唐冕，丁千夏，宋旭明

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多塔部分斜拉橋自振頻率的實用簡化算法

唐冕1，丁千夏2，宋旭明1

(1. 中南大學 土木工程學院，湖南 長沙 410075；2. 華藍設計(集團)有限公司，廣西 南寧 530011)

為了便于在概念設計階段快速準確地估算多塔部分斜拉橋的基頻，根據(jù)Rayleighmethod方法，以主梁的靜撓度曲線作為振型函數(shù)，推導支承體系和剛構體系多塔部分斜拉橋的基頻估算公式。以某三塔部分斜拉橋為例，計算其頻率，討論結(jié)構體系及塔跨數(shù)對多塔部分斜拉橋基頻的影響。并將公式與較為精確的有限元法和《公路橋涵抗風設計規(guī)范》的單一估算方法進行比較，研究結(jié)果表明：計算多塔部分斜拉橋基頻不可忽略結(jié)構體系及塔跨數(shù)的影響；支撐體系基頻遠低于剛構體系，不可用單一公式計算；隨著塔跨數(shù)增加，基頻降低。有限元解與公式解的對比結(jié)果表明，公式基頻誤差在10%以內(nèi)，可以滿足工程概念設計的需要。

斜拉橋；基頻；矮塔；結(jié)構體系

部分斜拉橋作為連續(xù)梁(或連續(xù)剛構)與斜拉橋的組合體系，具有塔矮、梁剛、索集中的特點，靈活的跨徑布置、美觀的外形及經(jīng)濟的造價使其在近年內(nèi)得到廣泛應用。目前的《公路斜拉橋設計細則》和《公路斜拉橋抗風設計規(guī)范》中僅對雙塔斜拉橋中有輔助墩和沒有輔助墩有不同的估算公式，沒有考慮各種邊界條件，對于與普通斜拉橋不同的多塔部分斜拉橋沒有明確區(qū)分。根據(jù)國內(nèi)外眾多學者對斜拉橋?qū)崟r監(jiān)測數(shù)據(jù)和數(shù)值模擬的研究，斜拉橋的動力特性除了受結(jié)構自身狀態(tài)的影響外，還收到各種溫度、損傷和車輛荷載質(zhì)量等環(huán)境因素的影 響[1?6]。為了研究斜拉橋的動力特性，陳恒大等[7]推導了考慮主塔剛度影響三塔斜拉橋振動基頻公式；李國豪[8]用單質(zhì)點模型來估算漂浮體系斜拉橋基頻；袁萬城等[9]用雙質(zhì)點模型估算斜拉橋的縱飄頻率；張先忠等[10]提出名義單位質(zhì)量的抗彎剛度概念，推導高墩固結(jié)體系矮塔斜拉橋縱飄基頻的估算公式；宋濤等[11]假設振型函數(shù)為三角函數(shù)，用Rayleigh method法，推導雙塔矮塔斜拉橋基頻。對于支承體系斜拉橋，本文簡化為簡支梁模型，對于剛構體系斜拉橋簡化為固端梁模型，以靜撓度曲線作為振型函數(shù)，并考慮了多塔的影響，推導斜拉橋基頻，并與相對精確的有限元法和《公路橋涵抗風設計規(guī)范》的估算方法進行比較。

