徐靜安 趙修顯 張玉梅 曹衛(wèi)宇

2015年9月—10月間，在“制備超高分子量聚乙烯鋰電池隔膜的探索性研究”項目中，張玉梅、王新威等對研究響應(yīng)隔膜技術(shù)指標(biāo)（孔隙率、拉伸強度、斷裂伸長率等）進行綜合評分尋優(yōu)，這個數(shù)據(jù)處理方法，引起筆者重視。在隨后的項目討論中、發(fā)現(xiàn)上海化工研究院不少實驗研究項目涉及此類方法，但應(yīng)用方法不太規(guī)范。為此調(diào)整講義編寫計劃，和同仁一起針對性查閱了多指標(biāo)綜合評價方面的一批資料，剖析了一些案例，并在項目中探索應(yīng)用。

一 概述

1 問題的提出

實驗研究中多響應(yīng)指標(biāo)是個普遍現(xiàn)象。

超薄瀝青混凝土研究：其他條件固定，考察變量是粉料比、料石類型、瀝青類型、填料類型、粗料石含量5個因素；選用L8（4×24）設(shè)計，極差分析尋優(yōu)，多響應(yīng)yj見表1。

液體葡萄糖生產(chǎn)工藝最佳條件選?。浩渌麠l件固定，考察粉漿濃度、酸度、穩(wěn)壓時間、工作壓力4個因素；選用L9（34）設(shè)計，極差分析尋優(yōu)，多響應(yīng)yj見表2。VD3光化學(xué)合成研究：其他條件固定，考察投料量、某溶劑量、反應(yīng)時間、反應(yīng)溫度4個因素；選用U7（74）設(shè)計，回歸建模尋優(yōu)，多響應(yīng)yj見表3。

2個響應(yīng)指標(biāo)容易直觀綜合平衡優(yōu)化。多響應(yīng)指標(biāo)一般是指3個及其以上響應(yīng)指標(biāo)。每個指標(biāo)樣本響應(yīng)值構(gòu)成1個子集，多維子集間形成復(fù)雜關(guān)系：各個子集的量綱不一致，各個子集值數(shù)量級相差大，可能存在定性子集，各個子集優(yōu)化趨勢不一致（子集間存在不同的相關(guān)性），有的子集指標(biāo)值有附加約束，子集的重要性不相同等。顯然，僅優(yōu)化一個響應(yīng)指標(biāo)，無法滿足其他指標(biāo)優(yōu)化的需求。分階和綜合是人類基本的思維模式，科研人員習(xí)慣于分階逐項考察單項指標(biāo)，但也需面對復(fù)雜的多項指標(biāo)，對其進行綜合評價。需求驅(qū)動方法的探索。

表1 超薄瀝青多指標(biāo)

表2 液體葡萄糖生產(chǎn)指標(biāo)

表3 光化學(xué)反應(yīng)多指標(biāo)

2 綜合評價方法一般概念

對多指標(biāo)進行測試形成的多指標(biāo)響應(yīng)進行綜合評價是多元統(tǒng)計分析的第二類問題——降維問題，是系統(tǒng)工程有限方案（樣本）多目標(biāo)決策分析中，將多指標(biāo)進行加工提煉為單一綜合目標(biāo)的一種數(shù)學(xué)方法，可用于評價、決策、管理等。有的方法還適用于高維、非線性、非正態(tài)的復(fù)雜系統(tǒng)，已經(jīng)被用于水質(zhì)、環(huán)境評價、災(zāi)情評估、工業(yè)競爭力分析、人力資源測評等領(lǐng)域。

“多指標(biāo)綜合評價方法及權(quán)重的選擇”一文列舉了10余種多指標(biāo)評價方法：層次分析加權(quán)法（AHP法）、主成分分析法、TOPSIS法、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法、模糊綜合評判法、灰關(guān)聯(lián)聚類法、因子分析法、綜合指數(shù)法，等。DPS軟件中還專門介紹了投影尋蹤分類法（PPC法）等。顯然，不同類型的問題有相應(yīng)的多指標(biāo)綜合評價方法。

