張春燕 戚國慶 李銀伢 盛安冬

在無人機對目標跟蹤任務中,目標主要分為合作目標和非合作目標.對合作目標跟蹤,無人機如何在速度受限條件下實現(xiàn)在傳感器適用范圍內環(huán)繞目標運動是目標跟蹤的研究重點之一;對非合作目標,無人機必須保持在目標一定距離外跟蹤以減少暴露風險.這些應用需求導致了近年來環(huán)航跟蹤方法的快速發(fā)展.

環(huán)航跟蹤指無人機保持一定距離環(huán)繞跟蹤目標,即控制器需要實現(xiàn)無人機在以目標為圓心、指定距離為半徑的期望航跡上航行.當前對無人機環(huán)航的研究主要包括觀測器和控制器的設計.一些學者采取觀測器與控制器相耦合的策略.針對單傳感器跟蹤單目標,Deghat等[1]提出純方位量測下的目標環(huán)繞跟蹤的觀測器和控制器的設計方法,并針對觀測器為非完整機器人時進行改進[2],隨后擴展到單傳感器對多目標的環(huán)航跟蹤中[3];與純方位量測對應,Shames等[4]提出在單傳感器純距離量測下的環(huán)航跟蹤觀測器和控制器;Cao[5]等基于距離和距離變化率提出一種環(huán)航跟蹤控制器,在此基礎上,張民等[6]提出結構更簡潔的控制器,并擴展到運動目標的跟蹤中;Matveev等[7]基于距離和距離變化率信息,針對單傳感器對多目標環(huán)航跟蹤提出一種控制器的設計方法;Zhang等[8]針對單傳感器跟蹤單目標提出一種基于視覺的觀測器,并分析在存在目標丟失情況下的穩(wěn)定性;Zhu等[9]提出一種改進的自適應算法估計目標速度,并利用Lyapunov向量場保證控制器的收斂性.

另一些學者主要研究控制器設計,前提是已由其他探測設備得到目標的運動狀態(tài).Lawrence[10]針對無人機環(huán)航跟蹤問題,提出基于Lyapunov向量場引導法(Lyapunov vector field guidance,LVFG)的環(huán)航控制器;Frew等[11]和Summers等[12]針對無人機速度受限提出一種解耦控制結構;Yoon等[13]利用Backstepping使無人機在速度受限的情況下完成空間環(huán)航跟蹤;Wang等[14]提出一種基于彈性引力和斥力的控制方法;Oh等[15]為進一步分析目標速度對環(huán)航跟蹤的影響,利用微分幾何的方法明確指出繞飛中無人機速度與目標運動狀態(tài)的關系;Shames等[16]考慮了無人機環(huán)航跟蹤時的避障問題;為使無人機更快速地收斂,Chen等[17]提出一種基于切向量場引導法(Tangent vector field guidance,TVFG)的控制方法,但當無人機在期望距離內時控制方案依然為Lyapunov向量場引導法.多種現(xiàn)代控制策略被應用到環(huán)航跟蹤研究上,例如模型預測控制[18?19]、自適應滑?？刂芠20]、動態(tài)規(guī)劃[21]、路徑規(guī)劃[22]、分布式控制[23]等.另外,Zhu等針對環(huán)航跟蹤中無人機輸入受限的問題提出Bang-Bang控制[24]和飽和控制策略[25].

上述成果提出多種可行的環(huán)航控制方案,給出在這些控制器下無人機對目標環(huán)航跟蹤進一步的研究成果,但對上述控制器之間的優(yōu)缺點對比給出的結論較少.另外,關于無人機收斂到期望航跡的問題,人們總是更希望無人機能在有限時間內到達期望航跡,有限時間穩(wěn)定控制器可以保證閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)在有限時間內收斂到平衡點[26?31],但工程應用中,無人機速度普遍會受到限制,如何保證無人機在此情況下更快速地收斂是需要研究的課題.

