呂 騰，李傳江，郭延寧，呂躍勇

(哈爾濱工業(yè)大學控制科學與工程系，哈爾濱 150001)

0 引 言

隨著反導技術快速發(fā)展，面對敵方艦艇等目標配備的密集導彈防御系統(tǒng)，單一導彈突防變得愈發(fā)困難，而多導彈協(xié)同作戰(zhàn)借助通信系統(tǒng)將多枚導彈構成一個作戰(zhàn)網(wǎng)絡，通過彈間通信使多導彈的打擊時刻趨于一致，從而實現(xiàn)同時擊中目標，這極大提高了導彈突防概率[1-2]。同時，相比于同等總裝藥當量的單枚導彈，借助于多點同時爆炸產生的爆炸聚集效應，多導彈協(xié)同作戰(zhàn)還可顯著提高導彈對目標的毀傷能力[3]。作為協(xié)同作戰(zhàn)的關鍵技術之一，協(xié)同制導律在設計中有5個問題值得研究，分別為有向通信拓撲、無導彈-目標徑向速度測量、帶視線角約束、可打擊移動目標和有限時間協(xié)同。

由于實戰(zhàn)中相鄰導彈間的通信距離存在差異，它們間的通信往往是有向的，因而設計有向通信拓撲下的協(xié)同制導律更貼合實際需求[4]。針對有向通信拓撲下的協(xié)同制導問題目前國內外學者研究成果較少，Zhao等[4]基于二階多智能體協(xié)同控制理論和傳統(tǒng)的比例制導律設計了有向拓撲下分布式協(xié)同制導律。彭琛等[5]在打擊時刻控制制導律(ITCG)的基礎上，基于有向圖和加權平均一致性協(xié)調算法設計了有向拓撲下的分布式協(xié)同制導律。文獻[4-5]如能使各導彈的時間協(xié)調變量在有限時間內達到一致，則可使各導彈的打擊時刻更快趨于一致。

無導彈-目標徑向速度測量制導律可以避免徑向速度測量傳感器的使用，從而減少導引頭的成本和復雜度，提高系統(tǒng)的可靠性[6]。另外，還可作為徑向速度測量傳感器失效后的備用制導算法。針對無導彈-目標徑向速度測量的協(xié)同制導問題目前國內外研究比較有限，周銳等[7]基于網(wǎng)絡同步原理設計了一種協(xié)同制導指令，雖無需知道導彈-目標徑向速度信息，不過需要明確了解目標的速度信息，實際中該信息較難準確測量。

帶視線角約束可使得反艦導彈從期望的方向對艦艇目標進行打擊，從而提高導彈的突防能力和對目標的毀傷能力[8]。針對帶視線角約束的協(xié)同制導問題，Wang等[9]通過在比例導引律和帶角度約束導引律基礎上附加一項本導彈與相鄰導彈打擊時刻誤差控制項設計了一種分布式協(xié)同制導律。張春妍等[10]利用各導彈的剩余飛行時間之差對帶視線角約束的偏置比例導引律中的比例系數(shù)進行調節(jié)，提出一種協(xié)同偏置比例導引律。文獻[9]-[10]所提協(xié)同制導律的末端視線角僅能漸近收斂于期望值，而非有限時間收斂。

由于越來越多的敵方目標可進行移動，因而有必要設計可打擊移動目標的制導律[11]。針對可打擊移動目標的協(xié)同制導問題，孫雪嬌等[12]基于網(wǎng)絡同步原理設計了一種多導彈位置同步算法，同步的平衡解即為移動目標的位置。Zhao等[13]通過在傳統(tǒng)比例制導律基礎上增加目標移動項和時間協(xié)同項設計了協(xié)同制導律。趙啟倫等[14]采用改進比例導引法使領彈能夠打擊移動目標，然后基于二階一致性算法設計協(xié)同制導律，使得從彈位置和速度能夠跟蹤領彈。文獻[12]-[14]所提制導律雖能夠打擊移動目標，而未帶視線角約束。宋俊紅等[15]基于一致性理論提出了一種針對移動目標的制導律，而該制導律要求通信拓撲始終無向，實際中目前較難實現(xiàn)。

