祝志文，王藝靜，吳其

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大跨度懸索橋主纜空纜狀態(tài)振動(dòng)模態(tài)分析

祝志文1, 2，王藝靜2，吳其2

(1. 汕頭大學(xué) 土木與環(huán)境工程系，廣東 汕頭 515063；2. 湖南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410082)

為研究洞庭湖二橋施工過(guò)程中主纜空纜狀態(tài)的動(dòng)力特性，基于弦振動(dòng)理論推導(dǎo)了主纜面外和面內(nèi)振動(dòng)基頻的2個(gè)估算公式。研究結(jié)果表明：估算公式能較準(zhǔn)確地給出空纜狀態(tài)主纜的第1階面外振型和第1階面內(nèi)反對(duì)稱振型對(duì)應(yīng)的頻率。開(kāi)展的有限元分析表明，該橋以中跨主纜明顯振動(dòng)的前8階面外振型，高階振型的頻率符合與基頻的倍頻關(guān)系；面內(nèi)第1階振型為反對(duì)稱振型，表明該橋具有短邊跨懸索橋特征，也即邊跨主纜對(duì)主塔塔頂有較大的縱向約束。另外，該橋主纜空纜狀態(tài)下的基頻非常低且振動(dòng)周期很長(zhǎng)，前多階模態(tài)呈現(xiàn)頻率密集的特征。

懸索橋；模態(tài)分析；空纜；有限元；弦振動(dòng)

懸索橋是主纜、主塔、錨碇、吊桿、橋面系和附屬設(shè)施組成的一種典型的柔性結(jié)構(gòu)，由于具有受力簡(jiǎn)單合理、能充分發(fā)揮材料性能、施工安全方便等特點(diǎn)，是跨越能力最大的橋梁結(jié)構(gòu)。比如1998年建成的明石海峽大橋，主跨1 991 m，一直是世界上跨度最大的橋梁；正在建設(shè)的廣東虎門二橋坭州水道橋主跨1 688 m，建成后將是國(guó)內(nèi)跨度最大的橋梁工程。由于懸索橋跨度大和主纜抗彎剛度小，幾何非線性效應(yīng)顯著[1]，加之結(jié)構(gòu)阻尼很小，容易在外部激勵(lì)，比如風(fēng)荷載作用下產(chǎn)生大幅度的振動(dòng)。另外，在懸索橋施工過(guò)程中加勁梁安裝前的空纜狀態(tài)，中跨水平懸掛的空纜結(jié)構(gòu)剛度更小，更易發(fā)生大幅度的振動(dòng)。因此，無(wú)論是懸索橋設(shè)計(jì)、施工還是成橋運(yùn)營(yíng)，了解懸索橋空纜狀態(tài)的動(dòng)力特性，是了解結(jié)構(gòu)振動(dòng)模態(tài)在施工過(guò)程中的演化規(guī)律，評(píng)價(jià)懸索橋抗風(fēng)安全的重要基礎(chǔ)，而獲得結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的主要途徑有理論分析、有限元計(jì)算和現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)。如張文明等[2]以馬鞍山大橋?yàn)楸尘?，基于有限元分析開(kāi)展了單主跨和雙主跨懸索橋動(dòng)力特性的對(duì)比分析。XU等[3]基于有限元開(kāi)展了青馬大橋施工過(guò)程的模態(tài)分析，揭示了懸索橋振動(dòng)模態(tài)隨施工過(guò)程的演化規(guī)律。HU等[4]通過(guò)有限元分析研究了中央扣對(duì)大跨度懸索橋模態(tài)的影響。YU等[5]基于GPS測(cè)量信號(hào)開(kāi)展了懸索橋模態(tài)頻率的現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)。ZHANG等[6]通過(guò)環(huán)境激勵(lì)下懸索橋結(jié)構(gòu)響應(yīng)的長(zhǎng)期實(shí)測(cè)，分析了懸索橋模態(tài)特征以及隨環(huán)境的變化規(guī)律。王甜等[7]通過(guò)現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)自錨式懸索橋在環(huán)境激勵(lì)下的響應(yīng)，基于隨機(jī)子空間技術(shù)開(kāi)展了結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)識(shí)別。

1 水平張緊弦的橫向振動(dòng)