本文針對工程應用中目標速度變化情況,根據無人機和目標的幾何關系,提出一種考慮目標運動狀態(tài)的控制方案,給出一類基于該控制策略可行的控制參數條件.通過比較這類控制器的優(yōu)缺點,提出一種具有快速收斂性、更好抗擾動性的有限時間飽和控制參數條件.

本文結構安排如下:第1節(jié)描述研究的問題;第2節(jié)給出有限時間控制器的設計方案;第3節(jié)給出仿真比較結果;第4節(jié)是結論.

本文中,R表示實數集,R+表示正實數集,為歐氏范數,sgn(·)表示符號函數(sgn(0)=0),AB表示集合{x|x∈A,x/∈B}.

1 問題描述

如圖1所示,本文主要考慮固定翼無人機對目標的環(huán)航跟蹤問題.例如文獻[8],假定無人機配有一個低空飛行控制系統(tǒng),可接收到速率、角速度指令轉化為相應的橫滾、俯仰和偏航信息,同時具有速度保持和定高飛行功能.因此,無人機主要針對地面、水面或同一水平面的目標進行環(huán)航跟蹤,即只考慮無人機與目標在X-Y平面下的相對運動狀態(tài).假設已經由其他探測設備得到目標的速度信息,本文主要研究無人機對目標環(huán)航跟蹤的飛行控制器設計.基于工程應用與控制實現(xiàn)要求,假定無人機的速度受限,且滿足無人機速率大于目標速率.

圖1 系統(tǒng)模型Fig.1 Model of the system

1.1 飛行環(huán)繞問題描述和系統(tǒng)模型

由于將無人機視為質點,以無人機速度為輸入設計控制器,因此在笛卡爾二維坐標系下,設無人機的運動模型為[5]

其中,vmin,vmax分別表示無人機的最大和最小航行速率.

目標的位置和速度由其他探測設備實時探測得到,因此考慮到目標在笛卡爾二維坐標系下的運動模型為

根據環(huán)航跟蹤的控制要求,對無人機和目標的相對運動和位置建模.在同一笛卡爾坐標系下,定義無人機與目標的相對速度為νr,則

即相對運動模型為

其中,變量[xryr]T∈R2表示無人機相對于目標的位置.如圖1所示在極坐標下系統(tǒng)模型(5)的輸出表示為

其中,d∈R+表示無人機與目標之間的相對距離,θ∈[0,2π)表示無人機與目標之間的方向角.控制器設計要求距離收斂到期望值,可以表示為

其中,d0∈R+表示無人機和目標的期望距離.

由要求目標速率小于無人機的最大速率得出:

假設1.相對運動模型(5)中,0≤vt

1.2 有限時間穩(wěn)定預備知識

定義1[26].考慮如下連續(xù)系統(tǒng)如下假設:

其中,x∈Rn,f(0)=0,f:D→Rn為一個連續(xù)函數,D?Rn為原點x=0的鄰域,由初始狀態(tài)x0=x(t0)出發(fā)的運動軌跡簡記為x(t)=x(t,t0,x0).

若系統(tǒng)(7)滿足:1)在平衡點x=0穩(wěn)定;2)有限時間收斂,引入原點的開鄰域D0和收斂時間函數T(x0).D0{0}→(0,∞),對任意初始狀態(tài)x0∈D0{0}?D,若存在T(x0)>0使得t∈[0,T(x0)]時,x(t)∈D0{0}且limt→T(x0)x(t)=0;當t>T(x0)時x(t)=0,則系統(tǒng)(7)在平衡點有限時間穩(wěn)定.

若D0=D=Rn,稱系統(tǒng)(7)在平衡點全局有限時間穩(wěn)定.

引理1[31].若存在一個連續(xù)可微的Lyapunov方程V(x):D→R滿足:1)對任意x∈D0{0}?D,V(x)為正定函數;2)存在k∈R+和α∈(0,1),使得對任意x∈D0{0}?D,(x)+kVα(x)≤0.則系統(tǒng)在平衡點有限時間穩(wěn)定.且收斂時間T(x)≤V1?α(x)/(k(1?α)).

