孫國強, 任佳琦， 成樂祥， 朱 瑛， 衛(wèi)志農(nóng)， 臧海祥

(1. 河海大學能源與電氣學院， 江蘇省南京市 210098； 2. 國網(wǎng)南京供電公司, 江蘇省南京市 210019)

0 引言

為改善生態(tài)環(huán)境和應對化石能源利用危機，以電能為核心和可再生能源開發(fā)利用為基礎的能源變革正蓬勃興起。電儲能系統(tǒng)作為關鍵裝備，具有響應迅速、安裝便捷的特點，在電動汽車、抑制新能源發(fā)電出力波動和電網(wǎng)輔助服務等方面發(fā)揮了重要作用[1-6]。其中，鋰離子電池(以下簡稱鋰電池)因其能量密度高、安全可靠等特點已被廣泛應用。2017年，全球新增投運的電化學儲能項目裝機規(guī)模達914 MW，其中鋰離子電池占比超過90%。截至2017年底，中國電化學儲能累計裝機規(guī)模達389.8 MW，鋰離子電池的累計裝機規(guī)模占比最大為51%，且增長迅速。

荷電狀態(tài)(SOC)估計是儲能系統(tǒng)安全高效運行的重要保障。文獻[7]依據(jù)鋰電池內(nèi)部帶電粒子的傳質過程和離子濃度的擴散過程并考慮電化學反應中的熱行為建立模型，估計精度較高。但模型由多個偏微分方程組成，計算復雜。文獻[8-9]計及鋰電池充放電過程中的遲滯特性，建立二階RC網(wǎng)絡模型，并采用擴展卡爾曼濾波有效減小鋰電池SOC估計誤差。但該方法將狀態(tài)轉移矩陣泰勒展開并忽略高階項，可能導致截斷誤差。文獻[10-11]根據(jù)鋰電池電化學阻抗譜建立簡化分數(shù)階阻抗模型，同時為了降低參數(shù)辨識復雜度，將描述鋰電池濃差極化的Warburg阻抗簡化為0.5階，這也在一定程度上限制了模型的準確性。針對鋰電池的強非線性工作特點，文獻[12-14]利用無跡變換(unscented transformation,UT)近似計算狀態(tài)預測的后驗均值和協(xié)方差，保證濾波精度為二階甚至更高。為了進一步減小不確定性噪聲的影響，文獻[15-16]分別提出利用模型輸出殘差更新噪聲協(xié)方差和平方根采樣以提高估計算法的適應性，但上述方法中鋰電池模型的精度不高，存在估計發(fā)散的可能性。

針對鋰電池內(nèi)部電化學反應的不確定性和復雜性，本文建立了一種鋰電池的分數(shù)階阻抗模型，該模型利用分數(shù)階元件準確描述鋰電池固液界面(solid electrolyte interphase,SEI)輸運現(xiàn)象和極化反應，其物理意義更為明確。同時針對該鋰電池分數(shù)階阻抗模型強非線性的特點，基于分數(shù)階阻抗模型的分數(shù)階無跡卡爾曼濾波(fractional-order unscented Kalman filter,FUKF)算法估計鋰電池SOC，實驗結果表明，鋰電池分數(shù)階阻抗模型可準確描述鋰電池工作特性，F(xiàn)UKF算法在SOC估計精度和跟蹤速度上較無跡卡爾曼濾波(unscented Kalman filter,UKF)和分數(shù)階卡爾曼濾波(fractional-order Kalman filter,FKF)有一定的提升，具備工程應用價值。

1 鋰電池分數(shù)階阻抗模型

電化學阻抗譜技術是對鋰電池施加不同頻率的小幅值正弦波電流信號測其交流阻抗，在不同SOC狀態(tài)下其形狀基本一致。圖1描述了鋰電池不同等效電路模型的阻抗特性曲線，由電化學阻抗譜理論可知，整數(shù)階等效電路模型中RC網(wǎng)絡在阻抗譜中為一個半圓，難以完整和準確地描述鋰電池電化學阻抗曲線。因此，有必要引入分數(shù)階元件分段擬合電化學阻抗曲線，以建立精確的電池模型[17-19]。鋰電池電化學阻抗如圖1所示。

圖1 鋰電池等效電路模型阻抗特性對比Fig.1 Comparison of impedance characteristics for lithium-ion battery equivalent circuit models