有限時間協(xié)同可使多導彈的打擊時刻在導彈擊中目標之前達到一致，有利于提高彈群整體突防概率，同時還可提高導彈制導精度和抗干擾能力。針對有限時間協(xié)同制導問題，Zhang等[16]基于一階多智能體協(xié)同控制理論提出一種有限時間協(xié)同制導律，Hou等[17]基于時變比例導引法提出一種有限時間協(xié)同制導律。文獻[16]-[17]雖能實現(xiàn)有限時間協(xié)同，而未帶視線角約束。

目前，國內外學者針對同時考慮上述5個問題的協(xié)同制導律研究成果相對較少，受文獻[1-24]啟發(fā)本文對其進行研究。首先，在視線方向，基于二階多智能體協(xié)同控制理論設計了有向拓撲下無需導彈-目標徑向速度測量的多導彈有限時間分布式協(xié)同制導律，并給出了相應的穩(wěn)定性證明。然后，在視線法向方向，基于積分滑模控制理論設計了帶視線角約束且能打擊移動目標的制導律，并給出了相應的穩(wěn)定性證明。最后，通過仿真校驗了所設計協(xié)同制導律的有效性。

對本文所提方法的優(yōu)勢進行說明，首先，同時考慮了上述5個問題，考慮問題更全面，更貼合實際需求；其次，無需測量目標的速度和加速度等信息，可降低雷達導引頭的成本和復雜度;采用分布式通信，降低了對彈間通信距離的要求，提高了彈群的整體突防能力;制導律隨時間連續(xù)變化，避免了制導指令抖振。

1 協(xié)同制導模型

目前，國內外在導彈變推力固體火箭發(fā)動機技術方面不斷取得突破[18]。為簡化研究，本文采用運動學分析方法，基于以下假設[13]：

(1)導彈和目標視為二維平面內質點；

(2)導彈導引頭和自動駕駛儀動力學與制導回路相比響應足夠快；

(3)每枚導彈的推力大小可控。

導彈與目標的相對運動幾何關系如圖1所示。

圖1 多導彈與目標攔截幾何示意圖Fig.1 Multiple missiles-target engagement geometry

圖1中Mi和T分別代表第i枚導彈和目標，ri代表Mi與T之間的相對距離，qi代表Mi的視線角，vmi和vt分別代表Mi和T的速度，θmi和θt分別代表Mi和T的彈道角，ami和at分別代表Mi和T的法向加速度。其中，i=1,2,…,n,n為導彈總枚數(shù)。

由圖1得到Mi與T的相對運動方程如下：

(1)

(2)

(3)

(4)

將式(1)和式(2)分別對時間進行求導，并與式(3)和式(4)相結合可得

(5)

(6)

式中：uri和wri分別為Mi和T的加速度在視線方向的分量，uqi和wqi分別為Mi和T的加速度在視線法向的分量。

假設目標作勻速直線運動，則有

wri=0,wqi=0

(7)

(8)

本文研究系統(tǒng)(8)。首先，在視線方向設計無需測量x2i的制導律uri，以使x1i及x2i在有限時間內達到一致。然后，在視線法向方向設計無需測量x2i的制導律uqi，以使x3i及x4i在有限時間內收斂到0。最后，將得到的uri和uqi都代入到系統(tǒng)(8)中并通過仿真驗證所設計制導律的有效性。

2 協(xié)同制導律設計

2.1 視線方向制導律設計

多導彈間通信拓撲關系可由圖G(A)=(v,ξ,A)來描述，其中v描述節(jié)點組成的集合，ξ代表節(jié)點之間的連線，矩陣A=[aij]∈Rn×n代表權系數(shù)矩陣，其中i,j∈{1,2,…,n}。若導彈i和導彈j之間能夠進行信息交換則aij>0，否則aij=0，特別aii=0。若存在某些實數(shù)θi>0，使得θiaij=θjaji對任意i,j都成立，則稱圖G(A)是細節(jié)平衡的[19-20]。定義圖G(A)對應的拉普拉斯矩陣為L=[lij]∈Rn×n，其中矩陣的元素為

(9)

引理1[21]. 如果有向圖G(A)是強連通且細節(jié)平衡的，則存在一個正的列向量θ=[θ1,…,θn]T使得θiaij=θjaji對任意的i,j∈{1,2,…,n}都成立，因而存在Θ=diag(θ1,θ2,…,θn)使得ΘL=(ΘL)T。