本文旨在設計一個穩(wěn)定且有限時間內收斂的無人機飛行控制器,實現(xiàn)在速度受限條件下對運動目標的環(huán)繞跟蹤要求.

2 飛行控制器設計

首先利用無人機和目標的幾何關系設計出合理的控制器,再利用Lyapunov穩(wěn)定性定理給出可行的控制器參數,然后利用飽和控制和有限時間穩(wěn)定性使無人機在滿足約束條件的情況下快速實現(xiàn)跟蹤要求.

2.1 幾何模型

定義無人機與目標間的相對運動模型為

其中,vr∈R+表示無人機與目標之間的相對速率,ψr∈[0,2π)表示相對航向,ωr∈R表示相對角速度.

如圖2所示,定義φ∈[0,2π)表示相對速度與視線之間的角度,即ψr=θ?φ?π;β(t)∈R2表示無人機到目標的單位向量,的一個單位法向量,即

定理1.對給定的無人機速度要求,只需通過調節(jié)角度變量φ,即由相應的無人機的控制速度輸入

其中,相對速率為

達到控制無人機機動完成特定追蹤要求的目的.

注1.由無人機運動模型(1)可知,無人機速度νo與無人機飛行控制器的控制輸入量速率vo和角速度ωo存在一一對應關系,因此以無人機速度作為輸入變量u是合理的.

圖2 環(huán)航跟蹤相對幾何模型Fig.2 Guidance geometry for stando fftracking

證明.由模型(5)和模型(8)可得

n維空間中任意向量可以由n個互不相關向量表示,如圖2所示,相對速度可以表示為

由式(12)和式(4)可知,無人機速度表示為式(9)是合理的.在此情況下,求解式(11)可以得出相對速率為

根據假設1,基于相對速率vr∈R+考慮,對于給定的φ,vr可由式(10)得出.即由給定的角度變量φ,可得到符合無人機速度約束條件的相對速率vr的范圍.同時若無人機速率恒定為vo,可以得到唯一的相對速率vr.

2.2 Lyapunov漸近穩(wěn)定控制器

根據上述控制器設計,進一步考慮如何調節(jié)角度變量φ,保證控制器的穩(wěn)定性.

在無人機的速度為式(9)情況下,相對速度可以轉化為

此時,在極坐標下系統(tǒng)輸出(6)的導數為

定義距離輸出誤差為實際距離與期望距離的差ed=d?d0,顯然,ed∈(?d0,∞),且

其中,φ∈[0,π],即取無人機逆時針環(huán)航.

定理2.在假設1下,若無人機的速度輸入為

其中,Φ(0)=0,且滿足

對于給定的Φ(ed),vr可由式(10)得出,則系統(tǒng)輸出(6)在平衡點ed=0是漸近穩(wěn)定的,即無人機漸近收斂到以目標為圓心,d0為半徑的期望航跡上.

證明.引入一個新的Lyapunov函數

是正定的,其導數為

根據LaSalle不變集原理[32],距離誤差ed收斂到不變集ed=0,=0,即d=d0.

定理1給出了考慮目標速度的控制器結構,定理2給出了保證控制器穩(wěn)定的參數條件.因此由定理1和定理2可以設計出考慮目標運動狀態(tài)且保證無人機收斂到期望航跡的穩(wěn)定控制器.

例1.傳統(tǒng)的Lyapunov向量場引導法(LVFG)控制方案[10],無人機期望速度為

利用本文所提方法,考慮目標運動狀態(tài),得到改進的LVFG控制方法(ILVFG).控制器為式(18),其中,控制參數

且對于給定的無人機期望速率vo和控制參數Φ(ed),vr可由式(10)唯一確定.

由ed∈(?d0,∞),可得,因此

同時又因為

所以Φ(ed)符合條件(19),由定理2,無人機可漸近收斂到期望航跡,滿足跟蹤要求.

