◎張少林

(麗江師范高等?？茖W校數(shù)學與信息技術(shù)學院，云南 麗江 674100)

在數(shù)學解題時，通過觀察可以發(fā)現(xiàn)已知與未知對象或結(jié)論的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)有關(guān)的各種特征，有助于誘發(fā)直覺思維或聯(lián)想類比，實現(xiàn)解題思路的突破，迅速而準確地找到解題方法觀察是認識的開端，是發(fā)現(xiàn)問題、了解問題和解決問題的第一步我們?nèi)绻軌蚝芎玫乩糜^察法，就可以為后續(xù)的工作打好基礎(chǔ)，為獲得科研、應(yīng)用或教學的成果提供良好的前提條件

一、觀察能力在數(shù)學學習中的重要性

觀察能力的培養(yǎng)在數(shù)學教學中具有重要意義它是發(fā)展學生智力的基礎(chǔ),也是學生獲得數(shù)學知識的必要條件一個學生如果不善于觀察,他就不能獲得大量的感性材料,他的思維就會缺乏堅實的基礎(chǔ),所獲得的知識也是膚淺的,難以從中尋找規(guī)律在數(shù)學教學中,如果學生有較強的獨立觀察能力,當教師進行物理演示教學或用圖形說明某一數(shù)學規(guī)律時,學生就可以把握事物基本規(guī)律,正確理解數(shù)學概念在計算中,大多數(shù)學生都可以按照一般計算規(guī)則進行計算,但是觀察能力強的學生可以一目了然地掌握題目的一些特點,采用簡單的方法,做到正確、快速地完成計算任務(wù)在實際生活中，計算一些物體的體積時,觀察能力較強的學生可以快速地將所學的幾何知識聯(lián)系起來,從而正確計算綜上，觀察能力直接影響學生的學習質(zhì)量,教師必須重視對學生觀察能力的培養(yǎng)

二、將觀察法應(yīng)用在數(shù)學教學中的注意事項

(一)數(shù)學教師要觀察學生的活動狀態(tài)

一些教師深受傳統(tǒng)教育的影響,經(jīng)常采用“填鴨式”的教學方式,忽視學生的活動狀態(tài),這樣不利于學生思維的發(fā)展,也會影響學生的學習主動性因此,學生偏科現(xiàn)象十分普遍教師如果繼續(xù)這樣教學,只會消除學生的學習動機,難以提高教學水平因此,教師要從自身出發(fā),更新教育觀念,積極建立學生的學習自主性,激發(fā)學生的課堂主動性,觀察學生在課堂上的活動狀態(tài),把解決問題作為教學的出發(fā)點和落腳點,不要過于注重教學進度,要側(cè)重于解決問題例如,在教學一些內(nèi)容的時候,教師應(yīng)該結(jié)合學生對知識的掌握水平,讓學生可以根據(jù)自己掌握的知識輕松地解決問題教師可以適當改變問題的形式,以激發(fā)學生的參與興趣然而,并不是所有的學生都能積極參與教學活動的因此,教師應(yīng)觀察學生的活動狀態(tài),促使學生努力思考,積極實踐,相互交流,以掌握數(shù)學規(guī)律

(二)數(shù)學教師應(yīng)該觀察學生的思維狀態(tài)

數(shù)學更注重學生的思維許多數(shù)學問題需要學生有很強的思維能力才能有效地解決因此,在課堂教學中,教師應(yīng)注重對學生思維能力的培養(yǎng)教師不僅要觀察學生的學習狀態(tài),還要觀察學生的思維狀態(tài)現(xiàn)代教育教學研究表明,積極思考、問題創(chuàng)新、發(fā)散思維等都是學生思維活動的具體體現(xiàn)因此,教師要牢牢抓住這一點,充分引導和激活學生的思維,促使學生積極參與課堂活動例如,在講解一些內(nèi)容時,對于學生提出的一些問題,教師應(yīng)該先觀察學生的思維狀態(tài),再根據(jù)學生思維的發(fā)展過程提出建議剛開始的時候,學生的思維是混亂的因此,教師要充分發(fā)揮自己的引導作用,引導學生深入分析問題,培養(yǎng)學生的思維能力此外,一些學生想回答問題,但他們?nèi)狈ψ孕?害怕回答錯誤,引來其他學生的嘲笑對此,教師要因勢利導,積極改變提問形式,激發(fā)學生回答問題的信心,幫助學生厘清思路,提高指導的針對性

