□ 蔡建華

“漢諾塔問題”源于印度的一個(gè)古老傳說：開天辟地的神在一個(gè)廟里留下了三根金剛石柱子，最左邊的柱子上從下往上、由大到小依次疊放著64個(gè)圓形金片，廟里的僧侶遵照神的旨意，按照規(guī)定的方法：一次只能搬動(dòng)一個(gè)金片，不管在哪根柱子上，小金片必須在大金片的上面，把金片從最左邊的柱子全部搬到最右邊的柱子上。神預(yù)言說，當(dāng)64個(gè)金片全部都搬到最右邊柱子上時(shí)，世界就將在一聲霹靂中毀于一旦。

傳說顯然并不可信，不過假如從數(shù)學(xué)教學(xué)的視角，將傳說中的數(shù)學(xué)元素改造成綜合實(shí)踐課的教學(xué)活動(dòng)，孩子們能否經(jīng)歷一次真正的數(shù)學(xué)探索之旅，感受到數(shù)學(xué)的好玩之處呢？

【教學(xué)目標(biāo)】

1.在問題情境中理解規(guī)則，同伴互助，體驗(yàn)基本的數(shù)學(xué)方法和策略，感悟數(shù)學(xué)思想。

2.在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)中體驗(yàn)“數(shù)學(xué)好玩”。

【教學(xué)實(shí)錄】

一、故事引路

師：今天我要給小朋友們講一個(gè)故事，并根據(jù)故事來(lái)玩游戲，想聽嗎？（播放視頻“漢諾塔的傳說”）

師：聽明白了嗎？傳說中64個(gè)金片按照規(guī)則究竟能不能都搬到第三根柱子上呢？如果能，怎么搬？今天這節(jié)課我們一起來(lái)探索“漢諾塔的奧秘”。（板書課題）

二、理解規(guī)則

師：首先，我們一起來(lái)熟悉一下漢諾塔移動(dòng)的規(guī)則。（出示漢諾塔玩具，用圓圈代替金片，課件呈現(xiàn)規(guī)則）

三、探索規(guī)律

（一）動(dòng)腦

師：你們打算怎樣玩？

生1：我覺得可以先拿少一點(diǎn)的圓圈來(lái)試一試。

師：傳說中漢諾塔有64個(gè)金片，你打算拿多少個(gè)試一試？

生2：16個(gè)。

生3：8個(gè)。

……

生4：1個(gè)。

師：在生活和學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)常會(huì)遇到一些復(fù)雜的問題，一下子很難解決，可以先降低難度，把復(fù)雜的問題變得簡(jiǎn)單一些。從最簡(jiǎn)單的開始，這可是解決問題的一個(gè)很有用的策略。（板書：從最簡(jiǎn)單的開始）

師：很顯然，移動(dòng)1個(gè)圓圈是最簡(jiǎn)單的，一步就能把這個(gè)圈移到第三根柱子上（如下圖）。

師：接下來(lái)你想試著移幾個(gè)圈？大家先想象一下，再說一說你是怎么移的，移了幾次，好嗎？

生：移2個(gè)圈，需要移動(dòng)3次。先把小圈移到第二根柱子，再把大圈移到第三根柱子上，最后把小圈也移到第三根柱子上（如下圖）。

師：真好！想得清楚，說得明白！

（二）動(dòng)手

師：接下來(lái)，我們?cè)囋囈苿?dòng)3個(gè)圈。還是先想象，感覺怎么樣？是不是有點(diǎn)困難？那就動(dòng)手來(lái)做一做吧。（出示1號(hào)活動(dòng)單，組織學(xué)生開展分組活動(dòng)）

1號(hào)活動(dòng)單：4人小組合作，把3個(gè)圈從第一根柱子移動(dòng)到第三根柱子上，最少要多少步？想辦法記錄下你們移動(dòng)的過程：（ ）。