例2.文獻[17]提出切向量場結合Lyapunov向量場引導法(T+LVFG)的控制方案.無人機與目標相對距離小于期望距離dd0時,利用切向量場引導法(TVFG)設計飛行控制器,無人機期望速度為

利用本文方法,對文獻[17]的方法進行改進(IT+LVFG).控制器為式(18),其中,控制參數

當ed<0時,顯然0<Φ(ed)sgn(ed)<1;當ed>0時,Φ(ed)sgn(ed)>0,且

因此Φ(ed)滿足條件(19),無人機可收斂到期望航跡.

2.3 有限時間飽和控制器

漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)狀態(tài)隨著時間趨向于平衡點,但不能保證在有限時間內達到期望值.本節(jié)考慮如何針對控制器(18)設計適合的控制參數Φ(ed),使相對距離d在有限時間內收斂到期望距離d0,即limt→T(d)d(t)=d0,其中0

由定理2可知,無人機速度輸入u中參數Φ(ed)受約束.在設計有限時間控制器時用到了不等式縮放[27],導致控制器中參量幅值偏大.若直接運用非飽和有限時間控制器則無法滿足參數限制|Φ(ed)|≤1,因此結合飽和控制設計了參數受限下有限時間飽和控制器(Finite-time saturated controller,FTSC).

首先考慮非飽和下的有限時間穩(wěn)定控制器.

定理3.對系統(tǒng)

其中,ed∈R,vr∈[vo?vt,vo+vt],Φ(0)=0.若存在k∈R+和α=p/q,0

則系統(tǒng)(24)有限時間內收斂到平衡點ed=0.

證明.選取Lyapunov方程(20).根據ed∈R{0}的取值分兩種情況討論.

1)ed∈(0,∞)

2)ed∈(?∞,0)

綜上所述,若Φ(ed)滿足條件(25),則必然存在k'∈R+和α'∈(0,1),使得對任意ed∈R{0},k'Vα0+0.根據引理1,系統(tǒng)(24)在平衡點ed=0有限時間穩(wěn)定.

顯然,定理3中必然存在ed∈(?d0,∞){0},使得|Φ(ed)|>1.

利用有限時間穩(wěn)定性與飽和控制原理相結合,考慮控制參數受限情況下的有限時間穩(wěn)定控制器.設計控制器參數,如圖3所示.

其中,κ為(0,1]的任意常數,Φ'(ed)滿足條件(25),sat(·)是飽和函數,定義為

定理4.若無人機輸入控制器(18)中參數Φ(ed)為式(26),則系統(tǒng)輸出(6)在有限時間內收斂到平衡點ed=0,即無人機在一定時間內收斂到距離目標d0的航跡上,實現(xiàn)環(huán)航跟蹤要求.

圖3 飽和約束下的有限時間穩(wěn)定控制參數Fig.3 Control parameters of finite-time stability subject to saturation

證明.由飽和函數特性,顯然式(26)中Φ(ed)符合對任意ed∈(?d0,∞),|Φ(ed)|≤1.

首先,證明控制器參數Φ(ed)在式(26)情況下的系統(tǒng)輸出穩(wěn)定性.

由式(18)可知,對任意輸出誤差ed>0,Φ'(ed)>0,由式(26),此時Φ(ed)>0;對任意ed<0,Φ(ed)<0;且ed=0時Φ(ed)=0.以Lyapunov函數(20)檢驗其穩(wěn)定性,對任意ed∈(?d0,∞),≤0.因此,無人機輸入控制器(18)中參數Φ(ed)滿足條件(26),系統(tǒng)輸出(6)在平衡點ed=0穩(wěn)定.

然后,證明該系統(tǒng)有限時間收斂,分為兩部分.系統(tǒng)控制器(18)中參數為式(26)時,對任意初始輸出誤差ed(t0)必然存在時刻t1,使得t>t1時,ed(t)∈[ε1,ε2],即相對距離收斂到一個范圍內;在該范圍內系統(tǒng)狀態(tài)有限時間內收斂到平衡點,即必然存在時刻t1t2時,ed(t)=0.其中,Φ'(ε1)= ?1,Φ'(ε2)=1,且對任意ed(t)∈[ε1,ε2],都有|Φ'(ed)|≤1.