植煙土壤養(yǎng)分評價：有45個鄉(xiāng)鎮(zhèn)土壤樣本，涉及堿解氮、交換性鎂等14項養(yǎng)分化學(xué)指標(biāo)；根據(jù)前人研究成果，引入拐點值，每個指標(biāo)子集分成4類，土壤樣本綜合評價分成5類，采用主成分分析和聚類法進行綜合評價。

對某醫(yī)院1994—1998年的工作質(zhì)量進行綜合評價，涉及門診量、治療率、病床周轉(zhuǎn)率、病死率等11項指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)值和實際值，采用平均指數(shù)法進行綜合評價。

某工程項目的風(fēng)險評價是個4層目標(biāo)樹結(jié)構(gòu)，底層指標(biāo)涉及鋼衍梁制安、柱基礎(chǔ)等18個指標(biāo)，每個指標(biāo)分為5個等級，采用層次分析法進行綜合評價。

有資料認(rèn)為，對于多響應(yīng)子集，十幾種綜合評價法尚不存在“最好的評價方法”，應(yīng)根據(jù)不同專業(yè)領(lǐng)域選用“可行的評價方法”。面對系統(tǒng)工程問題，用同一種方法對同一類項目進行綜合評價，可以分出“優(yōu)”“劣”排序，但方法不是惟一的；用不同方法對同一項目進行綜合評價，沒有較為客觀的統(tǒng)計量，可借助驗證方法來表征不同方法之間的“優(yōu)”“劣”。目前對方法的選用：一是依靠帶有主觀成分的“認(rèn)可度”；二是同類項目評價方法相對穩(wěn)定，采用“一致性”的原則。

對于實驗研究中的多指標(biāo)，一般響應(yīng)不是高維的，都是單層的、沒有冗余的，筆者認(rèn)為綜合評價方法可采用改進的簡易公式評價方法，這是本講義討論的重點。

3 改進簡易公式法

改進簡易公式法的基本思想是樣本多響應(yīng)指標(biāo)的無量綱隸屬度具有可加性，通過“加權(quán)和”得到單一綜合評價指標(biāo)集。

式中：i=1，2，3，...，n，是試驗樣本量；

j=1，2，3，...，k，是響應(yīng)指標(biāo)數(shù)；

Wj是各響應(yīng)子集的權(quán)值；Yij為i個樣本j指標(biāo)值yij在j子集中的隸屬度。1965年，系統(tǒng)科學(xué)家札德（Zadeh L A）提出模糊集合新概念，用隸屬度表示某元素與相應(yīng)子集的關(guān)系。本方法引用隸屬度Yij表明其在子集中的隸屬排序，在閉區(qū)間[0,1]中得一對應(yīng)數(shù)據(jù)指標(biāo)，計算如下：

式中：yij為i個樣本j響應(yīng)指標(biāo)實驗值；

yjmax為j響應(yīng)指標(biāo)子集中最大實驗值；

yjmin為j響應(yīng)指標(biāo)子集中最小實驗值。

在上述眾多綜合評價方法中，差異主要體現(xiàn)在無量綱處理、權(quán)重選擇、綜合指標(biāo)合成的不同上。如TOPSIS法中無量綱歸一化處理，采用

而原簡易公式評分法是采用子集指標(biāo)波動的標(biāo)準(zhǔn)差Sj對指標(biāo)做無量綱處理Yij=yij/Sj，并由此比值表征其在該子集中的排序資格。筆者認(rèn)為這樣的無量綱處理，各子集間比值范圍相差可能較大，不如隸屬度計算將多維子集映射在[0,1]區(qū)間，樣本子集間排序也有直觀可比性。

在做隸屬度無量綱處理前，如果子集含有定性模糊指標(biāo)，首先要轉(zhuǎn)化為打分定量指標(biāo)。此外，對指標(biāo)值應(yīng)作專業(yè)技術(shù)上的判斷：高優(yōu)——指標(biāo)越高越好；低優(yōu)——指標(biāo)越低越好。在綜合評價中，對低優(yōu)子集須進行1/yij轉(zhuǎn)換，保持優(yōu)化趨勢一致性后計算隸屬度。也有資料對低優(yōu)子集不作倒數(shù)轉(zhuǎn)換，而在隸屬度計算時作如下處理：

