楊守國,李 勇,張昆輝,郭藝奪

(1.空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院,陜西 西安 710051;2.西北工業(yè)大學(xué)電子信息學(xué)院,陜西 西安 710072)

0 引 言

基于陣列參數(shù)模型的雙基地多輸入多輸出(multiple input multiple output,MIMO)雷達(dá)高分辨角度估計(jì)算法[1-3],以其優(yōu)良的高分辨性能受到了人們廣泛的關(guān)注。但高分辨算法龐大的運(yùn)算量和對(duì)誤差的低魯棒性一直是限制其實(shí)際工程應(yīng)用的重要瓶頸。隨著高速數(shù)字信號(hào)處理器的不斷更新和發(fā)展,以及人們對(duì)并行快速算法和次最優(yōu)算法的深入研究,高分辨算法實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn)的問題得到了根本的緩解,但對(duì)陣列誤差校正和魯棒的角度估計(jì)算法的研究還很不完善。各種高分辨角度估計(jì)算法依賴對(duì)陣列參數(shù)模型準(zhǔn)確的先驗(yàn)知識(shí),如典型的多重信號(hào)分類(multiple signal classification,MUSIC)算法需要陣列可見區(qū)域(field of view,FOV)內(nèi)陣列流形的精確信息,旋轉(zhuǎn)不變子空間(estimation of signal parameters via rotational invariance techniques,ESPRIT)算法雖然避免了對(duì)陣列流形的校正,但需要兩個(gè)特性完全相同的子陣結(jié)構(gòu)。這些在實(shí)際應(yīng)用中往往是無法實(shí)現(xiàn)的,人們對(duì)陣列模型已有的先驗(yàn)知識(shí)往往都有一定的偏差。另外,各種高分辨的空間譜估計(jì)算法對(duì)誤差的魯棒性能很差,對(duì)模型誤差往往很敏感[4-5],會(huì)導(dǎo)致角度估計(jì)性能隨模型的微小擾動(dòng)而急劇下降。因此,在雙基地MIMO雷達(dá)的工程實(shí)際應(yīng)用中,簡單有效的陣列校正方法具有重要的意義。

現(xiàn)有的雙基地MIMO雷達(dá)陣列校正方法大多只考慮存在一種陣列誤差(陣元互耦、陣元幅相或陣元位置)的情況[6-12]。針對(duì)收發(fā)陣列陣元互耦問題,文獻(xiàn)[6]給出了一種基于ESPRIT的雙基地MIMO雷達(dá)多目標(biāo)定位及互耦自校正算法,該算法計(jì)算量小,無需任何譜峰搜索,但角度估計(jì)精度較差;文獻(xiàn)[7]利用兩個(gè)一維譜峰搜索首先估計(jì)出目標(biāo)的二維角度,在此基礎(chǔ)上得到收發(fā)陣列的互耦矩陣,從而實(shí)現(xiàn)陣列誤差的自校正;文獻(xiàn)[8]基于張量分析理論提出了一種實(shí)值子空間的目標(biāo)二維角度估計(jì)算法;同時(shí),對(duì)于收發(fā)陣列陣元幅相誤差校正問題,文獻(xiàn)[9]提出了一種基于輔助陣元法(instrumental sensors method,ISM)的ESPRIT類(ESPRIT-like)算法,但該算法角度和幅相誤差矩陣估計(jì)性能均較差。為了解決這個(gè)問題,文獻(xiàn)[10]提出了一種基于傳播算子類法的聯(lián)合角度和幅相誤差估計(jì)方法;文獻(xiàn)[11]首先通過三線性分解算法來估計(jì)目標(biāo)的二維角度,然后用拉格朗日乘數(shù)法得到幅相誤差矩陣;文獻(xiàn)[12]提出了基于ESPRIT算法的角度和幅相誤差聯(lián)合估計(jì)方法等。然而,在工程實(shí)際應(yīng)用中,通常會(huì)遇到雷達(dá)收發(fā)陣列同時(shí)存在多種誤差形式,在這種情況下,上述的各種算法性能將會(huì)嚴(yán)重下降甚至完全失效。如何對(duì)存在兩種以上陣列誤差進(jìn)行校正是目前遇到的一個(gè)難點(diǎn),相關(guān)的研究成果報(bào)道比較少。針對(duì)這個(gè)難題,考慮在收發(fā)陣列中增加輔助陣元來保證擾動(dòng)參數(shù)估計(jì)可用的信息量,這是因?yàn)殛嚵袛_動(dòng)與方位有關(guān),要進(jìn)一步提高擾動(dòng)參數(shù)估計(jì)可用的信息量,增加輔助信源的方法已不再有效?；谶@一思想,本文通過在雙基地MIMO雷達(dá)的收發(fā)端都引入若干個(gè)經(jīng)過精確校正的輔助陣元(假設(shè)這些陣元不存在互耦和幅相誤差),并利用子空間理論,提出了一種基于降維的目標(biāo)二維角度及收發(fā)陣列互耦和幅相誤差矩陣的聯(lián)合估計(jì)算法。該算法只需要參數(shù)的一維搜索,不存在參數(shù)聯(lián)合估計(jì)的局部收斂問題。

