波數(shù)kd的變化曲線也會分裂成對稱的兩條，基態(tài)能量E0的絕對值是德拜截止波數(shù)kd的增函數(shù)，直到達(dá)到一個穩(wěn)定的值；弱耦合極化子的第一激發(fā)態(tài)能量E1和躍遷頻率ω都是德拜截止波數(shù)kd的增函數(shù)，最后趨于一個穩(wěn)定的值。