4 權(quán)重系數(shù)的選擇

從專業(yè)技術(shù)上分析，實驗研究中的多指標(biāo)響應(yīng)可分為主響應(yīng)決定型、主響應(yīng)突出型、響應(yīng)加權(quán)型三類。前兩類較易處理，本文討論的是響應(yīng)加權(quán)型多指標(biāo)綜合評價方法。

在綜合評價方法中，各個指標(biāo)不同的重要性，權(quán)重系數(shù)在相當(dāng)一段時間內(nèi)是由專家按主觀方法確定的，因此稱為“專家權(quán)”“經(jīng)驗權(quán)”?！翱陀^權(quán)”權(quán)重系數(shù)是依靠數(shù)據(jù)驅(qū)動，利用多指標(biāo)子集的數(shù)據(jù)開發(fā)了熵權(quán)法、標(biāo)準(zhǔn)離差法、信息量權(quán)數(shù)法、獨立性權(quán)數(shù)法等十余種方法。權(quán)重系數(shù)的選擇對評價結(jié)果影響較大，被看作是綜合評價中的重中之重。

有些方法因過于繁復(fù)而難以推廣。根據(jù)科學(xué)、簡明、可操作性，筆者推薦采用改進的信息量權(quán)數(shù)法，其基本思想是根據(jù)指標(biāo)變異性大小來確定客觀權(quán)重，變異程度越大（即響應(yīng)子集中yij值波動范圍越大），其優(yōu)、劣差距越大，信息量越多，在綜合評價中的作用越大，權(quán)重越大。所以可直接利用各子集變異系數(shù)Cvj，經(jīng)歸一化后求權(quán)重系數(shù)；筆者認(rèn)為，同時要計及指標(biāo)子集的平均值yj對研究期望yj*的偏離，偏離度大的子集對綜合評價優(yōu)化的影響越大，其權(quán)重也應(yīng)該越大。

子集變異影響的權(quán)重系數(shù)式中：yj為j指標(biāo)的平均值；

Sj為j指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差；

子集平均值偏離影響的權(quán)重系數(shù)：

筆者建議在此客觀權(quán)重系數(shù)基礎(chǔ)上，兼顧專業(yè)知識和經(jīng)驗僅作小范圍調(diào)整，降低主觀性過度干預(yù)。

二 方法框架

對多指標(biāo)綜合評價理論概念描述僅限于基本思想、邏輯的合理，但方法框架，必須具體、清晰，以便于規(guī)范應(yīng)用，見圖1。

框架圖解釋如下：

（1）多指標(biāo)試驗設(shè)計

在實驗研究中，還是推薦使用（UD）均勻設(shè)計。由于多指標(biāo)綜合評價優(yōu)化的復(fù)雜性，建議實驗樣本量N和考察的變量因素M之比（N/M）在2～2.5范圍內(nèi)適當(dāng)取大些。

圖1 多指標(biāo)綜合評價方法框架

（2）結(jié)果和判斷

多指標(biāo)綜合評價的指標(biāo)的測試工作量很大，后續(xù)計算工作量也大，為少走彎路，在框架圖中設(shè)置本節(jié)點。

由于均勻設(shè)計在實驗考察變量的多維空間范圍內(nèi)均勻布點，試驗設(shè)計本身就有優(yōu)化的功能。針對專業(yè)開發(fā)的技術(shù)指標(biāo)，相關(guān)技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)，實驗結(jié)果樣本中應(yīng)該出現(xiàn)接近或達標(biāo)的響應(yīng)值，如果沒有出現(xiàn)這樣的“好點”，也就是試驗涉及的變量及范圍選擇有問題，實驗結(jié)果沒有接近優(yōu)化值的區(qū)域，需要重新設(shè)計。對于多指標(biāo)實驗研究，只要有一個指標(biāo)子集中沒有出現(xiàn)“好點”，應(yīng)予以充分重視，判斷是否需要重新設(shè)計。