考察圖1所示的一根長(zhǎng)度為的水平張緊弦(忽略抗彎剛度)，并建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。假設(shè)其均勻分布的單位長(zhǎng)度質(zhì)量為，弦中張力為，且在作微幅振動(dòng)的過(guò)程中該張力保持不變。

取弦微元d，考慮其振動(dòng)慣性力，建立起豎向力的平衡方程為

上述化簡(jiǎn)得到弦振動(dòng)的基本方程為

式(2)偏微分方程為一維線性波動(dòng)方程，可采用分離變量法求解。假設(shè)方程的解可寫成為

式(3)中為振動(dòng)圓頻率，=2π，其中為振動(dòng)頻率，Hz；()為振型函數(shù)，將式(3)代入(2)可得到關(guān)于振型函數(shù)的常微分方程

式(4)的解為

假設(shè)弦的兩端固定，對(duì)應(yīng)的端點(diǎn)邊界條件為

其中：=1,2,3,…。從上可得弦橫向振動(dòng)的固有圓頻率為

或頻率為

各階固有頻率對(duì)應(yīng)的振型為

對(duì)兩端固定的弦，其各階振型均為以兩端點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)(不動(dòng)點(diǎn))的正弦波形，其中頻率最低的振型也稱之為基本振型，對(duì)應(yīng)的頻率稱之為基頻?；l為半個(gè)波，高階振型頻率均為基頻的整數(shù)倍(n=1)，也即倍頻關(guān)系。如以弦長(zhǎng)/2處考察兩側(cè)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)位移的對(duì)稱關(guān)系，可將振型分為對(duì)稱振型和反對(duì)稱振型。且不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)稱振型有奇數(shù)個(gè)半波，反對(duì)稱振型有偶數(shù)個(gè)半波，如表1所示。

表1 張緊固定弦的振型和頻率

(a) 面外振動(dòng)；(b) 面內(nèi)振動(dòng)

式中：為重力加速度。實(shí)際上，上式不僅適用于懸索橋空纜狀態(tài)的第1階反對(duì)稱振型的頻率估算式，同樣也適應(yīng)于主跨跨徑大于500 m的懸索橋第1階反對(duì)稱豎彎振型頻率的估算[10]。

(a) 水平懸掛的纜索；(b) 第1階振型(第1階反對(duì)稱)；(c) 第2階振型(第1階正對(duì)稱)；(d) 第3階振型(第2階反對(duì)稱)；(e) 第4階振型(第2階正對(duì)稱)

圖3 下垂纜索的面內(nèi)振型

Fig. 3 In-plane mode shapes of sagged cable

2 懸索橋主纜空纜狀態(tài)動(dòng)力特性

以洞庭湖二橋?yàn)槔ㄟ^(guò)有限元分析給出大橋主纜施工完成的空纜狀態(tài)下的模態(tài)特征，并與估算公式的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

2.1 工程概況

洞庭湖二橋是杭瑞高速公路在湖南境內(nèi)跨越洞庭湖的關(guān)鍵工程。大橋位于洞庭湖入長(zhǎng)江交匯口處的岳陽(yáng)市七里山，下游離長(zhǎng)江航道3 km，東南起于岳陽(yáng)樓區(qū)，西北接君山區(qū)，上游距建成的岳陽(yáng)洞庭湖大橋(三塔斜拉橋)3 km。大橋設(shè)計(jì)洪水頻率為1/300，通航要求為I(3)級(jí)，單孔雙向通航孔通航凈寬337 m，通航凈高18 m；橋位區(qū)為A類地貌，設(shè)計(jì)基本風(fēng)速32.9 m/s；地震基本烈度為Ⅶ度，峰值加速度0.09 g，場(chǎng)地特征周期Tg=0.65 s。大橋采用6車道高速公路標(biāo)準(zhǔn)和公路-I級(jí)荷載設(shè)計(jì)，設(shè)計(jì)車速100 m/s[11]。

大橋?yàn)殡p塔連續(xù)鋼桁梁懸索橋，采用不對(duì)稱立面布置形式，主纜孔跨布置為460+1480+491 m，如圖4所示。主梁通過(guò)吊桿懸吊兩跨加勁梁，其中中跨跨度為1 480 m，君山側(cè)邊跨跨度453.6 m，加勁梁全長(zhǎng)1 933.6 m，橋面全寬33.5 m。全橋共117對(duì)吊索，吊索平面布置，標(biāo)準(zhǔn)間距16.8 m。