由圖1可知，阻抗特性曲線可分為高頻、中頻、低頻3個部分。阻抗曲線高頻部分與實軸相交處表征鋰電池體相阻抗(bulk resistance)，由Rbulk表示；阻抗曲線高頻部分為扁平半圓曲線的一部分，表征鋰電池內(nèi)部離子在SEI的輸運現(xiàn)象，由常相位元件CPE1和電阻R1并聯(lián)表示；阻抗曲線中頻部分為扁平半圓曲線的一部分，表征鋰電池內(nèi)部的電荷轉移過程(活化極化)，由常相位元件CPE2和電阻R2表示；阻抗曲線低頻部分為直線段，表征鋰電池電化學反應離子的擴散現(xiàn)象(濃差極化)，用韋伯阻抗ZW[10]表示。根據(jù)上述分析建立鋰電池等效電路模型，如圖2所示，其中Vo和Vocv為鋰電池端電壓和開路電壓。

圖2 鋰電池分數(shù)階阻抗模型Fig.2 Fractional-order impedance model of lithium-ion battery

引入分數(shù)階微積分來描述常相位元件，即

(1)

式中:C為系數(shù)且C∈R;r為分數(shù)階階次且r∈[-1,1]。當r=0時，分數(shù)階元件相當于電阻；當r=1時，分數(shù)階元件相當于電容；當r=-1時，分數(shù)階元件相當于電感。

鋰電池模型中常相位元件和韋伯阻抗模型為：

(2)

式中：C1，C2，W為系數(shù)且C1，C2，W∈R;α1,α2,β為分數(shù)階階次且α1,α2,β∈[0,1]。

為簡化模型表達，將Δr作為微積分算子，即

(3)

式中：t0和a分別為積分上、下限；τ為積分變量。

電流電壓參考方向如圖2所示，分數(shù)階元件端電壓為V1，V2，VW，由等效電路模型分析可知：

(4)

量測方程為：

Vo=Vocv-V1-V2-IRbulk

(5)

其中開路電壓Vocv的計算常以查表方式進行。

結合式(4)和式(5)，選取分數(shù)階元件端電壓和SOC為狀態(tài)量，即x=[V1,V2,VW,SSOC]T，可得到鋰電池分數(shù)階模型的狀態(tài)轉換方程和量測方程為：

(6)

γ=[α1α2β1]

(7)

(8)

(9)

y=Vo

(10)

(11)

D=[-Rbulk]

(12)

式中：QN為鋰電池容量。

根據(jù)隨機系統(tǒng)理論將上述方程離散化，并引入Grünwald-Letnikov分數(shù)階理論定義[20-21]，即

(13)

(14)

(15)

式中：Ik為k時刻鋰電池輸出端電流；xk為k時刻狀態(tài)量；yk為k時刻鋰電池外部端電壓值；wk-1為k-1時刻系統(tǒng)過程噪聲;vk為k時刻量測噪聲。

2 基于FUKF的SOC估計

本文提出基于分數(shù)階阻抗模型的鋰電池SOC估計方法，針對鋰電池高度非線性的工作特點，采用UKF算法估計鋰電池SOC。該方法引入對非線性系統(tǒng)采用較高精度的無跡變換[13,22]，實現(xiàn)狀態(tài)量的快速跟蹤，具體步驟如下。

(16)

(17)

(18)

式中：Pk-1為k-1時刻誤差協(xié)方差；Q為過程噪聲協(xié)方差；R為量測噪聲協(xié)方差。

依據(jù)比例修正采樣策略獲得k-1時刻采樣點集ξi,k-1和權系數(shù)Wi。

(19)

(20)

ξi,k-1經(jīng)過非線性變換f(·)傳播，則

(21)

(22)

Cov(xk-1,Δγxk|Yk-1)=

(23)

其中,a2=aaT;Yk-1=[y1,y2,…,yk-1]，yk-1為k-1時刻實際端電壓值。

(24)

(25)

ξi,k|k-1經(jīng)過量測方程h(·)非線性傳播后，則

(26)

Cov(yk|Yk-1)≈Py,k|k-1=

(27)

Cov(xk,yk|Yk-1)≈Pxy,k|k-1=

(28)

計算互協(xié)方差陣Pxy,k|k-1與系統(tǒng)量測估計自協(xié)方差Py,k|k-1比值得到卡爾曼增益矩陣Kk，結合k時刻的實際量測信息yk更新狀態(tài)量和協(xié)方差，完成k時刻最優(yōu)估計,即

(29)

(30)

(31)