（3）各子集統(tǒng)計建模

子集二次多項式逐步回歸建模，是綜合評價集建模尋優(yōu)的技術(shù)基礎(chǔ)（采用其他模型擬合、映射的復(fù)雜對象，另行討論）。

（4）統(tǒng)計檢驗

各子集模型的統(tǒng)計檢驗可以反映多指標(biāo)實驗的數(shù)據(jù)質(zhì)量，模型的顯著性，以及是否需要補充修整實驗。不能有一個子集通不過檢驗，這是綜合評價方法的必要條件。如果子集模型不可信，沒有統(tǒng)計顯著性，那么綜合評價統(tǒng)計模型尋優(yōu)就沒有意義了。

（5）子集優(yōu)化趨勢一致性

實驗研究指標(biāo)在專業(yè)上數(shù)值越大越好——高優(yōu)，數(shù)值越小越好——低優(yōu)。在綜合評價時各子集優(yōu)化趨勢應(yīng)一致，將低優(yōu)樣本值作1/yij倒數(shù)變換。

（6）子集隸屬度計算

經(jīng)隸屬度計算，各子集相應(yīng)值消除了量綱及數(shù)量級的差異，并在[0,1]區(qū)間中確定了排序資格。

（7）數(shù)據(jù)計算權(quán)重系數(shù)

采用改進信息權(quán)數(shù)法求得權(quán)重系數(shù)wj，再根據(jù)專業(yè)知識、經(jīng)驗進行微調(diào)。筆者建議：“客觀權(quán)”+“專家權(quán)”→“綜合權(quán)”。

（8）綜合評價加權(quán)和計算

采用改進簡易評分公式計算獲得降維至一維的綜合評分集。

（9）綜合評價集建模優(yōu)化

采用二次多項式逐步回歸建模尋優(yōu)。

（10）統(tǒng)計檢驗

根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否需要補充修整實驗，是否需要采用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)反向傳播（BP）算法、支向量回歸（SVR）等其他方法比對計算、尋優(yōu)。

（11）優(yōu)化驗證

綜合優(yōu)化工藝條件應(yīng)予以實驗驗證，如果結(jié)果和綜合優(yōu)化模型預(yù)報不一致，可將此組實驗作為補充修整實驗，再進行統(tǒng)一建模。

（12）按要求編制編寫技術(shù)文件

實驗研究中的多指標(biāo)綜合評價方法和社會科學(xué)中的系統(tǒng)工程綜合評價方法有所不同。圖1方法框架中節(jié)點1，2，3，4是本方法的技術(shù)基礎(chǔ)和必要條件；節(jié)點 5，6，7，8，9 是方法的主體；節(jié)點 10，11 是實驗研究多指標(biāo)綜合評價方法的特點——及時檢驗、驗證。

本方法框架適用于實驗研究中采用統(tǒng)計模型尋優(yōu)的多指標(biāo)綜合評價。

三 應(yīng)用案例

2016年1月4日，上海應(yīng)用技術(shù)大學(xué)和上?；ぱ芯吭汉献髋囵B(yǎng)的專業(yè)碩士趙修顯的課題立項：土壤中復(fù)合重金屬化學(xué)固化技術(shù)研究。在曹衛(wèi)宇、羅勇等導(dǎo)師的支持之下探索、學(xué)習(xí)試驗設(shè)計和數(shù)據(jù)處理技術(shù)。同年6月份完成小論文初稿“基于一種硫磷復(fù)配體系的土壤化學(xué)固定技術(shù)研究”，作者是趙修顯、陳東輝、曹衛(wèi)宇、羅勇、徐靜安（刊登于《應(yīng)用化工》2017年第2期上）。在近半年時間內(nèi)，我們交流討論10余次，培育了本應(yīng)用案例。本講義側(cè)重方法程序，對其進行引用并解讀。