師：最少需要幾步完成？大家都用了7步，說一說你們是怎樣移動(dòng)的？

生1：先把小圈移到第三根柱子上，再把中圈移到第二根柱子上，再把小圈移到第二根柱子上，再把大圈移到第三根柱子上，再把小圈移到第一根柱子上，再把中圈移到第三根柱子上，最后把小圈移到第三根柱子上。

師：生1是這樣記錄他們的移動(dòng)過程的，有沒有與他不一樣的記錄方法？

（用實(shí)物展臺(tái)呈現(xiàn)第二小組的活動(dòng)記錄）

師：請(qǐng)大家仔細(xì)看，到后面他們的寫法怎么變了呢？請(qǐng)第二小組的同學(xué)解釋一下這樣記錄的意思，好嗎？

生2：“大”表示最大的圈，“3”表示的是第三根柱子，“大→3”的意思是把大圈移到第三根柱子上……

師：這樣的記錄方法與剛才生1全都用文字記錄相比,哪個(gè)好？好在哪兒？

生3：生2的好，簡(jiǎn)潔。

生4：這樣記簡(jiǎn)單。

師：是啊，第二小組的記錄方法簡(jiǎn)潔明了，想辦法把復(fù)雜的事情做簡(jiǎn)單不正是數(shù)學(xué)所要追求的目標(biāo)嗎？當(dāng)然了，僅僅簡(jiǎn)潔還不夠，還要設(shè)法讓別人能看懂，方便彼此間的交流?，F(xiàn)在，我們統(tǒng)一約定記錄的規(guī)則，把3個(gè)圈從小到大順次編號(hào)為1、2、3，三根柱子編號(hào)為A、B、C，那么，把最小的圈移到第三根柱子上就可以記作“1→C”。用我們統(tǒng)一約定的這種編碼方法，移動(dòng)3個(gè)圈的過程可以怎樣記錄呢？

（師生共同整理，形成板書：1→C，2→B，1→B，3→C，1→A，2→C，1→C）

（三）明理

師：漢諾塔好玩嗎？大家喜歡嗎？下面我們接著玩，該玩幾個(gè)圈了？

生：4個(gè)圈！（學(xué)生們躍躍欲試）

師：別總是忙著動(dòng)手做，會(huì)動(dòng)手更要會(huì)動(dòng)腦?，F(xiàn)在我想請(qǐng)大家先不動(dòng)手，先動(dòng)動(dòng)腦筋，預(yù)測(cè)一下，移動(dòng)4個(gè)圈到C柱共需要多少步？

生1：13步。

生2：我也認(rèn)為是13步。

師：你們是根據(jù)什么預(yù)測(cè)13步的呢？

生1：剛才我們移動(dòng)1個(gè)圈要1步，移動(dòng)2個(gè)圈要3步，移動(dòng)3個(gè)圈要7步，從1到3增加了2步,從3到7增加了4步,我猜移動(dòng)4個(gè)圈要增加6步,所以我預(yù)測(cè)需要13步。（大部分學(xué)生表示贊成）

生3：我預(yù)測(cè)要15步。因?yàn)?×2+1=3，3×2+1=7，7×2+1=15，所以我猜移動(dòng)4個(gè)圈共要15步。（很多學(xué)生露出困惑的神情）

……

師：大家的預(yù)測(cè)都是根據(jù)前面已有的結(jié)果做出的，我們根據(jù)已有的事實(shí)呈現(xiàn)的規(guī)律而做出的預(yù)測(cè)，都是有價(jià)值的。那么，事實(shí)上到底是需要13步還是15步呢？（出示2號(hào)活動(dòng)單，組織學(xué)生分組活動(dòng)）

2號(hào)活動(dòng)單：

①猜一猜，移動(dòng)4個(gè)圈需要多少步？

②做一做，你們的預(yù)測(cè)對(duì)嗎？

③議一議，根據(jù)所記錄的移動(dòng)過程，移動(dòng)4個(gè)圈所需的步數(shù)與移動(dòng)3個(gè)圈所需的步數(shù)有怎樣的關(guān)系？