(三)數(shù)學教師應(yīng)該觀察學生的課堂參與狀況

學生是否積極參與課堂活動,直接影響著教學效率的高低不同層次的學生在思維、興趣愛好、學習能力等方面存在明顯的差異,每個學生參與課堂的積極性也各不相同為了進一步激發(fā)學生的參與積極性,教師需要觀察學生的課堂參與狀況,結(jié)合學生的參與狀況制定實踐方法現(xiàn)代教育教學研究表明,學生是否情緒高漲、是否積極配合教師的教學、是否積極參與學習和討論等都是學生參與課堂的狀態(tài)的具體體現(xiàn)，因此需要教師仔細觀察例如,在教學一些內(nèi)容時,為了幫助學生深入理解,教師可以引導學生走上講臺進行演示在學生示范時,教師要注意其他學生的參與狀態(tài)如果大多數(shù)學生能集中注意力,只有少數(shù)學生注意力不集中對此,教師應(yīng)靈活調(diào)整自己的教學理念,將示范實驗轉(zhuǎn)變?yōu)樾〗M實驗,鼓勵每個學生參與其中，在深入推廣中,探索數(shù)學知識形成和發(fā)展的條件,努力做到讓每個學生都積極參與

三、觀察法在數(shù)學教學中的有效運用

(一)通過觀察、分析，推導出數(shù)列前n項和公式

1觀察下列圖形(如圖1)，你得到了什么結(jié)論？

圖1

1由小圖著手，通過認真、仔細觀察，發(fā)現(xiàn)圖形是由2(1+2+3+…+)+(+1)個小等腰直角三角形構(gòu)成的

2將2(1+2+3+…+)個小等腰直角三角形做相應(yīng)的組合后，圖形應(yīng)由(1+2+3+…+)個小正方形和(+1)個小等腰直角三角形組成

3把2(1+2+3+…+)+(+1)個小等腰直角三角形用相應(yīng)方式組合在一起，就構(gòu)成了一個大等腰直角三角形，這就是圖1,即大圖

現(xiàn)在，如果把小等腰直角三角形腰的長度看作1，那么，這個由2(1+2+3+…+)+(+1)個小等腰直角三角形構(gòu)成的大等腰直角三角形的面積應(yīng)等于多少？

如果不考慮其他問題，僅把上式看作一個等式，那么，上式可以變形為：

上式顯然是求前個正整數(shù)的和的公式這樣我們就從一個求等腰三角形的面積的問題出發(fā)加以分析、研究，推出了一個等差數(shù)列的求和公式

(二)通過觀察圖形，發(fā)現(xiàn)變中有不變的數(shù)學思想

2下面每個圖(如圖2)中各有多少個黑色小正方形和白色小正方形？

(1)

(2)

(3)

(4)

…

()
圖2

1這樣接著畫下去，第8個圖形中有多少個黑色小正方形和多少個白色小正方形？第15個圖形呢？第個圖形呢？你能解釋其中的道理嗎？

觀察、比較后一個圖形與前一個圖形中白色小正方形的個數(shù)，很容易得出相鄰兩個圖形中的白色小正方形個數(shù)變化的規(guī)律是相差2，也就是以2個白色小正方形作為公差在變化

2這些圖形中有沒有不變的小正方形？變化的是什么？

通過觀察、分析發(fā)現(xiàn)：第1個圖形中有一個黑色小正方形，就有6個加2個白色小正方形；第2個圖形中有2個黑色小正方形，就有6個加4個白色小正方形無論圖形怎么變化，在圖形中始終不變的是“6個白色小正方形”

由此，可以推出：

第8個圖形中,有8個黑色小正方形，以及白色小正方形：6+2×8=22(個)；

第15個圖形中，有15個黑色小正方形，以及白色小正方形：6+2×15=36(個)；

……

第個圖形中白色小正方形有：6+2×=2(+3)(個)

通過觀察，我們發(fā)現(xiàn)，雖然各圖中的黑色小正方形和白色小正方形的數(shù)量變化了，但位于最左邊和最右邊的3+3=6個白色小正方形始終保持不變各圖都具有這樣的規(guī)律，即變中有不變這一重要的數(shù)學思想，我們由此得出了第個圖形中白色小正方形的個數(shù)