引理2[22]. 若有向圖G(A)為強連通，則其拉普拉斯矩陣L的秩rank(L)=n-1。

由式(8)可得Mi的協(xié)同制導模型如下：

(10)

協(xié)同制導的目標是使得多導彈的打擊時刻tfi在多導彈擊中目標前達到一致，tfi可由下式表示：

tfi=tgoi+t

(11)

式中：tgoi為Mi的剩余飛行時間。由式(11)可得

tfi-tfj=tgoi-tgoj

(12)

由式(12)可知，如果能控制多導彈的tgoi達到一致就可使其tfi達到一致，從而實現(xiàn)同時擊中目標，tgoi可由下式估計得到：

(13)

本節(jié)的制導律設計目標是，針對每枚Mi的視線方向制導模型，設計無需測量x2i的視線方向制導律uri使得

(14)

從而使式(13)中所示的所有導彈的tgoi在有限時間內達到一致。

下面以定理的方式給出視線方向協(xié)同制導律及其穩(wěn)定性證明。

定理1. 針對系統(tǒng)(10)，如果有向圖G(A)是強連通且細節(jié)平衡，則設計如式(15)～(18)所示的視線方向分布式協(xié)同制導律uri，可使x1i和x2i在有限時間內達到一致且無需測量x2i.

(15)

(16)

(17)

(18)

式中：l1r>0,l2r>0,k1r>0,k2r>0, 0.5<σr<1。

證. 將式(15)～(18)與式(10)相結合，令x1=[x11,x12,…,x1n]T,x2=[x21,x22,…,x2n]T,δr=[δr1,δr2,…,δrn]T,ηr=[ηr1,ηr2,…,ηrn]T可得

(19)

式中：L∈Rn×n為圖G(A)的拉普拉斯矩陣。

令ex=δr-Lx1,ey=ηr-Lx2，則有

(20)

針對系統(tǒng)(20)，有如下Lyapunov函數(shù)

(21)

由于σr>0且l2r>0，因而V1r是正定且徑向無界的。結合式(20)和式(21)，將V1r對時間求導可得

(22)

(23)

令rT=[r1,r2,…,rn]且滿足

rTL=0

(24)

rT1=1

(25)

同時，令

X1=Mdx1,X2=Mdx2

(26)

式中：

Md=In-1rT

(27)

再結合式(26)，則式(23)可轉化為：

(28)

將式(25)～(27)相結合并化簡可知，系統(tǒng)(19)的狀態(tài)x1i和x2i各自在有限時間內達到一致，等價于系統(tǒng)(28)的狀態(tài)X1和X2各自在有限時間內收斂到0。

為證明X1和X2各自可在有限時間內收斂到0，選取Lyapunov函數(shù)形式如下：

(29)

LMd=L=MdL

(30)

(31)

X2=k1，k∈R

(32)

將式(25)和式(27)相結合可得

rTMd=rTIn-rT1rT=0T

(33)

由式(26)和式(33)可得

rTX2=rTMdx2=0

(34)

將式(32)和(34)與式(25)相結合可得

X2=0

(35)

定理1中uri的第1項用于補償系統(tǒng)中的非線性特性，第2項用于調整多導彈的x1i和x2i使其各自在有限時間內達到一致。

2.2 視線法向制導律設計

由式可得Mi視線法向制導模型如下：

(36)

式中：dqi=-2x2ix4i/x1i為系統(tǒng)非線性特性所產生的干擾，所有導彈視線法向受到的干擾由dq=[dq1,dq2,…,dqn]T表示。

本節(jié)制導律設計目標是，針對每枚Mi視線法向制導模型，設計無需測量x2i的視線法向制導律uqi使得

(37)

接下來以定理的方式給出視線法向制導律及其穩(wěn)定性證明。

(38)

(39)

(40)

式中：k1qi>0,k2qi>0,k3qi>0,k4qi>lq, 0<αqi<1。

證. 將方程(40)對時間求導可得：

(41)

令

zqi=ρqi+dqi

(42)

然后由式(36)、式(38)、式(39)、式(41)和式(42)可得：

(43)

選取Lyapunov函數(shù)如下

(44)

式中：Pqi∈R2×2>0,ξqi可由下式表示

(45)

將上式中ξqi對時間求導，并結合式(42)和式(43)可得

(46)