師：剛才的活動(dòng)大家完成得很好！大多數(shù)小組的結(jié)果是15步，現(xiàn)在請(qǐng)看第三小組的活動(dòng)記錄，我們一起來(lái)檢驗(yàn)一下是否正確。

（師生共同操作驗(yàn)證）

師：現(xiàn)在我們知道了，移動(dòng)4個(gè)圈需要15步，而不是13步。為什么是15步呢？15與前面的1、3、7有怎樣的關(guān)系？我們?cè)倩仡櫼幌乱苿?dòng)的過程，你們認(rèn)為哪一步是最關(guān)鍵的？

（呈現(xiàn)移動(dòng)的步驟：1→B，2→C，1→C，3→B，1→A，2→B，1→B,4→C,1→C，2→A，1→A，3→C，1→B，2→C，1→C）

生1：我們小組認(rèn)為第1步最關(guān)鍵，最小的圈是移動(dòng)到B柱還是C柱，結(jié)果完全不一樣。

師：只有1個(gè)圈時(shí)，我們是把那1個(gè)圈直接移到C柱的，移動(dòng)2個(gè)圈時(shí)最上面的小圈是先移到B柱的，移動(dòng)3個(gè)圈時(shí)最小的圈先移到C柱，移動(dòng)4個(gè)圈時(shí)最小的圈又是先移到B柱，請(qǐng)看表格，這里有什么規(guī)律嗎？

生2：圈的總個(gè)數(shù)是奇數(shù)的，1號(hào)圈就先移到C；圈的總個(gè)數(shù)是偶數(shù)的，1號(hào)圈先移到B。

師：如果按照這個(gè)規(guī)律，移動(dòng)5個(gè)圈的時(shí)候，1號(hào)圈要移到C柱了，是不是呢？我們下面還需要進(jìn)一步驗(yàn)證。我們繼續(xù)討論，你認(rèn)為移動(dòng)過程中的哪一步是最關(guān)鍵的？

生3：我認(rèn)為最關(guān)鍵的是第8步，因?yàn)檫@一步是把最大的圈移到C柱上去，其他的就不難了。

師：第8步是“4→C”，在此之前，從初始狀態(tài)到把1、2、3號(hào)圈都移動(dòng)到B柱上，需要幾步？你是怎么知道的？第8步之后再到全部完成，還需要幾步？（結(jié)合討論和記錄，出示下圖）

師：現(xiàn)在，大家是否明白了15步與前面移動(dòng)3個(gè)圈所需要的7步之間的聯(lián)系了呢？首先，需要用7步把1、2、3號(hào)圈移到B柱，再用1步“4→C”把最大的圈移到C柱，接著還需要7步將1、2、3號(hào)圈移到C柱，也就是說，我們移動(dòng)4個(gè)圈的過程是在前面移動(dòng)3個(gè)圈的基礎(chǔ)上完成的，可以分成三個(gè)階段，用算式可以表示成15=7+1+7。

師：按照這樣的規(guī)律，移動(dòng)5個(gè)圈需要多少步？

生：需要31步，15×2+1=31。

師：下面請(qǐng)各小組合作，驗(yàn)證一下，移動(dòng)5個(gè)圈是不是需要31步，看看剛才我們的研究結(jié)果是否正確？（學(xué)生分組活動(dòng)）

四、解決問題

（出示3號(hào)活動(dòng)單）

3號(hào)活動(dòng)單：想一想“漢諾塔”的64個(gè)金片能從A柱移到C柱嗎？請(qǐng)說明理由。

生1：能！64個(gè)金片從A柱移到C柱的前提條件是把上面的63個(gè)金片先移到B柱，而63個(gè)金片移到B柱的前提條件是62個(gè)金片移到C柱……這樣倒推著想，64個(gè)金片是可以從A柱移到C柱的。

