池小波，王 艷，賈新春

（山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，太原 030006）

多傳感器信息融合估計(jì)在目標(biāo)跟蹤和信號(hào)處理中起著重要作用，其基本原理是融合測(cè)量數(shù)據(jù)或局部估計(jì)，以獲得較高精度的最優(yōu)估計(jì)[1]。基于Kalman濾波的融合估計(jì)通常包括集中式和分布式2種。與集中式融合相比，分布式融合需要較少的計(jì)算和通信負(fù)擔(dān)，并且更加靈活可靠。

基于Kalman濾波的網(wǎng)絡(luò)化融合估計(jì)問(wèn)題受到了相關(guān)領(lǐng)域?qū)W者的廣泛關(guān)注[2]。針對(duì)網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)特征，文獻(xiàn)[2-4]或者僅考慮對(duì)象到傳感器間存在時(shí)延的情形，均未考慮傳感器到估計(jì)器間存在的網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)特征，或者只是考慮單一特征，因此帶有多種網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)特征的分布式估計(jì)問(wèn)題的研究仍然面臨眾多挑戰(zhàn)[5]。

由于建模誤差、網(wǎng)絡(luò)時(shí)延和丟包的影響使得系統(tǒng)中可能存在不確定性，而傳統(tǒng)的Kalman濾波方法需要已知模型參數(shù)和噪聲統(tǒng)計(jì)量，因此傳統(tǒng)的濾波方法不適用于帶有上述不確定性的問(wèn)題，需要提出新的Kalman濾波方法來(lái)改進(jìn)估計(jì)性能。

近年來(lái)，魯棒Kalman濾波受到極大的關(guān)注[3，6]，然而現(xiàn)有的魯棒Kalman濾波器僅適用于具有噪聲方差不確定性的系統(tǒng)，很少考慮模型參數(shù)不確定性[7]，且數(shù)究工作大多僅限于單傳感器系統(tǒng)的魯棒Kalman濾波設(shè)計(jì)。針對(duì)多傳感器系統(tǒng)的魯棒融合估計(jì)問(wèn)題，特別是同時(shí)考慮模型不確定性、網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延和丟包特征共存的分布式融合估計(jì)問(wèn)題還很少被考慮[8]。考慮到相關(guān)分布式估計(jì)研究現(xiàn)狀，文中在分布式融合框架下，對(duì)帶有上述特征的多傳感器融合估計(jì)問(wèn)題開(kāi)展研究。針對(duì)帶有網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延和丟包的無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)和不確定模型，文中提出基于魯棒Kalman濾波的分布式融合估計(jì)方法。

1 問(wèn)題描述

1.1 分布式網(wǎng)絡(luò)化融合框架

考慮如下一類帶有不確定參數(shù)的線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)

其中

式中：x（k）為狀態(tài)向量；yi（k）為第個(gè)傳感器的量測(cè)輸出；ΔF（k）為狀態(tài)依賴的系統(tǒng)參數(shù)不確定項(xiàng)；F（k），A（k），B（k）和 Hi（k）為適當(dāng)維數(shù)時(shí)變矩陣；η（k）為零均值高斯白噪聲；w（k）為系統(tǒng)的過(guò)程干擾，v（k）為量測(cè)噪音，且 w（k）和 vi（k）均服從零均值高斯分布，其協(xié)方差矩陣分別為 Q（k）和 Ri（k），i=1，2，…，N。

假設(shè) w（k）和 vi（k）為相互獨(dú)立的高斯白噪聲，并滿足以下統(tǒng)計(jì)特性：

其中，當(dāng) i=j（其中 i，j=1，2，…，N），δij=1，反之則為0。 假設(shè) x0，w（k）和 vi（k）相互獨(dú)立，滿足 E（x（0））=x0，Var（x（0））=P0。

假設(shè)，在無(wú)線通訊網(wǎng)絡(luò)中部署N個(gè)傳感器以監(jiān)測(cè)不確定系統(tǒng)。分布式融合估計(jì)框架如圖1所示，框架中每個(gè)傳感器分別采樣系統(tǒng)（1）的量測(cè)輸出。采樣數(shù)據(jù)通過(guò)網(wǎng)絡(luò)傳輸時(shí)考慮網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延和丟包等現(xiàn)象，局部估計(jì)器使用接收到的信息設(shè)計(jì)局部估計(jì)信號(hào)，最后通過(guò)CI融合方法得到比局部估計(jì)精度更高的融合估計(jì)。

圖1 分布式融合估計(jì)框架Fig.1 Distributed fusion estimation framework

1.2 傳輸時(shí)延和丟包

由于網(wǎng)絡(luò)中存在時(shí)延和數(shù)據(jù)丟包，估計(jì)器收到來(lái)自傳感器的采樣數(shù)據(jù)滯后于最新的量測(cè)值，則k時(shí)刻估計(jì)器i收到的量測(cè)值為zi（k），即