3 實驗與數(shù)據(jù)分析

本文實驗對象為中聚能源生產(chǎn)的磷酸鐵鋰電池單體，額定容量為20 Ah，電池單體截止電壓上、下限分別為3.68 V和2.5 V。附錄A給出所建立的鋰電池測試平臺，主要由LAND鋰電池測試系統(tǒng)CT2001D、恒溫箱、計算機組成，鋰電池測試系統(tǒng)采樣頻率設置為1 Hz，實驗環(huán)境溫度設置為25 ℃。實驗內(nèi)容包括10 A恒流放電實驗和動態(tài)壓力測試工況。另外，實施了靜態(tài)容量測試、Vocv-SOC測試和混合動力脈沖特性測試，用來獲取鋰電池開路電壓Vocv真值和模型參數(shù)。在MATLAB仿真平臺上對實際實驗平臺記錄數(shù)據(jù)按照時間順序逐點讀取，驗證本文模型準確性和SOC估計算法的有效性，SOC參考值由采集數(shù)據(jù)基于安時積分法獲得，如式(32)所示。

(32)

式中：SSOC,init為鋰電池SOC初始量。

3.1 參數(shù)辨識

鋰電池電化學阻抗譜需要電化學工作站額外完成，其等效電路模型參數(shù)無法實時獲得。本文在室溫下對鋰電池進行混合動力脈沖特性(hybrid pulse power characteristic,HPPC)測試，利用最小二乘遺傳算法[23]對其在不同SOC區(qū)間的電壓響應進行擬合。最小二乘遺傳算法的基本思想是，將參數(shù)辨識過程模擬為生物個體的進化過程，利用遺傳操作(復制、交叉、變異)生成新個體，通過適應度函數(shù)逐步淘汰適應值低的解。附錄B給出鋰電池SOC為50%時的電壓響應，其電壓響應可分為4個部分，分別表征鋰電池電化學反應過程中的歐姆極化、SEI輸運現(xiàn)象、活化極化和濃差極化現(xiàn)象。

在參數(shù)辨識過程中需要查表獲知開路電壓Vocv，而鋰電池工作特性受多重因素影響，包括放電深度、負載情況、環(huán)境溫度等。因此，鋰電池的開路電壓Vocv與SOC呈強非線性[24]。本文選擇恒流充放電間歇法，將鋰電池充滿并靜置2 h，然后對鋰電池實施放電脈沖并保持ΔSSOC為10%，循環(huán)至放電截止電壓，靜置2 h后實施充電脈沖，分別獲取放電和充電過程中SSOC=10i；i=0,1,…,10時的開路電壓離散序列，取其均值得到Vocv數(shù)據(jù)。為保證Vocv-SOC曲線的單調(diào)性，本文采用分段三次Hermite插值法，對開路電壓離散序列進行插值處理，附錄C給出鋰電池Vocv-SOC關系曲線。與高次擬合相比，Hermite插值理論具有分段插值特點并保證一階連續(xù)導數(shù)，減小誤差在整個定義域內(nèi)的影響，避免造成病態(tài)曲線。

3.2 恒流放電實驗

為驗證鋰電池分數(shù)階阻抗模型的準確性，本文進行恒流放電實驗，放電電流為10 A。同時在辨識模型參數(shù)基礎上，選擇本文模型IM1與文獻[10]中分數(shù)階阻抗模型IM2和文獻[12]中一階RC網(wǎng)絡等效電路模型(用1RC表示)對比，圖3為實際量測電壓和模型預測端電壓絕對誤差曲線。

圖3 10 A恒流放電測試端電壓誤差Fig.3 Estimated terminal voltage error under 10 A constant current test

由圖3可知，本文所用分數(shù)階阻抗模型準確性相比IM2模型和1RC網(wǎng)絡模型有一定提高，端電壓估計誤差基本維持在±5 mV誤差帶以內(nèi)，并且能較好地跟蹤實際量測值。

一階RC網(wǎng)絡等效電路模型因其計算量適中，常與非線性濾波器UKF聯(lián)合進行鋰電池SOC估計。而鋰電池分數(shù)階阻抗模型描述其動態(tài)特性更為準確，?；贔KF算法進行SOC估計。因此，本文選取上述兩種方法作為本文的對比算法具有一定的代表性。為驗證算法的跟蹤性能，選取狀態(tài)量SOC初始值與真實值相差20%，初始估計方差陣P0選取為單位陣，其估計值對比如圖4所示，附錄D給出恒流放電實驗中不同算法SOC估計絕對誤差對比。

圖4 恒流放電實驗中，SOC參考值與FUKF，F(xiàn)KF，UKF算法估計值對比Fig.4 Comparison between estimation values of FUKF, FKF and UKF algorithms and SOC reference value under constant current test