洞庭湖二橋主纜矢跨比1/10，主纜橫橋向中心距35.4 m；主纜采用預(yù)制平行鋼絲索股。每根主纜中，從君山側(cè)錨碇到岳陽(yáng)側(cè)錨碇的通長(zhǎng)索股有175股，君山側(cè)邊跨另設(shè)6根附加索股錨固于君山側(cè)主索鞍上。每根平行鋼絲索股由127根直徑為5.35 mm、公稱抗拉強(qiáng)度為1 860 MPa的高強(qiáng)度鍍鋅鋼絲組成，鋼絲彈性模量為1.96×1011MPa。大橋兩側(cè)主塔采用門式結(jié)構(gòu)，設(shè)上橫梁和下橫梁，岳陽(yáng)側(cè)塔高203.088 m，君山側(cè)高206.088 m。另外，主纜通過(guò)兩端的重力式錨碇錨固。

單位：m

2.2 基頻的理論估算

懸索橋主纜空纜狀態(tài)下基頻的估算，可將主纜線形近似處理成拋物線，基于拋物線主纜軸力水平分量的計(jì)算公式，有：

主纜面外振動(dòng)第1階頻率的估算，可通過(guò)式(9)得到：

根據(jù)式(11)，可得到主纜面內(nèi)第1階反對(duì)稱振型的頻率為：

2.3 有限元分析

采用ANSYS軟件對(duì)洞庭湖二橋空纜狀態(tài)進(jìn)行動(dòng)力特性分析。建模時(shí)定義為順橋向，為豎向，為橫橋向。橋塔采用BEAM188單元模擬，主纜采用只能受拉不能受壓的空間桿單元LINK10模擬，其初始軸力通過(guò)輸入單元初應(yīng)變模擬，塔頂主鞍座的質(zhì)量通過(guò)MASS21單元模擬。主塔混凝土材料的彈模取3.55×1010MPa，主纜和混凝土的泊松比分別為0.3和0.167。因主要關(guān)心的是包含主纜和主塔結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性，故不考慮樁土相互作用，即塔底、錨碇內(nèi)主纜位置均為固結(jié)。圖5是大橋主纜空纜狀態(tài)的有限元模型。

圖5 洞庭湖二橋主纜空纜狀態(tài)有限元模型

圖6給出了主纜空纜狀態(tài)的基本振型，也為面外第一振型，該振型為對(duì)稱振型，特征是振動(dòng)集中于中跨主纜，主塔和邊跨主纜均保持不動(dòng)，對(duì)應(yīng)的頻率為0.048 Hz。這一頻率的估算值為0.046 Hz，偏差小于5%。這說(shuō)明基于弦振動(dòng)理論的基頻估算公式能給出基頻的合理估計(jì)，也說(shuō)明采用拋物線主纜線形近似空纜線形所帶來(lái)的誤差很小。另外，這一頻率對(duì)應(yīng)的周期為21.7 s，這說(shuō)明大跨度懸索橋主纜空纜狀態(tài)的基頻非常小，自振周期很長(zhǎng)。

可見(jiàn)與這一基頻對(duì)應(yīng)的另外一個(gè)振型如圖7所示，與圖6唯一不同的是，此時(shí)上下游兩側(cè)的主纜為反相運(yùn)動(dòng)，但對(duì)單側(cè)主纜而言，實(shí)際上二者為主纜同一振型，沒(méi)有差別。

(a) 立面；(b) 平面

(a) 立面；(b) 平面

圖8為主纜的第2階振型，為面內(nèi)第1階振型和面內(nèi)第1階反對(duì)稱振型，特征是為中跨主纜的顯著運(yùn)動(dòng)，主塔和邊跨主纜均保持不動(dòng)，對(duì)應(yīng)的頻率為0.093 Hz，略小于公式估算值0.095 4 Hz，但偏差僅為2%，可見(jiàn)基于公式估算的第1階反對(duì)稱振型頻率偏差非常小。與這個(gè)頻率伴隨的另外一個(gè)振型如圖9所示，頻率同樣為0.093 Hz。此時(shí)上下游兩側(cè)主纜運(yùn)動(dòng)反相，但對(duì)單側(cè)主纜而言，實(shí)際上也為主纜同一振型。需要指出，該振型頻率約為基頻的2倍，且由于其先于正對(duì)稱振型出現(xiàn)，可認(rèn)為該懸索橋主纜仍為短邊跨情況[4]，也即邊跨主纜對(duì)主塔塔頂有較大的縱向約束。