其中

其中，不同的傳感器通過(guò)網(wǎng)絡(luò)傳輸時(shí)具有不同的丟包率，αi為傳感器i通過(guò)網(wǎng)絡(luò)的到達(dá)率，則有[4]

本文目的是同時(shí)考慮網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延和丟包情形下，研究不確定性系統(tǒng)的最優(yōu)融合估計(jì)問(wèn)題。首先，基于革新序列（符號(hào)定義見(jiàn)文中式（12）），確定局部Kalman濾波增益Ki（k），使得誤差協(xié)方差矩陣 Pi（k∣k）最小（i=1，2，…，N），然后給出融合估計(jì)和PCI（k∣k）。

2 網(wǎng)絡(luò)化魯棒Kalman濾波的局部估計(jì)

值，即線性最小均方誤差估計(jì)x贊i（k∣k）可定義為

預(yù)測(cè)誤差和濾波誤差為

在實(shí)際工程應(yīng)用中，由于噪聲和網(wǎng)絡(luò)因素的影響，傳統(tǒng)Kalman濾波器性能大大降低，且難以獲得全局最優(yōu)估計(jì)。因此，需要設(shè)計(jì)具有時(shí)延和丟包的局部網(wǎng)絡(luò)化魯棒Kalman濾波器。文中將具有時(shí)延的量測(cè)分為一步時(shí)延（即＝1）和多步時(shí)延（即≥2）這 2種情形。

2.1 帶有一步時(shí)延的局部網(wǎng)絡(luò)化Kalman濾波

其中

其相應(yīng)的誤差協(xié)方差矩陣Ψi（k）為

需要注意的是，與現(xiàn)存文獻(xiàn)中無(wú)時(shí)延Kalman濾波算法的不同之處在于，由于在k時(shí)刻估計(jì)器i收到 zi（k），其中 zi（k）由序列

考慮到估計(jì)誤差的均值 E（ei（k∣k））＝E（x（k）-由于零均值白噪聲的特性 E（γi（k-1））=0，進(jìn)一步可得 E（ei（k∣k））＝0，因此估計(jì)值是無(wú)偏的[10]。

定理1革新序列的誤差協(xié)方差可由式（12）和式（14）遞推得到

其中

證明：將式（4）（7）代入式（8），則有

其中

由于 x（k），w（k），vi（k）和丟包 θi（k）相互獨(dú)立，則

由式（16）（17）可得式（15），證畢。

定理2估計(jì)器i在k時(shí)刻的局部魯棒Kalman濾波可由如下遞歸方程給出

式中：Ki（k）為濾波增益；γi（k-1）為革新序列。

證明：將式（1）（18）代入式（8），可得

其中

類似于Pi（k∣k-1）的計(jì)算，濾波的誤差協(xié)方差矩陣可得

通過(guò)選擇適當(dāng)?shù)?Ki（k），可使濾波誤差Pi（k∣k）最小化。由

可得 Ki（k）；式中 Tr（·）為矩陣的跡，即

將式（25）代入式（24），可將 Pi（k∣k）重新寫(xiě)為

2.2 多步時(shí)延的局部網(wǎng)絡(luò)化Kalman濾波

傳感器的采樣數(shù)據(jù)通過(guò)網(wǎng)絡(luò)傳輸時(shí)，不同的傳輸時(shí)刻具有不同的隨機(jī)時(shí)延。當(dāng)時(shí)刻k的時(shí)延2時(shí)，系統(tǒng)由重組的采樣數(shù)據(jù)和更新序列的多步預(yù)測(cè)進(jìn)行局部估計(jì)。

系統(tǒng)（1）可以重新寫(xiě)為

其中

將式（27）（28）代入式（9），可遞推得到誤差協(xié)方差矩陣

為了減少計(jì)算負(fù)擔(dān)，多步時(shí)延情形的融合估計(jì)設(shè)計(jì)類似于一步時(shí)延情形。

3 分布式融合估計(jì)

基于CI融合算法，在k時(shí)刻融合中心利用收到的估計(jì)器i和j的局部估計(jì)進(jìn)行融合[6]，則融合估計(jì)和融合的誤差協(xié)方差矩陣 PCI（k∣k）為

式中：ωi（k）為優(yōu)化權(quán)值系數(shù)，滿足，其可通過(guò)最小化性能指標(biāo) J=tr（PCI（k∣k））來(lái)確定。

算法1帶有時(shí)延和丟包的多傳感網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)魯棒融合Kalman濾波。