師：那么，全部完成要多少步呢？把我們已經(jīng)得到的這些數(shù)據(jù)1、3、7、15、31分別加上1，就能得到2、4、8、16、32，這些數(shù)都是由若干個(gè)2連乘得到的，根據(jù)這個(gè)規(guī)律，全部完成“漢諾塔”金片移動(dòng)所需的總步數(shù)就是64個(gè)2連乘的結(jié)果減去1，數(shù)學(xué)上寫成“264－1”，結(jié)果是18446744073709551615步?。▽W(xué)生們發(fā)出陣陣驚呼）

這個(gè)數(shù)有多大呢？我們假設(shè)每移動(dòng)一個(gè)圈需要1秒鐘，那么，移完64個(gè)金片需要18446744073709551615秒，換算一下，大約需要5845.54億年！這是誰(shuí)也不可能完成的！

【課后反響】

課后，學(xué)生們寫的日記讓教師感觸良多。

朱曉茜：同學(xué)們無(wú)一不被這個(gè)傳說迷住了，我也不例外。

倪陳煒：所需的步數(shù)竟是個(gè)20位數(shù)，我異常震驚，嘴張得老大老大，似乎能塞下一個(gè)雞蛋。

曹丁?。哼@節(jié)別開生面的數(shù)學(xué)課教會(huì)了我許多，使我不能忘懷。“漢諾塔”告訴我數(shù)學(xué)也能是好玩的。

周致行：快樂的時(shí)光總是短暫。數(shù)學(xué)竟如此好玩，如此有趣，我不禁愛上了它。

王樂涵：這節(jié)課讓我在玩中學(xué)，在學(xué)中玩。數(shù)學(xué)，真有趣兒！

洪若煊：在玩中，我們得到了知識(shí)，懂得了數(shù)學(xué)。

褚徐然：漢諾塔的奧秘在這節(jié)課中被迎刃而解，我們也受益匪淺，原來(lái)也有這么有趣、好玩的數(shù)學(xué)?。?/p>

錢寶儀：通過這堂課，我體會(huì)到了數(shù)學(xué)的奇妙、有趣，再也不會(huì)覺得數(shù)學(xué)很枯燥、很單一了。

……

透過學(xué)生日記的字里行間，我們不難發(fā)現(xiàn)，孩子們所希望遇見的數(shù)學(xué)課的樣子：“被迷住”“震驚”“有趣”“好玩”……

當(dāng)然，數(shù)學(xué)好玩不只是外在形式的好玩，其根本是能體會(huì)到數(shù)學(xué)思維的樂趣，因此，必須要帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷真實(shí)的數(shù)學(xué)活動(dòng)，“大膽假設(shè)，小心求證”，由表及里，探究本質(zhì)。唯如此，方能體會(huì)《桃花源記》所言，“山有小口，仿佛若有光。初極狹，才通人。復(fù)行數(shù)十步，豁然開朗”。豁然開朗之感，不就是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)獲得的成功感和滿足感嗎？

再細(xì)讀，“數(shù)學(xué)也能是好玩的”“原來(lái)也有這么有趣、好玩的數(shù)學(xué)啊”，那幾個(gè)“也”字不時(shí)地刺痛我們的雙眼——學(xué)生們正在經(jīng)歷著的數(shù)學(xué)課好玩嗎？

一、數(shù)學(xué)好玩嗎

好玩或不好玩其實(shí)是個(gè)人的主觀感受，并沒有絕對(duì)的標(biāo)準(zhǔn)。如果一個(gè)人喜歡數(shù)學(xué)并且能體會(huì)到數(shù)學(xué)的樂趣，當(dāng)然就會(huì)認(rèn)為數(shù)學(xué)是好玩的?？上Р皇侨巳硕寄荏w會(huì)到數(shù)學(xué)的好玩，很多人不喜歡數(shù)學(xué)，是因?yàn)閿?shù)學(xué)給他們留下的是痛苦的體驗(yàn)：冰冷的符號(hào)、繁難偏怪的習(xí)題、晦澀抽象的規(guī)則……他們從未感受到數(shù)學(xué)真正的魅力，所以在他們記憶中的數(shù)學(xué)自然是不好玩的。羅格斯大學(xué)的Diane Ma?clagan教授就曾被問道：“作為一名數(shù)學(xué)家，你覺得在工作中哪個(gè)環(huán)節(jié)是最困難的？”她不假思索地回答道：“證明定理這一環(huán)節(jié)最難?！薄澳敲茨膫€(gè)環(huán)節(jié)是最有趣的？”記者接著問道?！斑€是證明定理?！彼卮鸬?。證明定理在Diane Maclagan教授看來(lái)，既是最困難的，又是最有趣的。