由圖4可知，基于分數(shù)階阻抗模型的FUKF和FKF算法均能快速跟蹤SOC參考值，而基于一階RC網(wǎng)絡等效電路模型的UKF算法跟蹤速度較慢。在精度方面，定義為輸出穩(wěn)定后與參考值的最大誤差。采用FUKF算法估計絕對誤差最終保持在1%以內(nèi)，較UKF算法(1.5%)和FKF算法(2.5%)有一定提高。

為進一步驗證FUKF算法的適用性，在恒流放電實驗后對其進行了鋰電池恒流(10 A)充電實驗，附錄E給出恒流充電實驗下SOC估計結果對比，基于分數(shù)階阻抗模型的FUKF算法SOC估計誤差保持在1%以內(nèi)，優(yōu)于UKF算法(1.5%)和FKF算法(2.5%)。

3.3 動態(tài)壓力測試工況

對磷酸鐵鋰電池采用循環(huán)動態(tài)壓力測試(dynamic stress test,DST)工況，以做進一步數(shù)據(jù)分析，DST測試中系統(tǒng)采集到的端電壓Vo和負載電流I如附錄F所示。圖5為鋰電池DST測試數(shù)據(jù)在UKF算法、FKF算法以及本文提出的FUKF算法的作用下的SOC估計曲線，與安時積分法獲得的SOC參考值進行比較，附錄F給出鋰電池DST測試中不同算法SOC估計絕對誤差對比。

圖5 動態(tài)壓力測試工況中，SOC參考值與FUKF，F(xiàn)KF，UKF算法估計值對比Fig.5 Comparison between estimation values of FUKF, FKF and UKF algorithms and SOC reference value under dynamic stress test

由圖5可知，F(xiàn)KF算法能夠較快地跟蹤鋰電池SOC變化，最大估計誤差為3.5%；UKF算法估計誤差為1.5%，能較準確地估計鋰電池SOC，但跟蹤速度較慢；FUKF算法通過準確的分數(shù)階阻抗模型和UT的共同作用，誤差維持在1%以內(nèi)，較上述兩種算法有效提高了估計精度。另外，F(xiàn)UKF算法在預測步中包含了歷史狀態(tài)量估計值和協(xié)方差矩陣的權值求和分量，在開始階段狀態(tài)量估計值與真實值存在較大偏差時能夠快速靠近真實狀態(tài)，因而具有更快的跟蹤速度。

4 結語

本文根據(jù)鋰電池“灰箱化”的工作特點，提出一種基于分數(shù)階阻抗模型的鋰電池SOC估計方法，并建立實驗平臺實施了恒流放電實驗和動態(tài)壓力測試工況實驗，所得結論如下。

1)對鋰電池電化學阻抗譜特征的分析可知，相比于傳統(tǒng)整數(shù)階等效電路模型，采用分數(shù)階元件描述鋰電池內(nèi)部電化學反應，能夠更為準確地描述鋰電池工作特性。實驗結果表明，所建模型預測端電壓絕對誤差維持在5 mV以內(nèi)。

2)引入Grünwald-Letnikov分數(shù)階理論得到鋰電池分數(shù)階阻抗模型的遞推形式，所獲結果有利于準確描述鋰電池動態(tài)響應特性和工程實現(xiàn)。

3)考慮鋰電池的非線性工作特性，文中利用UT準確估計空間狀態(tài)方程的均值和協(xié)方差。實驗數(shù)據(jù)分析表明，基于分數(shù)階阻抗模型的FUKF算法能夠快速準確地估計鋰電池SOC，其誤差維持在1%以內(nèi)，為鋰電池儲能系統(tǒng)的控制策略選擇提供有效保證。

4)文中著重于鋰電池分數(shù)階阻抗模型的建立和鋰電池SOC的估計過程，簡化了鋰電池模型參數(shù)辨識過程，該模型需要離線實驗數(shù)據(jù)辨識參數(shù)，在模型參數(shù)動態(tài)更新上有一定局限性。今后的主要工作將主要集中于鋰電池分數(shù)階阻抗模型參數(shù)辨識，并將研究擴展到鋰電池健康狀態(tài)(state of health)估計。

本文得到國網(wǎng)江蘇省電力有限公司科技項目(J2017071)資助和黃蔓云博士的指導，特此感謝！

附錄見本刊網(wǎng)絡版(http://www.aeps-info.com/aeps/ch/index.aspx)。