1 實驗方案簡介

本項目以硫脲和羥基磷酸鈣復(fù)配體系為固定劑，對土壤中重金屬鎘（Cd）、銅（Cu）、汞（Hg）、鉛（Pb）和鋅（Zn）進行固定化研究，應(yīng)用U10*(108)均勻設(shè)計表安排試驗?？疾炝螂逵昧縓1、氫氧化鈉用量X2、羥基磷酸鈣用量X3、固定時間X4、土壤含水率X5等5個實驗因素。研究目的是尋求綜合優(yōu)化的復(fù)配型固定劑及固定化工藝條件。這是一個多因素多響應(yīng)指標(biāo)的綜合優(yōu)化工程技術(shù)開發(fā)項目，由于實驗工作量、時間等限制，采用了效率較高的均勻試驗設(shè)計，而且選用了U10*(108)表，其樣本率=樣本量/因素數(shù)=10/5=2，比較低。為提高實驗數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性采用雙樣實驗。均勻試驗設(shè)計及部分試驗結(jié)果見表4。

表4 均勻設(shè)計試驗及結(jié)果

2 實驗結(jié)果判斷

對5個子集鎘、銅、汞、鉛、鋅固定率的直觀分析均出現(xiàn)大于期望值90%的結(jié)果。以出現(xiàn)大于90%樣本量最少的鎘為研究對象進行分析，見表4。由于均勻設(shè)計是在試驗的空間中“均勻布點”，其試驗設(shè)計方案本身就有獲得“好點”的優(yōu)化概率。出現(xiàn)No.7等“好點”，表明試驗范圍內(nèi)存在優(yōu)化區(qū)域，試驗因素及其范圍的選擇合理，為數(shù)據(jù)處理進一步優(yōu)化提供了基礎(chǔ)。

3 子集建模

采用DPS數(shù)據(jù)處理二次多項式逐步回歸法建模。

限于篇幅，本文僅列出y1鎘子集統(tǒng)計模型建模的計算過程，y2銅、y3汞、y4鉛、y5鋅的子集建模過程省略。

4 子集統(tǒng)計檢驗

各子集統(tǒng)計模型中變量項的偏相關(guān)系數(shù)顯著水平P值均小于0.05，檢驗顯著，其他統(tǒng)計量匯總由表5所示。

由表5可見，對子集多元回歸統(tǒng)計檢驗，統(tǒng)計模型顯著性水平P＜0.01，高度顯著；各子集模型中變量偏相關(guān)系數(shù)的顯著水平P＜0.05，顯著；各子集模型擬合剩余標(biāo)準(zhǔn)差S的相對標(biāo)準(zhǔn)差小于0.2%，正常；調(diào)整決定系數(shù)是對模型的決定系數(shù)作自由度的調(diào)整，后者接近且逼近1正常；殘差統(tǒng)計調(diào)整量d滿足 0＜d＜ 4，d 值接近 2，處于 1～3 之間，表明殘差獨立性正常。上述統(tǒng)計量檢驗通過。

5 優(yōu)化趨勢一致性分析

本案例為對土壤中重金屬化學(xué)固定的配方和工藝研究，多指標(biāo)相應(yīng)固定率均為高優(yōu)，不必變換。

6 子集隸屬度計算

由表4的固定化率代入隸屬度計算公式（2），即得到y(tǒng)1鎘的隸屬度，現(xiàn)把5個指標(biāo)的隸屬度計算結(jié)果匯總于表6。

7 權(quán)重系數(shù)選擇

本案例前期工作還是按傳統(tǒng)方法開展根據(jù)專業(yè)知識及獲得的采用“經(jīng)驗權(quán)”實驗數(shù)據(jù)，人為地選擇了3組權(quán)重系數(shù)進行試算，最后選擇能兼顧各子集優(yōu)化的權(quán)重分配：

依靠數(shù)據(jù)驅(qū)動、采用改進信息量權(quán)數(shù)法，將另行討論。

8 加權(quán)和計算

將表6子集隸屬度按樣本序號代入改進簡單評分公式（7），得到綜合評分隸屬度集表7。

表5 子集統(tǒng)計量匯總

表6 子集隸屬度匯總

9 綜合建模優(yōu)化

采用DPS數(shù)據(jù)處理二次多項式逐步回歸法建模，為節(jié)省篇幅僅列出計算結(jié)果。

10 統(tǒng)計檢驗

根據(jù)DPS軟件的擬合結(jié)果，得出回歸方程的P=0.0052717，決定系數(shù)R2=0.999 94，剩余標(biāo)準(zhǔn)差S=0.002 0，調(diào)整后決定系數(shù) Ra2=0.999 944，Durbin-Watson統(tǒng)計量d=1.8053，與2接近。模型擬合在統(tǒng)計上有顯著意義，預(yù)報最優(yōu)工藝條件見表8。