因此，我們?cè)诮虒W(xué)的語(yǔ)境中討論數(shù)學(xué)好不好玩，實(shí)質(zhì)上是在討論“怎樣讓小學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的好玩”。

二、好玩能否作為數(shù)學(xué)教學(xué)的追求

我國(guó)的文化傳統(tǒng)崇尚勤學(xué)苦讀，懸梁刺股、韋編三絕、囊螢映雪即是例證?！度纸?jīng)》有言，“勤有功，戲無(wú)益，戒之哉，宜勉力”，意指勤奮學(xué)習(xí)會(huì)有所成就，嬉戲玩耍沒一點(diǎn)好處，由此可見“玩”在古代教育典籍中是遭到唾棄，不登大雅之堂的。

眾所周知，數(shù)學(xué)的抽象概括性與小學(xué)生以形象思維為主的特點(diǎn)構(gòu)成了數(shù)學(xué)教學(xué)的一對(duì)矛盾。要化解這對(duì)矛盾，不能僅僅照搬文科學(xué)習(xí)常用的“勤學(xué)苦讀”，還要設(shè)法讓抽象的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化成學(xué)生樂于參與的活動(dòng)，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)變得鮮活有趣，更有吸引力。

玩是兒童的天性，只有被好玩的事物吸引，兒童才會(huì)沉浸其中，樂此不疲。興趣是學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)中最現(xiàn)實(shí)、最活躍的心理成分，它既是小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的需要，也是他們學(xué)好數(shù)學(xué)的強(qiáng)大動(dòng)力，小學(xué)生的年齡特點(diǎn)決定了他們的學(xué)習(xí)行為要由興趣主導(dǎo)。大量的教育實(shí)踐已經(jīng)證實(shí)興趣在學(xué)習(xí)中的巨大作用，我們要做的是設(shè)法把好玩的數(shù)學(xué)帶進(jìn)課堂，讓“冰冷的”數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為“有溫度”的教學(xué)活動(dòng)。

三、好玩的數(shù)學(xué)從何而來(lái)

項(xiàng)武義先生在第四屆蘇步青數(shù)學(xué)教育獎(jiǎng)?lì)C獎(jiǎng)大會(huì)的演講中提出，“基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育之本質(zhì)與精要是精簡(jiǎn)實(shí)用、平實(shí)近人、引人入勝”。這三個(gè)詞或許可作為“好玩的數(shù)學(xué)”的三個(gè)要素。精簡(jiǎn)實(shí)用，好玩的數(shù)學(xué)要追求“以簡(jiǎn)御繁”，“簡(jiǎn)中求道”，把人人能懂、處處有用的數(shù)學(xué)帶進(jìn)課堂。平實(shí)近人，要用適合學(xué)生認(rèn)知水平的數(shù)學(xué)教學(xué)材料吸引學(xué)生，張奠宙先生說過，“教師的任務(wù)是把知識(shí)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)”，教育形態(tài)的數(shù)學(xué)知識(shí)才能發(fā)揮出數(shù)學(xué)的育人價(jià)值。引人入勝，數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)在本質(zhì)只有與課堂外在形式的完美結(jié)合，數(shù)學(xué)課才能夠吸引學(xué)生。學(xué)生被數(shù)學(xué)吸引才有可能喜歡上數(shù)學(xué)，喜歡數(shù)學(xué)才有可能學(xué)好數(shù)學(xué)。