趙秋月，吳文良

（昭通學院 物理與電子信息工程學院，云南 昭通 657000）

0 引言

高維球(又稱超球)作為二維平面上的圓和三維現實空間的球在更高維空間延拓的數學概念，可以使一些復雜的物理問題簡單化，被廣泛應用于各個領域。然而由于高維球概念的抽象性，對于物理學的學生來說理解和應用存在一定困難。現有的文獻如[1-3]等雖然對高維球概念進行了研究和討論，但對初學者來說仍然較為難以理解和掌握。對高維球概念及其相關計算公式作一科普性的簡明的分析和介紹，對物理專業(yè)的學生以及鄰近專業(yè)的學生來說不無益處,本文對此作一嘗試。

1 從二維平面的圓到三維空間的球

1.1 二維平面的圓

圓是一種美妙的圖形。中國古代墨家的經典著作《墨經》中就有“圓，一中同長也”的記載，漢代的算書《周髀算經注》中也有“圓徑一而周三”的認識。古希臘的學者亞里士多德認為，地上的物體的自然運動是卑賤的直線運動：火和氣往上運動，土和水往下運動；而天上的星體的自然運動則是高貴的圓周運動。古希臘天文學家進一步認為肉眼可見的五顆行星分別在繞動點作圓周運動，這些圓周稱為本輪。而作為動點的每個本輪的圓心又在繞地球作圓周運動。這些圓周被稱為均輪。此后為了使理論和新的觀測事實相符合，學者們通過用在本輪之上再加本輪的方法，使得亞里士多德和托勒密的地心說成為了一門非常繁復的體系。即便在這一理論被哥白尼的日心說證偽之后，哥白尼仍然認為行星繞太陽的運動是完美的圓周運動，他在《天體運行論》中說：“在所有行星的中心居住著太陽，在這個位置它可以一瞬間照亮整個宇宙。對于這個最壯麗的神殿，誰能將這盞明燈安放到另外或更好的地方？”開普勒把這盞明燈安放到了更好的地方，他發(fā)現太陽并不在行星圓軌道的中心，而是在行星橢圓軌道的一個焦點上。

用數學專業(yè)的語言來說，圓是由點構成的稱為平面的集合的子集。這個子集可以是圓周，即平面上到給定點距離相等的點的集合；可以是圓周內部的點組成的開集，稱為開圓；也可以是圓周連同內部的點組成的閉集，稱為閉圓。在笛卡爾平面直角坐標系中，這三個集合可以分別用坐標(x,y)表示為{(x,y)|(x-x0)2+(y-y0)2=R2},{(x,y)|(xx0)2+(y-y0)2＜ R2}和 {(x,y)|(x-x0)2+(y-y0)2≤ R2}。其中點(x0, y0)稱為圓的圓心，R稱為圓的半徑。在圓周所在平面上經過圓心的直線與圓周交于兩個點，這兩個點構成的線段稱為圓的直徑，其長度為2R，圓周的長度與直徑之比稱為圓周率，用π表示。因此半徑為R的圓周長度為2πR。

要計算圓的面積需要用到積分。把半徑為R的圓分割成一個個寬度都是dr的無窮多個圓環(huán)，其中內外半徑分別是r和r+dr的圓環(huán)的面積等于長和寬分別為2πr和dr的矩形面積。因此半徑為R的圓的面積等于這無窮多個圓環(huán)的面積之和，即：

可以用另外一種積分方法計算圓的面積：平行于圓的某條直徑把圓分割成無窮多條，每一條近似看作矩形，它的寬度為dy, 長度l隨著到圓心的距離|y|而變化：.因此半徑為R的圓的面積等于這無窮多個近似矩形的面積之和，即：

從運動學的角度，可以把半徑為R的圓周看作是一條長為R的線段繞經過線段的一個端點且垂直于線段所在直線的某條軸旋轉時線段另一端點的軌跡。而作為閉集的圓則是整條線段旋轉一周所成的圖形。如果把半徑為R的圓周投影在一條直線上，得到的是距離為2R的兩個點；而作為閉集的圓的投影則是由那兩個點構成的長度為2R的線段。

1.2 三維空間的球

將半徑為R的圓周繞它的某條直徑旋轉一周，就得到三維空間中的一個球表面，即通常意義下的球表面。球表面內部的點構成的集合，稱為開球，開球與其表面的并集，稱為閉球。球表面、開球和閉球都可以簡稱為球，顯然它們都是三維空間的子集。在笛卡爾（三維）空間直角坐標系中，這三個子集用坐標(x, y, z)分別表示為{(x,y,z)|(xx0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2}, {(x,y,z)|(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2＜ R2}和{(x,y,z)|(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2≤ R2}。其中點(x0, y0, z0)稱為球的球心，R稱為球的半徑。