式中：

(47)

將式(44)中Vq對時間求導，并結合式(46)可得

(48)

由于k3qi>0且k4qi>lq，式(47)中矩陣Aqi的所有特征值均具有負實部，因而由線性定常系統(tǒng)Lyapunov定理可知，對任意的正定對稱矩陣Qqi都有唯一的正定對稱矩陣Pqi使得

(49)

故式(48)可寫為

(50)

標準二次型不等式形式如下

(51)

(52)

由式(51)和式(52)可知

(53)

由式(45)和式(51)可知

(54)

由于

(55)

將式(53)～式(55)與式(50)相結合可得

(56)

式中：

(57)

由式(44)和式(56)并結合有限時間穩(wěn)定性理論可知

(58)

式中：

(59)

將式(45)與式(58)相結合可知

(60)

由式(60)可知

(61)

將式(61)與式(41)相結合可得

(62)

再由文獻[23]的引理2可知當x3i和x4i到達滑模面后可在有限時間內收斂到0，因而x3i和x4i從初始時刻開始可在有限時間內收斂到0。定理證畢。

定理2中uqi的前2項可使x3i和x4i在有限時間內收斂到0，第3項和第4項用于抵消干擾dqi對系統(tǒng)帶來的影響。

注2雖然定理1和定理2并沒有給出有限時間上界，但并不影響制導律的實際使用，實際中通常通過調節(jié)制導律參數(shù)來調整系統(tǒng)收斂時間使其滿足要求。

注3在導彈3維制導律設計中，可將導彈的3維運動分解成視線方向和視線法向(高低、方位)3個方向，每個方向均為2階系統(tǒng)，視線方向可采用定理1方法，視線法向(高低、方位)可采用定理2方法。因此，本文的2維制導律設計方法同樣可用于3維制導律設計。

注4實際中制導律與控制律分開，通常制導律在理想條件下進行設計，設計控制律時才會將大氣擾動等各種不利因素考慮進去，以使導彈實際過載能實時跟蹤制導律產生的期望過載。本文針對制導律進行設計，因而未考慮上述因素影響。

3 仿真校驗

為驗證本文所提出的多導彈協(xié)同制導律的有效性，在不考慮外界干擾、測量噪聲和執(zhí)行機構控制精度等因素影響的理想條件下，針對3枚反艦導彈在水平面內均從各自期望的方向同時攻擊一艘勻速直線運動艦艇目標的情形進行仿真，仿真步長取定步長5 ms。視線方向制導律參數(shù)取為k1r=10,k2r=10,l1r=5,l2r=5,σr=0.68，視線法向制導律參數(shù)取為k1qi=2,k2qi=10,k3qi=5,k4qi=1,αqi=0.95，其中，i=1,2,3。

圖2 3枚導彈間的通信拓撲結構Fig.2 Communication topology for three missiles

目標和導彈的初始條件分別如表1和表2所示，目標作勻速直線運動。

表1 目標初始條件Table 1 Initial conditions for target

表2 導彈初始條件Table 2 Initial conditions for three missiles

3枚導彈的脫靶量、打擊時刻和視線角誤差由表3給出?？梢娝鼈兊拿摪辛慷急３衷?.22 m范圍之內，打擊時刻可以達到一致，視線角誤差均在2×10-3(°)范圍之內，說明在理想條件下，本次仿真中所有導彈可以從期望的方向同時擊中移動目標。

表3 協(xié)同制導仿真結果Table 3 Simulation results of cooperative guidance

4 結 論

本文針對有向拓撲下多導彈從各自期望的方向同時擊中移動目標且無需測量導彈-目標徑向速度問題進行研究。首先，設計了視線方向分布式協(xié)同制導律，并通過穩(wěn)定性理論證明其可保證所有導彈的打擊時刻在有限時間內達到一致。然后，設計了視線法向制導律，并通過穩(wěn)定性理論證明了其可保證所有導彈的視線角在有限時間內收斂到期望值。最后，通過仿真校驗了所提方法在理想條件下可使有向拓撲下的多導彈從各自期望的方向同時擊中移動目標。未來將對考慮導彈間通信拓撲切換的協(xié)同制導律和三維協(xié)同制導律設計問題進一步研究。

圖3 協(xié)同制導仿真結果Fig.3 Simulation results of cooperative guidance