輸入初始化局部狀態(tài)和誤差誤差協(xié)方差矩陣，并確定過(guò)程噪音和量測(cè)噪聲誤差協(xié)方差矩陣的初始值 Q（x）和 Ri（x）。

輸出局部狀態(tài)估計(jì)和相應(yīng)誤差協(xié)方差 Pi（k∣k）。

①傳感器i將采樣數(shù)據(jù)yi（k）傳輸給局部估計(jì)器，在此過(guò)程中考慮網(wǎng)絡(luò)化誘導(dǎo)時(shí)延和丟包現(xiàn)象，根據(jù)式（4）估計(jì)器端收到的采樣數(shù)據(jù) zi（k）；

②根據(jù)式（12）計(jì)算基于一步時(shí)延即τk=1和丟包的革新序列 γi（k-1）；

③根據(jù)式（15）計(jì)算其相應(yīng)的協(xié)方差 Ψi（k-1）；

⑤根據(jù)式（20）計(jì)算濾波增益 Ki（k）。

end for

for i＝1→N do

①利用補(bǔ)償機(jī)制，根據(jù)式（27）計(jì)算多步時(shí)延即τk≥2 的局部狀態(tài)

②結(jié)合式（28）計(jì)算相應(yīng)誤差協(xié)方差 Pi（k∣k）。

end for

和協(xié)方差矩陣 PCI（k∣k）。end for

長(zhǎng)期實(shí)踐表明，協(xié)方差矩陣偏離對(duì)角線的元素比對(duì)角線元素小很多，因此也可通過(guò)相應(yīng)矩陣的跡來(lái)得到[6]，即

通過(guò)使用CI融合方法避免了交叉協(xié)方差的計(jì)算，減少了計(jì)算負(fù)擔(dān)。所提的分布式融合估計(jì)方法見(jiàn)算法1。

4 仿真例子

考慮基于傳感器網(wǎng)路場(chǎng)景中的移動(dòng)目標(biāo)追蹤問(wèn)題。假設(shè)由3個(gè)傳感器節(jié)點(diǎn)分別對(duì)目標(biāo)進(jìn)行采樣，ΔF表示由移動(dòng)目標(biāo)的建模誤差引起的模型不確定性，系統(tǒng)可近似表示為

其中

時(shí)刻kT傳感器i的采樣數(shù)據(jù)為

其中

式中：H1（k），H2（k），H3（k）為量測(cè)傳輸矩陣。

考慮傳輸過(guò)程的網(wǎng)絡(luò)化誘導(dǎo)特征，則相應(yīng)的估計(jì)器收到的觀測(cè)值為

考慮τk=1的情形，假設(shè)系統(tǒng)的量測(cè)噪聲的協(xié)方差矩陣為

系統(tǒng)的初始值為

為了表明所提分布魯棒濾波的有效性，與分布式加權(quán)融合估計(jì)方法進(jìn)行了比較。

假設(shè)，3個(gè)傳感器的數(shù)據(jù)包到達(dá)估計(jì)器的概率分別為0.72，0.76，0.74。系統(tǒng)的位置、速度和加速度的估計(jì)如圖2所示。

圖2 兩種方法對(duì)位置、速度、加速度狀態(tài)的估計(jì)Fig.2 Estimation of the state of position，velocity，acceleration by two methods

由圖可見(jiàn)，在考慮時(shí)延和丟包的情況下，本文融合估計(jì)算法具有很好的跟蹤效果。另一方面，局部估計(jì)和融合估計(jì)的誤差協(xié)方差如圖3所示，該圖揭示了融合估計(jì)的誤差方差陣的跡明顯小于各局部估計(jì)的誤差協(xié)方差陣的跡。由此，仿真說(shuō)明了所提分布式魯棒Kalman濾波估計(jì)可以快速收斂到穩(wěn)態(tài)，減少不確定干擾對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生的影響，且可提高系統(tǒng)的估計(jì)性能，即分布式魯棒CI融合估計(jì)方法具有更高的估計(jì)精度。

圖3 局部估計(jì)和融合估計(jì)的誤差協(xié)方差Fig.3 Error covariance of local estimation and fusion estimation

5 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)具有網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)傳輸時(shí)延和丟包的模型不確定性系統(tǒng)的分布式融合估計(jì)問(wèn)題，設(shè)計(jì)了一種局部網(wǎng)絡(luò)化無(wú)偏Kalman估計(jì)器；在避免計(jì)算互協(xié)方差的情形下，利用CI融合方法將融合局部估計(jì)得到全局優(yōu)化估計(jì)。仿真結(jié)果表明，融合中心的誤差協(xié)方差矩陣的跡比每個(gè)局部傳感器都小，融合估計(jì)精度更高。