我們可以把圓看作是三維空間中的球在二維平面上的投影。從而可以用如下的方法來計算球的體積。把球沿平行于過球心的某個球面將球體分割成無窮多個近似圓柱，每個圓柱的高為dz, 底面積為圓的面積。底面圓的半徑隨距球心的距離|z|而變化，并且圓的半徑與圓距球心距離的平方和就是球半徑R的平方，因此圓的體積為：

也可以把球分割成無窮多個厚度為dr的同心球殼，設半徑為r的球的表面積為S（3r）, 則有

把R看作變量，將等式兩邊對R求導數，得

再由已知的球的體積，得到半徑為R的球的表面積公式：

2 往更高維拓展

2.1 四維超球

在現實的三維空間中，我們不能像旋轉圓得到球一樣通過旋轉把球變?yōu)槠渌膸缀误w，但是我們仍可以把三維空間中的球想象為四維空間中的超球在三維空間中的投影。與三維空間中的球相類似，四維空間中的超球是四維空間的子集。所謂四維空間，是指由所有有序實數組（x1, x2, x3,x4)構成的集合，每一個實數組稱為四維空間中的點。四維超球可以指稱超球的表面可以指稱超球的內部或者二者的并集其中R為四維超球的半徑，點為四維超球的球心?？梢园阉木S超球分割成無窮多個“球柱”，每個球柱的高為dx4，“底面積”分別是三維空間中半徑為的球的體積，從而得到四維超球體的體積公式：

式中符號“n!!”稱為n的雙階乘，表示所有不大于n且與n同奇同偶的正整數的乘積。也可以把四維超球分割成無窮多個同心超球殼，從而得到四維超球的表面積公式：

2.2 n維空間中超球的體積和表面積

一般地，n維空間中超球是n維空間的子集，是指由所有有序實數組（x1, x2, …,xn)構成的集合，每一個實數組稱為n維空間中的一個點。n維超球可以指超球的表面可以指超球的內部或者是二者的并集其中R為超球的半徑，點為超球的球心?？梢园裯維超球分割成無窮多個超球柱，每個超球柱的高為dxn，“底面積”分別是n-1維空間中半徑為的球的體積，從而得到n維超球體的體積遞推公式：

也可以把n維超球分割成無窮多個同心超球殼，從而得到n維超球的表面積公式:

2.3 二維球和一維球

高維球是低維球在更高維空間中的延拓，低維球則是高維球在較低維空間中的投影。因此，我們可以把圓稱為二維球，它的“球心”即為圓心，“體積”就是圓的面積，而“表面積”則是圓的周長。圓在一維平直空間中的投影是一段線段，因此可以把線段稱為一維球，它的“球心”即為線段的中點，它的“體積”即為線段的長度，而它的“表面積”則為2，即線段兩個端點的“大小”。

3 量綱分析導出n維超球的體積和表面積

3.1 n維超球的體積和表面積的一般公式

由于 f(2)=π, 故

代入（2）式，得

借助伽瑪函數

于是（4）和（5）可改寫為：

（4）～（7）即為高維球的體積公式和表面積公式。

3.2 五維、六維和七維球的體積和表面積

由n維超球的體積和表面積的一般公式，可以求出五維、六維和七維球的體積和表面積：

3.3 零維球

“一維球”線段在零維空間中的投影是一個點，因此可以把點稱為“零維球”。它的“球心”與“球”融為一體，“體積”等于1，與“半徑”無關：“表面積”等于0.將f(0)=1和f(1)=2代入（3）式，得到0!!=1.此即0的雙階乘的定義。

4 高維球在物理學中的一些應用

4.1 理想氣體熵的計算

物理學中熵的概念有熱力學熵和統(tǒng)計物理學熵之別。熱力學熵是統(tǒng)計物理學熵在熱力學中的表現，統(tǒng)計物理學熵是熱力學熵在統(tǒng)計物理學中的本質。熱力學熵又稱克勞修斯熵，定義為可逆過程的熱溫比，它是一個狀態(tài)量，當系統(tǒng)從平衡態(tài)A經可逆過程變?yōu)槠胶鈶B(tài)B時，系統(tǒng)的熵變?yōu)椋?/p>