1 互耦和幅相誤差的陣列信號(hào)模型

考慮一個(gè)具有M個(gè)發(fā)射陣元和N個(gè)接收陣元的雙基地MIMO雷達(dá)系統(tǒng),其收發(fā)陣列都是陣元間距為半波長的均勻線陣。假設(shè)在陣列遠(yuǎn)場的同一距離單元,存在P個(gè)非相關(guān)的目標(biāo),它們的波離方向(direction of departure,DOD)和波達(dá)方向(direction of arrival,DOA)分別為φp和θp。記發(fā)射和接收陣列的互耦自由度分別為kt,kr(kt

Ct=toeplitz(ct,ct),Cr=toeplitz(cr,cr)

(1)

式中,ct表示Ct的循環(huán)矢量,ct=[ct1,…,ctkt,0,…,0],0<|ctkt|<…

為了克服收發(fā)陣列的互耦和幅相誤差帶來的影響,這里分別在接收陣列和發(fā)射陣列中引入kr和kt個(gè)經(jīng)過精確校正的陣元,其間距仍然是半波長,但是其與原收發(fā)陣列之間的距離足夠遠(yuǎn),使得其與原收發(fā)陣列的互耦效應(yīng)可以忽略不計(jì),假設(shè)其與原陣列的間距分別為dt和dr。這里假設(shè)精確校正的陣元之間不存在陣元互耦誤差,且自身不存在幅相誤差。圖1給出了在原發(fā)射和接收陣列中分別增加輔助陣元后的雙基地MIMO雷達(dá)陣列模型。

圖1 增加輔助陣元后的雙基地MIMO雷達(dá)陣列模型Fig.1 Arrays model of bistatic MIMO radar by applying several instrumental sensors

根據(jù)以上陣列模型,接收的回波信號(hào)經(jīng)過匹配濾波器后,可以表示成

(2)

2 基于降維的聯(lián)合估計(jì)算法

2.1 目標(biāo)二維角度估計(jì)

為了利用文獻(xiàn)[13]中的定理1,通過矩陣運(yùn)算可以將收發(fā)陣列的互耦和幅相誤差矩陣轉(zhuǎn)換成角度依賴的誤差矩陣,所以式(2)可進(jìn)一步寫成

(3)

因此,基于式(3)可以得到協(xié)方差矩陣為

R=E[x(t)xH(t)]=

(4)

對(duì)R做特征值分解,可得其噪聲子空間Un。利用子空間原理,可得

(5)

由于目標(biāo)的二維角度、互耦和幅相誤差系數(shù)都是未知的,要對(duì)其求解需要進(jìn)行多維參數(shù)搜索,所以計(jì)算量非常龐大,實(shí)際中是很難實(shí)現(xiàn)的,而且當(dāng)初始值與真值偏離較遠(yuǎn)時(shí),會(huì)出現(xiàn)無法局部收斂的問題。為了避免多維參數(shù)搜索問題,這里采用降維的方法來進(jìn)行估計(jì)。

根據(jù)文獻(xiàn)[13]中的定理1,我們知道:對(duì)于一個(gè)任意的M×1維的復(fù)矢量X和任意的M×M維的復(fù)對(duì)角陣D,有

D·X=Q1(X)·d

(6)

式中,di=Dii(i=1,2,…,M)是M×1維的復(fù)矢量;[Q1(X)]ij=Xi·δij(i,j=1,2,…,M)是M×M維的復(fù)矩陣,

(7)

式中,

αt(φ)δt(φ)

(8)

將式(7)和式(8)代入式(5)中,并利用Kronecker積的性質(zhì),可得

δH(θ,φ)[IN+1?αt(φ)]HQ1(θ)[IN+1?αt(φ)]δ(θ,φ)=0

(9)

δ(θ,φ)=δr(θ)?δt(φ)

(10)

(11)

注意到對(duì)于不同的角度θ和φ,[IMr+1?αt(φ)]δ(θ,φ)不可能恒等于0。因此,式(9)成立的充要條件是當(dāng)(θ,φ)={(θ1,φ1);(θ2,φ2);…;(θP,φP)}時(shí),矩陣Q1(θ)為奇異矩陣[14-15]?；诖嗽?可以得到

(12)

或

(13)

通過式(12)和式(13),可以得到目標(biāo)DOA的估計(jì)值?；趯?duì)DOA的估計(jì),并觀察到δ(θ,φ)的第一個(gè)元素為1,于是可以通過求解下面帶約束條件的優(yōu)化問題來對(duì)目標(biāo)的DOD和δ(θ,φ)進(jìn)行估計(jì),得

(14)

(15)

式中,e1=[1,0,…,0]T。

對(duì)式(14)應(yīng)用拉格朗日算子法求解,可得

p=1,2,…,P

(16)