1 Rayleigh method法計算斜拉橋基頻

1.1 斜拉橋基頻的推導

用Rayleigh method計算斜拉橋的頻率基本公式為：

其中：勢能和動能都包括主梁、主塔和拉索3部分。

主梁彎曲變形能為：

主塔彎曲變形能為：

考慮主塔的側(cè)向位移，拉索的變形量示意圖如圖1所示。

(a) 主塔側(cè)向位移；(b) 主梁撓度

則拉索的變形量為：

其中：為主梁在拉索處的撓度；為橋塔側(cè)向 位移。

式中：Δ為拉索索力增量；E和A為拉索的彈性模量和截面面積；和L為拉索的水平傾角和 索長。

拉索的變形能為：

其中：為拉索數(shù)。

索力垂直分量的變化為：

二次變形所做的功為：

主梁動能為：

主塔動能為：

拉索動能為：

把式(2)，(3)，(6)，(9)~(12)代入式(1)得：

1.2 斜拉橋基頻的簡化

在動能中，拉索質(zhì)量相對主梁質(zhì)量是個小量，可以忽略或者合并到主梁質(zhì)量中，并且拉索的動力特性與分析阻尼器、梁體振動、溫度等外界條件有關[12]，分析較為繁雜，因此本文不計算拉索動能。主塔的變位和質(zhì)量相對于主梁也是小量，橋塔截面抗彎剛度僅對高階頻率有明顯影響[3]，本文也忽略不計。在彎曲變形能中，拉索的二次變形能相對較小，可以忽略不計[7]，則(13)式簡化為：

2 部分斜拉橋基頻

2.1 支承體系

由式(14)求頻率，必須先假定振型函數(shù)，假定的振型函數(shù)越接近第一階實際振型函數(shù)時，得到的基頻就越精確。因為支承體系是將主梁支承在墩上，主梁一般只在一個塔柱處設置固定支座，其余為縱向活動支座。因此，把支承體系斜拉橋主梁簡化為均布荷載作用下的簡支梁，取其均布荷載下的靜撓度曲線作為振型函數(shù)：

求導得：

把式(17)代入式(2)得：

把式(11)代入式(6)得：

忽略塔的側(cè)向位移，主梁跨中最大撓度為：

以平均撓度計算拉索的變形能，即：

則單根拉索的變形能為：

則拉索變形能為：

式中：為主塔每側(cè)拉索數(shù)；為中跨拉索傾角；為邊跨拉索傾角。

把式(18)，(19)和(23)代入式(14)得：

2.2 剛構體系

因為剛構體系斜拉橋塔梁墩相互固結(jié)，形成具有多點彈性支承的剛構。因此，把剛構體系斜拉橋主梁簡化為均布荷載作用下的固端梁，取其均布荷載下的靜撓度曲線作為振型函數(shù)。

積分得：

以平均撓度計算拉索的變形能，即：

式中：為主塔每側(cè)拉索數(shù)；為中跨拉索傾角；為邊跨拉索傾角。

則拉索變形能為：

把式(27)，(28)和(32)代入式(14)得：

綜上所述，支承體系多塔部分斜拉橋，剛構體系多塔部分斜拉橋基頻可用下式計算：

支承體系：

剛構體系：

其中：

若=：

3 算例分析

以某在建的三塔矮塔斜拉橋為基準模型，采用Midas civil 2015進行仿真分析，通過變換結(jié)構體系或塔跨數(shù)，來對比不同結(jié)構體系及不同塔跨數(shù)下的橋梁動力響應。中跨跨徑225 m，主梁剛度EI=2.59×109(kN?m2)，拉索剛度EI=1.5×106kN，邊中跨比為0.62，主梁單位長質(zhì)量=82.0 (mg?m?1)，主塔每側(cè)拉索數(shù)=18，傾角0.317 rad。橋型布置圖如圖2所示。

表1，表2和表3中的基頻均為豎彎基頻。表1和表2數(shù)值分析結(jié)果表明，隨著塔跨數(shù)增加，支承體系斜拉橋基頻和剛構體系斜拉橋的基頻均逐漸降低，與規(guī)范解的偏差也越來越大，但塔跨數(shù)增加的越多，基頻降低的趨勢越不明顯。這是由于中塔沒有后錨索，整體剛度比較小，因此塔跨數(shù)越多，多塔部分斜拉橋剛度越小，基頻也越小。顯然，斜拉橋的基頻僅用跨徑來計算是不夠的，表1(表2)4個模型，跨徑及其他計算計算參數(shù)都相同，但由于塔跨數(shù)不同，基頻不同。