在熱力學中，可以任意選擇一個平衡態(tài)的熵等于零。而在統(tǒng)計物理學中的熵又稱玻爾茲曼熵，被定義為系統(tǒng)處于某一平衡態(tài)的熱力學概率W的對數，即

式中kB為玻爾茲曼常數，它在式子中的出現是由于在熱力學中把熵定義為熱溫比，而溫度則由各種不同的溫標所定義。一旦把它規(guī)定為1（在自然單位制中），我們就可以定義一種新的溫標。

對于理想氣體來說，可以把體積為V，物質的量為n、單個分子質量為m的單原子分子理想氣體系統(tǒng)看作質點數為N=nNA的質點系，系統(tǒng)的熱力學能等于質點系的動能，即所有質點動能之和，它決定了系統(tǒng)的熱力學溫度T。系統(tǒng)處于熱力學溫度T的平衡態(tài)的熱力學概率W正比于微觀狀態(tài)數Ω，即系統(tǒng)總動能為E=3kBT/2的相點數。在經典力學中，系統(tǒng)的能量可以取連續(xù)的值，因而相點數是無限的?？梢哉J為微觀狀態(tài)數與相應的相空間體積成正比。對于單原子分子理想氣體來說，系統(tǒng)的能量與分子的坐標無關，只要系統(tǒng)分子的速度分布在3N維速度空間中的半徑為v的球面上，則系統(tǒng)的熱力學能即為E=mv2/2.因此，系統(tǒng)能量介于（E1，E1+ΔE）之間的相空間體積為

而系統(tǒng)能量介于（E2，E2+ΔE）之間的相空間體積為

于是系統(tǒng)能量為E1與E2的微觀狀態(tài)數之比為

因而一定物質的量的理想氣體，在等容變化過程中熱力學能由E1變化到E2，發(fā)生的熵變?yōu)椋?/p>

式中R為氣體普適常量。能夠取近似是因為N對宏觀系統(tǒng)而言是一個很大的數。根據焦耳定律，理想氣體的熱力學能只是溫度的函數，因而

這正是熱力學中所得到的結果。

4.2 n維球坐標系及其一些應用

平面解析幾何中的極坐標系可以看作二維球坐標系，它用極徑ρ和一個極角θ來確定平面上一點的位置；空間解析幾何中是三維球坐標系，它用矢徑r和兩個角坐標θ,φ來確定三維歐幾里德空間中一點的位置。一般地，n維球坐標系用矢徑r和n-1個角坐標θ1,θ2, …，θn-1來確定n維歐幾里德空間中一點的位置。設半徑為r球心在原點的n維球面上的一點P在n維笛卡爾直角坐標系中的坐標為（x1,x2, …,xn)，則θ1定義為徑矢與第n條坐標軸的夾角，即有xn=rcosθ1。當θ1=0時，P點在垂直于第n條坐標軸的n-1維歐幾里德空間中的投影是原點，P點的其余直角坐標x1，x2，…，xn-1均為0；當θ1≠0時，P點在垂直于第n條坐標軸的n-1維空間中的投影P1位于球心在原點半徑為rsinθ1的n-1維球面上。從而可將θ2定義為與第n-1條坐標軸的夾角，即有xn-1=rsinθ1cosθ2。類似地可以定義其余角坐標。需要注意的是：θn-1并不是與第2條坐標軸的夾角（其中Pn-2為Pn-3在二維平面上的投影），而是與第1條坐標軸的夾角，其取值范圍為0≤θn-1＜2π。其余角坐標的取值范圍均為0≤θi＜π(1≤i≤n-2).由P點的n維球坐標（r，θ1，θ2，…，θn-1）,可求出其直角坐標（x1，x2，…，xn)：

應用高維球坐標系，李春樹[2]對帶電膠體系統(tǒng)中排空作用開展了研究，翁愛華等[3]對大地電磁測深資料作了分析；劉云等[4]討論了靜態(tài)荷電球體的Einstein-Maxwell場方程；王沂軒等[5]計算了三電子原子的基態(tài)能態(tài)；馮名誠等[6]研究了弱磁場中的二維D～-中心。囿于筆者學識所限，這里不再一一詳加討論。

5 結語

高維球這一數學概念廣泛應用于不同的學科領域，使一些問題的解決得到大幅度的簡化。掌握高維球的概念，靈活運用相關公式，能夠提高解決問題的能力。本文介紹了高維球在物理領域的一些應用。以期為我們的學習和研究提供一定的參考。