通過對(duì)φ在(-90°,90°)范圍內(nèi)進(jìn)行譜峰搜索,即可獲得目標(biāo)DOD的估計(jì)值,實(shí)現(xiàn)二維角度的自動(dòng)配對(duì),然后利用估計(jì)的DOA和DOD就可進(jìn)一步得到δ(θ,φ)的估計(jì)值。

2.2 互耦和幅相誤差系數(shù)估計(jì)

(17)

式中,⊙表示的是Hadamard積。

由于估計(jì)的目標(biāo)DOA存在一定的誤差,根據(jù)式(17)可以建立優(yōu)化函數(shù)為

(18)

假設(shè)接收陣列互耦矩陣Cr是已知的,那么式(18)可進(jìn)一步寫成

(19)

利用文獻(xiàn)[13]中的定理3,進(jìn)而可將Θ寫成

(20)

T(Jn)=T1(Jn)+T2(Jn)

(21)

根據(jù)式(19),可以求得其最優(yōu)解為

(22)

將式(22)代入式(19),可得關(guān)于Cr的優(yōu)化問題,即

(23)

(24)

(25)

3 計(jì)算機(jī)仿真

仿真1所提降維算法對(duì)目標(biāo)二維角度進(jìn)行估計(jì)的結(jié)果

仿真過程中取信噪比(signal-to-noise ratio,SNR)為10 dB,快拍數(shù)設(shè)為256。圖2給出了采用所提降維算法對(duì)目標(biāo)二維角度進(jìn)行估計(jì)的結(jié)果,其為50次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。從圖2可以看出:在收發(fā)陣列存在互耦及幅相誤差的條件下,所提算法不需要預(yù)知誤差系數(shù),就可以較為精確地獲得目標(biāo)DOD和DOA的估計(jì)值,并對(duì)估計(jì)的結(jié)果自動(dòng)配對(duì)。因此,該算法可在收發(fā)陣列存在互耦及幅相誤差條件下實(shí)現(xiàn)對(duì)多目標(biāo)的精確定位。

圖2 目標(biāo)二維角度的估計(jì)結(jié)果Fig.2 Estimated result of two-dimensional angle for targets

仿真2算法二維角度估計(jì)的統(tǒng)計(jì)性能

圖3 目標(biāo)角度估計(jì)的RMSE隨SNR變化曲線Fig.3 Curve of RMSE of angle estimation versus SNR

從蒙特卡羅仿真實(shí)驗(yàn)的結(jié)果可以看出,所提算法對(duì)目標(biāo)收發(fā)方位角進(jìn)行估計(jì)時(shí),的確不需要任何互耦及幅相誤差信息,就可以獲得良好的估計(jì)性能。

仿真3收發(fā)陣列校正前后二維MUSIC算法的空間譜曲線及其等高線圖

本仿真主要考察所提算法的互耦及幅相誤差自校正結(jié)果。圖4給出了校正前收發(fā)陣列互耦和幅相誤差矩陣未知情況下的二維MUSIC算法的空間譜曲線及其對(duì)應(yīng)的等高線圖。圖5是自校正后的空間譜曲線及其對(duì)應(yīng)的等高線圖。

圖4 校正前互耦及幅相誤差矩陣未知的情況Fig.4 Situation of unknown mutual coupling and gain-phase error matrices before calibration

圖5 采用所提算法進(jìn)行互耦及幅相誤差自校正后情況Fig.5 Situation of mutual coupling and gain-phase error calibrated by the proposed algorithm

由圖4和圖5可以看出,校正前互耦及幅相誤差矩陣未知的情況下,二維MUSIC算法的空間譜變化平緩,在空間中目標(biāo)方位處無法形成譜峰,導(dǎo)致不能有效分辨這3個(gè)目標(biāo)。而采用所提算法校正后可在目標(biāo)收發(fā)方位處形成明顯而尖銳的譜峰,從而能較好的分辨這3個(gè)目標(biāo)。

4 結(jié) 論

本文提出了一種適用于雙基地MIMO雷達(dá)收發(fā)陣列互耦和幅相誤差校正的降維算法。該算法在原收發(fā)陣列中分別增加一些輔助接收和發(fā)射陣元,而這些輔助陣元都經(jīng)過精確校正,這樣在空間存在多個(gè)目標(biāo)的情況下,既可以對(duì)每個(gè)目標(biāo)的收發(fā)方位角,又可以對(duì)雷達(dá)收發(fā)陣列的互耦及幅相誤差矩陣進(jìn)行無模糊的聯(lián)合估計(jì)。該算法的優(yōu)點(diǎn)在于在聯(lián)合估計(jì)過程中,不需要提前知道收發(fā)陣列的誤差系數(shù)等信息,通過引入輔助陣元來避免通常自校正算法導(dǎo)致的參數(shù)估計(jì)模糊問題,而且算法運(yùn)算量較小,只需兩個(gè)一維的譜峰搜索,不存在參數(shù)聯(lián)合估計(jì)的局部收斂問題。此外,該算法也不需要對(duì)第一個(gè)收發(fā)陣元的幅度和相位誤差做歸一化處理,從而使得誤差模型更加符合實(shí)際情況。