表3數(shù)值分析結(jié)果表明，采用支承體系的部分斜拉橋由于在縱橋向與橫橋向約束大大減弱，所以基頻明顯較剛構體系要小得多。這也同樣說明斜拉橋的基頻僅僅用跨徑來計算是不夠的，故《公路橋梁抗風設計規(guī)范》的公式誤差比較大，尤其對于支承體系斜拉橋。而宋濤等[5]以三角函數(shù)為振型函數(shù)，用瑞萊法推導的基頻公式，三塔四跨支承體系斜拉橋計算基頻為0.559 6 Hz，與有限元的值相比，誤差也較大。而本文推導的基頻公式計算誤差都在10%以內(nèi)，更加接近精確解，可以作為概念設計階段的基頻估算公式。

單位：m

表1 塔跨數(shù)對支承體系斜拉橋基頻影響

注：誤差1是規(guī)范解與有限元解之間的誤差；誤差2是規(guī)范解與有限元解之間的誤差

表2 塔跨數(shù)對剛構體系斜拉橋基頻影響

注：誤差1是規(guī)范解與有限元解之間的誤差；誤差2是文中解與有限元解之間的誤差

表3 結(jié)構體系對斜拉橋基頻影響

注：誤差1是規(guī)范解與有限元解之間的誤差；誤差2是文中解與有限元解之間的誤差

4 結(jié)論

1) 隨著塔跨數(shù)增加，斜拉橋基頻降低；但是塔跨數(shù)增加地越多，基頻降低地越不明顯，因此塔跨數(shù)對多塔矮塔斜拉橋基頻的影響不能忽略。

2) 支承體系基頻遠低于剛構體系基頻，因此多塔矮塔斜拉橋基頻，不僅與主梁抗彎剛度，拉索抗彎剛度，主跨跨徑有關，結(jié)構體系對斜拉橋基頻有很大影響。

3) 本文推導的式(34)~(35)適用于多塔支承體系斜拉橋和多塔剛構體系斜拉橋，而且與抗風規(guī)范和參考文獻[5]和[6]相比更貼近Midas計算的精 確解。

[1] SONG M T, CAO D Q,ZHU W D, et al. Dynamic response of a cable-stayed bridge subjected to a moving vehicle load[J]. Acta Mechanica, 2016, 227(10): 2925?2945.

[2] Gwanghee Heo, Joonryong Jeon. Dynamic characteristics estimation of cable-stayed bridge using artificial filter bank (AFB)[J]. International Journal of Engineering and Technology, 2015, 7(1): 8?11.

[3] Bhagwat M, Sasmal S,Novák B, et al. Dynamic performance evaluation of straight and curved cable- stayed bridges[J]. Bridge Structures, 2009, 5(2?3): 87? 95.

[4] ZHOU Ding, JI Tianjian. Dynamic characteristics of a generalized[J]. International Journal of Mechanical Sciences, 2008, 50(1): 30?42.

[5] 閆濤. 基于監(jiān)測數(shù)據(jù)的斜拉橋動力特性分析及基準模型研究[D]. 上海: 同濟大學，2013: 77?87. YAN Tao. Study on dynamical properties and baseline model of cable-stayed brideg based on monitoring data[D]. Shanghai: Tongji University, 2013: 77?87.

[6] 關進軒. 多塔部分斜拉橋的參數(shù)敏感性分析及優(yōu)化[D].長沙: 中南大學, 2016: 19?20. GUAN Jinxuan. Parameters sensitivity analysis and optimization of multi-pylon extra dosed cable-stayed bridge[D]. Changsha: Central South University, 2016: 19?20.

[7] 陳恒大, 鄔曉光, 姚絲思, 等. 考慮主塔剛度影響的三塔斜拉橋振動基頻實用公式[J]. 鐵道科學與工程學報, 2016, 13(10): 1962?1969. CHEN Hengda, WU Xiaoguang, YAO Sisi, et al. Practical vertical frequency formula for vibration of cable-stayed bridges with three tower considering tower stiffness influence[J]. Journal of Railway Science and Engineering, 2016, 13(10): 1962?1969.

[8] 李國豪. 橋梁結(jié)構穩(wěn)定與振動(修訂版)[M]. 北京: 中國鐵道出版社, 2002: 390?396. LI Guohao. Stability and vibration of bridge structure[M]. Beijing: China Railway Press, 2002: 390?396.