(三)通過對有限個數(shù)據(jù)的觀察、分析，找出無限個數(shù)據(jù)的規(guī)律

35252，5262，5272，5282，5292,5302，這六個數(shù)的總和是多少？

這道題有多種解法，把六個數(shù)直接相加，雖然可以求出正確答案，但數(shù)較大，計算起來容易出現(xiàn)錯誤

如果仔細觀察、分析，就可以發(fā)現(xiàn)這六個數(shù)之間具有這樣的關(guān)系：第二個數(shù)比第一個數(shù)大10，第三個數(shù)比第二個數(shù)大10，第四個數(shù)比第三個數(shù)大10，第五個數(shù)比第四個數(shù)大10，第六個數(shù)比第五個數(shù)大10

因此，這道題可以用以下的方法計算：

5252+5262+5272+5282+5292+5302

=5252×6+10(1+2+3+4+5)

=31512+150

=31662

如果將具有這樣關(guān)系的個數(shù)相加，那么它們的和又是多少？

分析：通過對前5個數(shù)據(jù)的分析，可以猜想此數(shù)列的通項公式為： 5252×+10×[(1+2+3+4+…+(-2)+(-1)]如果假設(shè)第一個數(shù)為,那么，它們的和應(yīng)為：×+10×[(1+2+3+4+…+(-2)+(-1)]

由此，我們找到了具有這樣關(guān)系的數(shù)的和的規(guī)律，實際上，這一規(guī)律中隱藏著等差數(shù)列前項和的公式

由上可以看出，對一個問題的解答，是從觀察開始的通過觀察，我們可以找到題中給出的條件具有的特征，進而通過分析、探討、研究使問題得以解決，并進一步挖掘出問題中隱含著的新知識

(四)通過對一般函數(shù)求導，進一步推出復(fù)合函數(shù)的求導法則

4求函數(shù)=sin 2及=sin的導數(shù)

事實上，對于函數(shù)=sin 2，=sin，我們可以利用導數(shù)的定義及導數(shù)的四則運算法則求出它們的導數(shù)

′=(sin 2)′=(2sincos)′=2(sincos)′

=2[(sin)′cos+sin(cos)′]

=2(cos-sin)

=2cos 2

同函數(shù)=sin 2的求導方式，函數(shù)=sin的求導過程如下：

即(sin)′≠2sin

從以上兩個函數(shù)的求導過程來看，我們可以猜測：一個復(fù)合函數(shù)的導數(shù)等于該函數(shù)對中間變量的導數(shù)與中間變量對自變量的導數(shù)之積事實上，這個猜測是正確的即求復(fù)合函數(shù)的導數(shù)時，先求=()對中間變量的導數(shù)，再求出=()對的導數(shù)，然后相乘即可對于函數(shù)=[()]，可以看作是由函數(shù)=()和=()復(fù)合而成的，若函數(shù)=()在點處可導，函數(shù)=()在對應(yīng)點處可導，則復(fù)合函數(shù)=[()]也在點處可導，且[()]′=()′·()′

數(shù)學大師希爾伯特曾經(jīng)指出：“數(shù)學知識終究是依賴于某種類型的直觀洞察力”這里的直觀洞察力包括了觀察法、歸納法、類比和聯(lián)想等

四、結(jié)語

總之，觀察是認識的開端，是發(fā)現(xiàn)問題、了解問題和解決問題的第一步，沒有這個開端，對問題的探究就無法開展我們?nèi)绻軌蚝芎玫乩糜^察法，就可以為后續(xù)的研究打好基礎(chǔ)，為獲得科研、應(yīng)用或教學的成果提供良好的前提條件當然，觀察僅是整個工作的第一步，為了最終獲得問題的解決、取得有用的成果，我們還需要在觀察的基礎(chǔ)上，采用各種相應(yīng)的方法(如抽象法、類比法、聯(lián)想法、分析法、綜合法、歸納法)和途徑做進一步的探討觀察是掌握數(shù)學知識的重要途徑，是獲得數(shù)學知識和能力的前提和條件，也是發(fā)現(xiàn)新知識最重要的一個環(huán)節(jié)