11 優(yōu)化驗證

統(tǒng)計模型（8）預(yù)測最佳工藝組合條件綜合評分隸屬度Y=1.1001。需要說明的是，此處Y≥1.00在理論上是可能的。因為在各子集隸屬度計算時，把實測yimax的隸屬度計算定義為1，模型優(yōu)化值完全可能超過樣本的實測好點值。

對表8優(yōu)化工藝進行驗證實驗No.11各子集固定化率見表9。

表7 綜合評分集

表8 最高指標(biāo)時各個因素組合

表9 驗證No.11各子集固定化率

由表9數(shù)據(jù)可以按公式（2）計算得到相應(yīng)子集的隸屬度，并由公式（7）計算獲得綜合評分驗證優(yōu)化值，見表10。

模型（8）預(yù)報最優(yōu)工藝條件Y=1.100 1，驗證實驗綜合評分為0.978 34，則預(yù)報相對偏差（1.100 1-0.97834）/0.97834=12.4%。盡管表9各子集重金屬固定率均已達到大于90%的期望值，但預(yù)報相對偏差12.4%對于實驗研究的統(tǒng)計模型而言顯得偏大。把No.11驗證實驗和U10*（108）實驗數(shù)據(jù)一起建模，對統(tǒng)計模型進行修整。計算結(jié)果見式（9）。

表10 驗證No.11各子集隸屬度及綜合評分

擬合回歸方程P=0.001 318 1，決定系數(shù)R2=0.996 095，剩余標(biāo)準(zhǔn)差S=0.032 4，調(diào)整后決定系數(shù)Ra2=0.986 982，Durbin-Watson 統(tǒng)計量 d=1.214 3,模型擬合在統(tǒng)計上有顯著意義。

現(xiàn)有一組實驗數(shù)據(jù)No.12可用于檢驗?zāi)Ｐ?9)的預(yù)報功能，實驗條件見表11，實驗結(jié)果見表12。

表11 驗證No.12工藝條件

表12 驗證No.11各子集固定化率

將表12數(shù)據(jù)由定義式(2)計算得到相應(yīng)子集的隸屬度，并由公式(7)計算獲得綜合評分值，見表13。

將表11工藝條件代入模型(9)，可得預(yù)報值Y=1.027 7，而實驗驗證（表13）的綜合評分為0.954 1，預(yù)報相對偏差小于8%。上述模型(8)的預(yù)報相對偏差為12.4%，可見模型(8)修整為模型(9)，預(yù)報驗證的相對偏差得到較大改善，能被土壤改性專業(yè)的工程技術(shù)研究所接受。

12 初步結(jié)論

通過均勻設(shè)計U10*(108)的10次實驗，追加No.11進行優(yōu)化驗證、學(xué)習(xí)修整，再追加No.12驗證實驗，獲得了具有顯著意義的模型(9)，檢驗了多指標(biāo)綜合評分采用改進簡易公式評價方法的可能性；追加的No.11，No.12的多指標(biāo)固定化率見表9及表12，5個指標(biāo)的固定化率全部大于期望值90%，證明了多指標(biāo)綜合評分建模綜合尋優(yōu)的可操作性。

表13 驗證No.12各子集隸屬度及綜合評分

現(xiàn)先把上個階段的工作編寫成文，下階段還將進行更深入的應(yīng)用討論。

每年的4月23日是世界讀書日。5月6日筆者因咳嗽住院輸液，97歲的室友給了我?guī)追輬蠹堃婚?。在《文匯學(xué)人》中讀到，在以色列每人每年讀書64本、俄羅斯55本、日本40本、韓國7本，而中國不到1本。不管是深閱讀還是淺閱讀，面對快速發(fā)展的大千世界，我們還是要多讀點書。