1)證明對任意初始相對距離ed(t0),必然存在時刻t1>t0,使得ed(t1)∈[ε1,ε2].假設上述不成立,則存在兩種情況:對任意時刻t>t0,都滿足ed(t)>ε2;對任意時刻t>t0,ed(t)<ε1.

a)假設對任意時刻t>t0,ed(t)>ε2.

對任意距離誤差ed(t)>ε2,由不等式(19)和式(26),可以得出此時控制參數Φ(ed)=κ,輸出誤差導數滿足,則

因此,對任意距離ed(t0)>ε2,必然存在某一時刻t1>t0,使得ed(t1)<ε2.假設不成立.

b)假設對任意時刻t>t0,ed(t)≤ε1.

若ε1≥?d0,對任意距離ed(t)<ε1,由不等式(19)和式(26),可以得出控制參數Φ(ed)=?κ,輸出誤差導數滿足,則

因此,對任意距離ed(t0)<ε1,必然存在某一時刻t1>t0,使得ed(t1)≥ε1,假設不成立.若ε1t0,都有ed(t)>ε1,假設不成立.

因此,對任意初始輸出誤差ed(t0),必然存在時刻t1,使得ed(t1)∈[ε1,ε2].由系統(tǒng)穩(wěn)定性可知t>t1時,ed(t)∈[ε1,ε2].

2)證明當無人機與目標相對距離在指定區(qū)域時,必然會在有限時間內收斂到平衡點.即,若ed(t1)∈[ε1,ε2],必然存在某一時刻t2,其中,t1t2,都有ed(t)=0.

已知t>t1時,ed(t)∈[ε1,ε2],根據式 (26),此時 Φ(ed)= Φ'(ed). 因此,sgn(ed)Φ(ed)≥k|ed|α,即滿足非飽和約束下的有限時間控制器條件,由定理3,系統(tǒng)必然在有限時間內收斂到平衡點.

上述部分證明了控制器(18)中參數Φ(ed)為式(26)時,系統(tǒng)輸出(6)在平衡點ed=0穩(wěn)定且有限時間收斂,由定義1,對任意輸出誤差ed∈(?d0,∞),系統(tǒng)輸出在平衡點有限時間穩(wěn)定.

定理4給出了系統(tǒng)輸出(6)有限時間穩(wěn)定的參數條件.無人機在指定區(qū)域外(|Φ'(ed)|=1,|Φ(ed)|=κ≤1)時,由飽和控制器控制其收斂到指定區(qū)域內(|Φ'(ed)|<1,|Φ(ed)|<κ),而后化為非飽和有限時間控制器在有限時間內收斂到平衡點.

注2.令T1表示飽和控制器控制無人機的收斂時間(可能為0),T2表示非飽和有限時間穩(wěn)定控制器的收斂時間.則T1,T2大小與初始距離d(等同于ed)和κ,k,α相關.當其他參數相同時,隨著κ增大,時間T1和T2均減小,即收斂更快速;隨著k增大,ε1增大,ε2減小,即非飽和有限時間穩(wěn)定控制器控制范圍增大,因此,收斂時間T1增大,T2減小.

例3.利用定理4給出的控制器參數條件(26),提出符合要求的有限時間飽和控制器.控制器為式(18),其中控制參數

取k1,k2∈R+,κ∈(0,1],α=p/q,0

3 仿真結果及分析

通過與文獻[10]中Lyapunov向量場引導法(LVFG)控制方案(例1)和文獻[17]的切向量場結合Lyapunov向量場引導法(T+LVFG)控制方案(例2)進行比較,說明本文控制方法的優(yōu)越性.為確保仿真實驗的公平性,實驗中目標的初始位置為原點,運動目標的速度均為νt=(2,2cos(0.01πt)+1)m/s,即目標軌跡相同;無人機航行速率保持恒定vo=10m/s,期望距離為d0=100m.