(a) 立面；(b) 平面

(a) 立面；(b) 平面

大橋主纜第3階振型如圖10所示，為面外反對(duì)稱振型，也是面外第2振型，特征是為中跨主纜的顯著面外運(yùn)動(dòng)，主塔和邊跨主纜均保持不動(dòng)，對(duì)應(yīng)的頻率為0.096 Hz，是基頻的2倍。與上類似，與這一頻率伴隨的另外一個(gè)振型如圖11所示。

(a) 立面；(b) 平面

(a) 立面；(b) 平面

主纜第4階振型如圖12所示，為面內(nèi)對(duì)稱振型(因2個(gè)邊跨不完全相等，振型并不嚴(yán)格正對(duì)稱)，也是面內(nèi)第2階振型，特征是中跨和邊跨主纜的顯著面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，主塔對(duì)稱縱向運(yùn)動(dòng)，對(duì)應(yīng)的頻率為0.119 Hz。

主纜第5階振型如圖13所示，為面內(nèi)對(duì)稱振型，也是面內(nèi)第3階振型。該振型與第4階振型類似，但上下游兩側(cè)主纜振動(dòng)反相，特征是為中跨主纜的顯著面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，主塔和邊跨運(yùn)動(dòng)明顯小于中跨，對(duì)應(yīng)的頻率為0.136 Hz。

(a) 立面；(b) 平面

(a) 立面；(b) 平面

主纜第6階振型如圖14所示，為面外振型，特征是中跨主纜較小幅度的對(duì)稱面外運(yùn)動(dòng)和君山側(cè)邊跨主纜的較大幅度對(duì)稱面外運(yùn)動(dòng)，且岳陽(yáng)側(cè)主纜均保持不動(dòng)，對(duì)應(yīng)的頻率為0.141 Hz。同樣，與這一頻率對(duì)應(yīng)的另外一個(gè)振型如圖15所示。

(a) 立面；(b) 平面

(a) 立面；(b) 平面

主纜第7階振型如圖16所示，為中跨主纜面外第3階振型，也是面外第2階正對(duì)稱振型，特征是中跨主纜的較大幅度的面外運(yùn)動(dòng)和兩端邊跨主纜的較小幅度反對(duì)稱運(yùn)動(dòng)，對(duì)應(yīng)的頻率為0.144 Hz。同樣，與這一頻率對(duì)應(yīng)的另外一個(gè)振型如圖17 所示。

(a) 立面；(b) 平面

(a) 立面；(b) 平面

主纜第8階振型如圖18所示，為面內(nèi)對(duì)稱振型，也是面內(nèi)第3階對(duì)稱振型。該振型表現(xiàn)為中跨主纜的正對(duì)稱運(yùn)動(dòng)、君山側(cè)主纜的大幅度振動(dòng)和君山側(cè)主塔的縱向運(yùn)動(dòng)，以及岳陽(yáng)側(cè)主纜的不動(dòng)，對(duì)應(yīng)的頻率為0.146 Hz。

主纜第9階振型如圖19和20所示，為岳陽(yáng)側(cè)主纜的較大的面外振動(dòng)，中跨和君山側(cè)主纜不動(dòng)，對(duì)應(yīng)的頻率為0.152 Hz。

(a) 立面；(b) 平面

(a) 立面；(b) 平面

(a) 立面；(b) 平面

表2分列了大橋主纜空纜狀態(tài)前8階面外模態(tài)中，以中跨主纜振動(dòng)為主的對(duì)稱和反對(duì)稱模態(tài)，可見(jiàn)相對(duì)第1階面外正對(duì)稱模態(tài)(基頻0.048 Hz)，其他高階模態(tài)頻率均是基本模態(tài)頻率的整數(shù)倍，且正對(duì)稱振型的半波數(shù)為奇數(shù)，反對(duì)稱振型的半波數(shù)為偶數(shù)。另外，當(dāng)中跨主纜發(fā)生面外較大幅度振動(dòng)時(shí)，邊跨主纜的振動(dòng)相對(duì)較小，甚至保持不動(dòng)。