[9] 袁萬誠, 閆冬. 斜拉橋縱飄頻率簡化計算方法[J]. 同濟大學學報(自然科學版), 2005, 33(11): 1423?1427. YUAN Wancheng, YAN Dong. Simplified calculational method of floating frequency for cable-stayed bridges[J]. Journal of Tongji University (Natural Science Edition), 2005, 33(11): 1423?1427.

[10] 張先忠, 張筱雨, 宋濤. 高墩固結(jié)體系矮塔斜拉橋縱飄基頻的估算實用公式[J]. 武漢大學學報(工學版), 2017, 50(3): 436?440. ZHANG Xianzhong, ZHANG Xiaoyu, SONG Tao. Estimation practical frequency formula for longitudinal vibration of frame rigid extradosed cable-stayed bridge with high pier[J]. Journal of Wuhan University Engineering, 2017, 50(3): 436?440.

[11] 宋濤, 宋一凡, 賀拴海, 等. 矮塔斜拉橋豎彎頻率的能量法估算適用公式[J]. 北京工業(yè)大學學報, 2016, 42(4): 521?526. SONG Tao, SONG Yifan, HE Shuanhai, et al. Estimation practical frequency formulas for vertical vibration of extradosed cable-stayed bridge based on energy method[J]. Journal of Beijing University of Technology, 2016,42(4):521?526.

[12] 吉伯海, 程苗, 傅中秋, 等. 基于振動頻率法的斜拉橋索力測試影響因素[J]. 中南大學學報(自然科學版), 2015, 46(7): 2621?2625. JI Bohai, CHEN Miao, FU Zhongqiu, et al. Influential factors in cable force measurement of cable-stayed bridges based on vibration frequency method[J]. Journal of Central South University (Science and Technology), 2015, 46(7): 2621?2625.

[13] 黃斌, 李燁君, 朱禮平, 等. 橋塔抗彎剛度隨機性對斜拉橋動力特性的影響[J]. 西南交通大學學報, 2014, 49(2): 202?207. HUANG Bin, LI Yejun, ZHU Liping, et al. Effects towers random sectional bending stiffness on dynamic characteristics of large-span cable-stayed bridge[J]. Journal of Southwest Jiaotong University, 2014, 49(2): 202?207.

The practical simplification algorithm of multi-pylon extradosed cable-stayed Bridge fundamental frequency

TANG Mian1, DING Qianxia2, SONG Xuming1

(1. School of Civil Engineering, Central South University, Changsha 410075, China; 2. Hualan Design Co., Ltd, Nanning 530011, China)

In order to estimate the fundamental frequency of multi tower cable-stayed bridge quickly and accurately in the conceptual design stage, this paper according to the Rayleigh method, took the static deflection curve of the main beam as the shape function, deduced the fundamental frequency estimation formula of the supporting system and rigid frame system of multi tower partial cable-stayed bridge. Taking a three towers partial cable-stayed bridge as an example, discuss the effect of structural system and tower number on the fundamental frequency of cable stayed bridge. Finally, the formula was compared with a more accurate finite element method and the single estimation method in “highway bridge wind resistant design specification”. The results show that the influence of structural system and tower number can’t be ignored in calculating the frequency of multi tower partial cable-stayed bridge: the frequency of support system is far lower than the rigid system, indicating a single formula is not accurate; with the increase in the number of towers, the frequency is reduced. The comparison results of the finite element solution and the formula shows that the error of the formula is less than 10%, which can satisfy the need of engineering concept design.

cable-stayed bridge; the fundamental frequency; short tower; the structural system

10.19713/j.cnki.43?1423/u.2018.11.017

U448.27

A

1672 ? 7029(2018)11 ?2861? 06

2017?09?14

國家自然科學基金資助項目(51178471，50908232)；湖南省交通科技資助項目(201426)

唐冕(1970?)，女，遼寧開原人，副教授，博士，從事大跨度復雜橋梁研究；E?mail：tangmian513@163.com

(編輯 蔣學東)