1)驗證提出的控制方案的有效性.將LVFG、T+LVFG控制器方法與本文ILVFG、IT+LVFG(例1和例2中已給出具體的控制器)進行比較,仿真結果如圖4.

圖4(a)為傳統(tǒng)的LVFG和本文的ILVFG控制方法下的目標和無人機運動軌跡,圖4(b)則為T+LVFG和IT+LVFG控制器,圖4(c)為四種控制器下的無人機與目標相對距離.由圖4(c)可以看出,已知目標速度νt,使用不考慮目標速度的LVFG和T+LVFG方法,相對距離會收斂到一定范圍內,即|limt→∞d(t)?d0|≤?,其中,?與γ=vt/vo∈(0,1)相關,且T+LVFG控制器收斂速度快于LVFG控制器.而本文的ILVFG和IT+LVFG控制方法,相對距離會收斂期望距離,即limt→∞d(t)=d0.顯然,對于運動目標,ILVFG和IT+LVFG控制方法比傳統(tǒng)的LVFG和T+LVFG控制方法具有明顯優(yōu)越性.

2)驗證提出的有限時間飽和控制器(FTSC)的快速響應能力.FTSC(例3)、ILVFG 和IT+LVFG控制方法相比較.其中FTSC中參數為κ=1,k=0.1,k2=0.01,α=7/11.

注3.由于dd0和小于期望距離d(0)

對靜止目標,仿真結果如圖5和圖6所示.圖5和圖6分別針對d(0)>d0和d(0)d0時,FTSC和IT+LVFG控制方案下的無人機收斂速度明顯快于ILVFG控制方案.圖6(a)～(c)為t=10s,t=50s,t=100s時IT+LVFG控制方案下的目標和無人機軌跡,圖6(d)～(f)則為FTSC控制方案,圖6(g)為兩種情況下的相對距離對比.從圖6可以看出,d(0)

圖4 目標速度對環(huán)航跟蹤誤差的影響Fig.4 The in fluences of the target velocity on the stando fftracking errors

圖5 d(0)>d0時靜止目標環(huán)航跟蹤Fig.5 Stando fftracking a static target whend(0)>d0

圖7和圖8分別為d(0)>d0和d(0)

3)驗證提出的FTSC控制方案不同參數取值對收斂時間的影響.將FTSC(例3)中不同參數κ相對比,仿真結果如圖9.其中,k1=0.1,k2=0.01,α=7/11.

圖9(a)～(d)分別為κ=1/4,κ=1/2,κ=3/4,κ=1時的目標軌跡和無人機軌跡,圖9(e)為對應的無人機與目標相對距離.圖9表明,收斂速度隨κ增大而增大.

4 結論

本文主要研究單無人機對單目標進行環(huán)航跟蹤的問題.1)根據無人機運動特性給出一種控制器,保證無人機能根據目標運動狀態(tài)調整自身運動狀態(tài),更穩(wěn)定地跟蹤目標.2)根據Lyapunov穩(wěn)定性定理給出漸近穩(wěn)定的控制器參數條件.3)考慮其參數特性,利用飽和控制結合有限時間控制,給出顯式的條件選擇控制器中的參數,使無人機飛行軌跡快速收斂到期望航跡.基于環(huán)航跟蹤系統(tǒng)的廣闊應用背景,下一步考慮與協(xié)同控制結合,運用到多無人機協(xié)同跟蹤目標中.

圖6 d(0)

圖7 d(0)>d0時機動目標環(huán)航跟蹤Fig.7 Stando fftracking a maneuvering target whend(0)>d0

圖8 d(0)

圖9 κ對無人機環(huán)航軌跡和收斂速度的影響Fig.9 The in fluences ofκon the trajectory of UAV and rate of convergence