表2 面外對(duì)稱和反對(duì)稱模態(tài)

第3階，頻率0.240 Hz第3階，頻率0.288 Hz 第4階，頻率0.334 Hz第4階，頻率0.381 Hz

表3列出了主纜空纜狀態(tài)前40階模態(tài)中，中跨主纜振動(dòng)明顯占優(yōu)的面內(nèi)主要模態(tài)，并分列了面內(nèi)模態(tài)中的對(duì)稱和反對(duì)稱模態(tài)?？梢?jiàn)第1階正對(duì)稱振型比第1階反對(duì)稱振型頻率高28%，且前40階模態(tài)中，正對(duì)稱振型明顯多于反對(duì)稱振型。

表3 面內(nèi)對(duì)稱和反對(duì)稱模態(tài)

3 結(jié)論

1) 基于弦振動(dòng)理論推導(dǎo)的主纜面外和面內(nèi)振動(dòng)基頻的估算公式，能較準(zhǔn)確的給出超大跨度懸索橋空纜狀態(tài)主纜的第1階面外振型和第1階面內(nèi)反對(duì)稱振型對(duì)應(yīng)的頻率估計(jì)，且頻率估算時(shí)空纜主纜線形采用拋物線近似帶來(lái)的誤差極小。

2) 在以中跨主纜振動(dòng)為主的空纜狀態(tài)結(jié)構(gòu)，相對(duì)第1階面外正對(duì)稱模態(tài)，其他高階模態(tài)頻率均是該基本模態(tài)頻率的整數(shù)倍，且正對(duì)稱振型的半波數(shù)為奇數(shù)，反對(duì)稱振型的半波數(shù)為偶數(shù)。當(dāng)中跨主纜發(fā)生面外較大幅度振動(dòng)時(shí)，邊跨主纜的振動(dòng)相對(duì)較小，甚至保持不動(dòng)。

3) 大跨度懸索橋主纜空纜狀態(tài)的基頻非常低且振動(dòng)周期長(zhǎng)，洞庭湖二橋面內(nèi)第1階振型為反對(duì)稱振型，表明該橋具備短邊跨懸索橋特征，也即邊跨主纜對(duì)主塔塔頂有較大的縱向約束；另外，大跨度懸索橋前多階模態(tài)還呈現(xiàn)頻率密集的特征。

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Modal analyses of large-span suspension bridges at free main cable stage

ZHU Zhiwen1, 2, WANG Yijing2, WU Qi2

(1. Department of Civil and Environment Engineering, Shantou University, Shantou 515063, China; 2. College of Civil Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China)

In order to investigate modal property of large-span suspension bridge at free main cable stage under construction, two formulas of frequency prediction on free main cable are put forward based on the string vibration theory, and those formulas can provide accurate frequency estimation on the first in-plane and the first out-of-plane modes of the free main cables, compared to FEM results. The FEM analysis shows that among the first eight out-of-plane mode with notable central-span cable vibration, the frequencies of the higher-order mode are of multiple-frequency of the fundamental frequency. The antisymmetric property of the first in-plane mode indicates that the suspension bridge belongs to a short side-span one with strong restraint on the main tower from the side-span cables. In addition, the fundamental frequency of the bridge at free main cable state is significant lower corresponding to a notable long vibration period, and its natural frequencies are closely spaced among a small frequency range.

suspension bridge; modal analyses; free main cable stage; FEM; string vibration

10.19713/j.cnki.43?1423/u.2018.11.014

U448.25

A

1672 ? 7029(2018)11 ? 2833 ? 09

2017?09?15

國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃(973計(jì)劃)項(xiàng)目(2015CB057702)；國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51878269)

祝志文(1968?)，男，湖南益陽(yáng)人，教授，博士，從事鋼橋疲勞與斷裂、橋梁動(dòng)力學(xué)與模態(tài)識(shí)別，以及大跨度橋梁抗風(fēng)研究；E?mail：zwzhu@hnu.edu.cn

(編輯 涂鵬)